【数学】2020届一轮复习人教B版空间点直线平面之间的位置关系学案

【数学】2020届一轮复习人教B版空间点直线平面之间的位置关系学案

‎§8.3　空间点、直线、平面之间的位置关系 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义．‎ ‎2.掌握可以作为推理依据的公理和定理.‎ 主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.‎ ‎1．四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．‎ 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．‎ 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．‎ ‎2．直线与直线的位置关系 ‎(1)位置关系的分类 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：.‎ ‎3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．‎ ‎4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．‎ ‎5．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ 概念方法微思考 ‎1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？‎ 提示　不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交．‎ ‎2．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？‎ 提示　不一定．如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　√　)‎ ‎(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　×　)‎ ‎(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　×　)‎ ‎(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(　√　)‎ ‎(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(　×　)‎ ‎(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P52B组T1(2)]如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ 答案　C 解析　连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，‎ 故∠D1B1C即为所求的角．‎ 又B1D1＝B1C＝D1C，‎ ‎∴△B1D1C为等边三角形，‎ ‎∴∠D1B1C＝60°.‎ ‎3．[P45例2]如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则 ‎(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；‎ ‎(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．‎ 答案　(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD 解析　(1)∵四边形EFGH为菱形，‎ ‎∴EF＝EH，∴AC＝BD.‎ ‎(2)∵四边形EFGH为正方形，‎ ‎∴EF＝EH且EF⊥EH，‎ ‎∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD，‎ ‎∴AC＝BD且AC⊥BD.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　　)‎ A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行 答案　D 解析　依题意，m∩α＝A，n⊂α，‎ ‎∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．‎ ‎5.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)‎ A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M 答案　D 解析　∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.‎ 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.‎ 根据公理3可知，M在γ与β的交线上．‎ 同理可知，点C也在γ与β的交线上．‎ ‎6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．‎ 答案　3‎ 解析　平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．‎ 题型一　平面基本性质的应用 例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：‎ ‎(1)E，C，D1，F四点共面；‎ ‎(2)CE，D1F，DA三线共点．‎ 证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.‎ ‎∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.‎ 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，‎ ‎∴E，C，D1，F四点共面．‎ ‎(2)∵EF∥CD1，EF

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