高考数学人教A版（理）一轮复习：第九篇 第1讲 直线方程和两直线的位置关系

高考数学人教A版（理）一轮复习：第九篇 第1讲 直线方程和两直线的位置关系

第九篇 ‎ 解析几何 第1讲 直线方程和两直线的位置关系 A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　原方程可化为(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令解得x＝－，y＝－3，故所有直线都过定点.‎ 答案　D ‎2．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　如图，直线l：y＝kx－，过定点P(0，－‎ eq (3))，又A(3,0)，∴kPA＝，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是.‎ 答案　B ‎3．(2013·泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　)．‎ A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0‎ C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0‎ 解析　由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.‎ 答案　A ‎4．(2013·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的 (　　)．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2，‎ 所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；‎ 当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.‎ 当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，‎ 此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0.‎ 所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的必要条件．‎ 答案　C 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．‎ 解析　设所求直线的方程为＋＝1，‎ ‎∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1. ①‎ 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，‎ ‎∴|a|·|b|＝1. ②‎ 由①②可得(1)或(2) 由(1)解得或方程组(2)无解．‎ 故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，‎ 即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．‎ 答案　x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0‎ ‎6．(2012·东北三校二模)已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.‎ 解析　由两直线垂直的条件得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝.‎ 答案　 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．‎ ‎(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；‎ ‎(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．‎ 解　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.‎ 又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.‎ 故a＝2，b＝2.‎ ‎(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．‎ ‎∴k1＝k2，即＝1－a.‎ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，‎ ‎∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.‎ 故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.‎ ‎8．(13分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．‎ ‎ (1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；‎ ‎ (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．‎ 解　(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，‎ ‎∴＝3.解得λ＝2或λ＝.‎ ‎∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.‎ ‎(2)由解得交点P(2,1)，‎ 如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，‎ 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．‎ ‎∴dmax＝|PA|＝.‎ B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝ (　　)． ‎ ‎ A．4 B．6 C. D. 解析　由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是 解得故m＋n＝.‎ 答案　C ‎2．(2013·长沙模拟)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为 (　　)．‎ A．3 B．2 C．3 D．4 解析　依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.‎ 答案　A 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎3．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．‎ 解析　由题意得，＝≠，∴a＝－4且c≠－2，‎ 则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，‎ 由两平行线间的距离，得＝，‎ 解得c＝2或c＝－6，所以＝±1.‎ 答案　±1‎ ‎4．(2013·盐城检测)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．‎ 解析　直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.‎ 答案　 三、解答题(共25分)‎ ‎5．(12分)已知直线l过点P(2,3)，且被两条平行直线l1：3x＋4y－7＝0，l2：3x＋4y＋8＝0截得的线段长为d.‎ ‎(1)求d的最小值；‎ ‎(2)当直线l与x轴平行，试求d的值．‎ 解　(1)因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P在两条平行直线l1，l2外．‎ 过P点作直线l，使l⊥l1，则l⊥l2，设垂足分别为G，H，则|GH|就是所求的d的最小值．由两平行线间的距离公式，得d的最小值为|GH|＝＝3.‎ ‎(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y＝3，设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1,3)，B(x2,3)，则3x1＋12－7＝0,3x2＋12＋8＝0，所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5.‎ ‎6．(13分)已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程．‎ 解　法一　因为l1∥l，所以l2∥l，‎ 设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．‎ 直线l1，l2关于直线l对称，‎ 所以l1与l，l2与l间的距离相等．‎ 由两平行直线间的距离公式得＝，‎ 解得m＝－5或m＝3(舍去)．‎ 所以直线l2的方程为x－y－5＝0.‎ 法二　由题意知l1∥l2，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．‎ 在直线l1上取点M(0,3)，‎ 设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)，‎ 于是有解得即M′(4，－1)．‎ 把点M′(4，－1)代入l2的方程，得m＝－5，‎ 所以直线l2的方程为x－y－5＝0.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎