2019-2020学年四川省新津中学高一4月月考（入学）数学（理）试题

2019-2020学年四川省新津中学高一4月月考（入学）数学（理）试题

四川省新津中学2019～2020学年度（下期）高2019级4月月考试卷 理科数学 第Ⅰ卷 （选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设且，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．等比数列中, 则的前项和为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.在中，内角所对的边分别是，B＝60º，且不等式的解集为，则等于 （ ）‎ A． B．4 C． D．‎ ‎6．已知、为锐角，，，则= （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在中，角的对边分别为a，b，c，若，则 （ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎8.函数的最大值为 （ ）‎ A．2 B． C． D． ‎ ‎9．在中，内角所对的边分别是，若成等比数列，，则＝ （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．已知△中，,,分别是、的等差中项与等比中项，则△的面积等于 ( )‎ A． B． C．或 D．或 ‎11．在递减等差数列中，.若，则数列的前项和的最大值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设等差数列满足,公差,当且仅当时,数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围为( )‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13.不等式的解集为 .（用区间表示）‎ ‎14．若数列是正项数列，且，‎ 则＝ .‎ ‎15．甲船在岛的正南处，以4千米/时的速度向正北方向航行，千米，同时乙船自岛出发以6千米/时向北偏东60°的方向驶去.当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为 小时. ‎ ‎16．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2， 则tanC等于 ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17．(本题满分10分)已知公差不为零的等差数列中， ，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）设,求数列的前项和． ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在中，内角所对边分别为．已知面积为，，．‎ ‎（1）求的值；（2）求的值． ‎ ‎19. （本小题满分12分）已知在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且. ‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）若,求的取值范围.‎ ‎20．（本小题满分12分）已知数列是一个以2为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2) 设，求Sn.‎ ‎(3)若对任意，有恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 在中，内角所对的边分别是,不等式 对一切实数恒成立.‎ ‎（1）求的取值范围； ‎ ‎（2）当取最大值，且的周长为9时，求面积的最大值，并指出面积取最大值时的形状．（参考知识：已知a,bR，a2+b22ab；a,bR+，） ‎ ‎22．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为,,且(),数列满足,,对任意,都有.‎ ‎（1）求数列、的通项公式;‎ ‎（2）令.若对任意的,不等式 恒成立,试求实数λ的取值范围. ‎ ‎2019—2020学年度（下期）高2019级4月月考数学（理）答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B B A C D D A D C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．(本题满分10分)‎ 解：（1）设公差为d, ‎ 则有 ……………………………………………2分 ‎∴d=0（舍）或, …………………………………………………………3分 ‎∴ …………………………………………………………………………5分 ‎（2）令 …………………………………………………………6分 ‎∴…………………………………10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）在中，由，可得. ‎ 又因为，所以，即 …………………2分 又，解得，. ……………………………………………4分 由. ‎ 得 …………………………………………………………………6分 ‎（2）因为=， ………8分 所以 ‎= ……………………………12分 ‎ ‎ ‎19. （本小题12分）‎ ‎【答案】（1）（6分）‎ ‎（2）（6分）‎ 试题解析：（1）由，应用余弦定理，可得 ‎ 化简得则 ‎ ‎（2） 即 ‎ ‎ 所以 ‎ 法一. ,则= = = ‎ 又 ‎ 法二因为 由余弦定理得，‎ 又因为，当且仅当时“”成立.‎ 所以 ‎ 又由三边关系定理可知综上 ‎20．（本小题12分）‎ 详解：(1)（4分）∵数列是首项、公比均为2的等比数列，，‎ 故，当时， 符合上式，∴数列的通项公式为 .‎ ‎(2)（4分）解： ‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎（3）（4分）因，所以{Sn}单调递增，即有Sn的最小值为S1=，成立，由已知有，解得，所以的取值范围为．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）当时，，‎ 原不等式即为对一切实数不恒成立. …………………………………1分 当时，应有 ………………………………3分 ‎ ‎ 解得 . …………………………………………5分 ‎ ……………………………………………6分 ‎（2），的最大值为 ………………………7分 此时，‎ ‎.‎ ‎（当且仅当时取“=”）. ……………………………………………10分 ‎（当且仅当时取“=”）. ‎ 此时，面积的最大值为，为等边三角形. ……………………12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 解：（1），‎ 当时，‎ ‎∴，即( ). ……………………………1分 ‎∴()，‎ 又,也满足上式，故数列的通项公式().…………………2分 ‎（说明：学生由，同样得分）.‎ 由，知数列是等比数列，其首项、公比均为， ‎ ‎∴数列的通项公式 …………………………………………………3分 ‎（2）∵ <1>‎ ‎∴ <2> ‎ 由<1><2>,得 ………………5分 ‎……………………………………………………7分 ‎ ……………………………………………………8分 ‎①,∴ ‎ ‎ 又恒正.‎ 故是递增数列, ‎ ‎∴ . ………………………………………………………………………10分 又 不等式 即，‎ 即（）恒成立. ‎ 方法一：设（），‎ 当时，恒成立，则满足条件； ‎ 当时，由二次函数性质知不恒成立； ‎ 当时，由于对称轴 则在上单调递减，‎ 恒成立，则满足条件， ‎ 综上所述，实数λ的取值范围是. ……………………………………………12分 方法二：也即（）恒成立， ‎ 令．则, ‎ 由，单调递增且大于0，∴单调递增，‎ 当时，，且，故，‎ ‎∴实数λ的取值范围是 ……………………………………………12分