2020届高三数学（文）“大题精练”6

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试卷第 1 页，总 12 页 2020 届高三数学（文）“大题精练”6 17．（本小题满分 12 分） 已知数列 的前 n 项和为 ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 n 项和 ． 18．（本小题满分 12 分） 如图，多面体 中， ，平面 ⊥平面 ，四边形 为矩形， ∥ ，点 在线段 上，且 ． (1)求证： ⊥平面 ； (2)若 ，求多面体 被平面 分成的大、小两部分的体积比． { }na ( )12 2n nS n N+ += − ∈ { }na 2 2logn nb a= 1 1 n nb b +       nT ABCDEF 2 1AB DE AD= = =， CDE ABCD ABCD BC EF G CE 2 22 3EG GC AB= = DE ABCD 2EF BC= ABCDEF BDG 试卷第 2 页，总 12 页 19．（本小题满分 12 分） 一项针对某一线城市 30～50 岁都市中年人的消费水平进行调查，现抽查 500 名（200 名女性，300 名男性） 此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品（电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱 包）的金额（万元）的频数分布表如下： （1）将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的概率． （2）把购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的中年人称为“高收入人群”，根据已知条件完成 2 2 列联 表，并据此判断能否有 95%的把握认为“高收入人群”与性别有关？ 参考公式： ，其中 参考附表： × 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 试卷第 3 页，总 12 页 20．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点 在 轴的正半轴上，过点 的直线 与抛物线相交于 ， 两 点，且满足 （1）求抛物线 的方程； （2）若 是抛物线 上的动点，点 在 轴上，圆 内切于 ，求 面积 的最小值． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）如果方程 有两个不相等的解 ，且 ，证明： ． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） C O F y F l A B 3.4OA OB⋅ = −  C P C ,M N x 2 21 1x y+ − =（ ） PMN∆ PMN∆ ( ) 2 (1 2 )ln af x x a x x = + − + ( )f x ( )f x m= 1 2,x x 1 2x x< 1 2 02 x xf + ′ >   试卷第 4 页，总 12 页 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点为极点， 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）在曲线 上任取一点 ，连接 ，在射线 上取一点 ，使 ，求 点轨迹的极坐 标方程； （2）在曲线 上任取一点 ，在曲线 上任取一点 ，求 的最小值． 23．选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知函数 （ ）的最小值为 2． （Ⅰ）求不等式 的解集； （Ⅱ）若 ，求 的最大值． 2020 届高三数学（文）“大题精练”6（答案解析） 17．（本小题满分 12 分） 已知数列 的前 n 项和为 ． （1）求数列 的通项公式； xOy 1C 34 2 1 2 x t y t  = +  = t x 2C 2 2 5 3cos2 ρ θ = − 1C Q OQ OQ P 4OP OQ = P 1C M 2C N MN ( ) 2f x x x t= − + − 0t > ( ) 4 8f x x+ − ≥ 2 2 2 52 3 5 2a b c t+ + = 2 3ac bc+ { }na ( )12 2n nS n N+ += − ∈ { }na 试卷第 5 页，总 12 页 （2）设 ，求数列 的前 n 项和 ． 【解析】（1）由 可得：当 时， ，上述两式相减可得 ． 当 时： 成立，故所求 ． （2） ， ， ， 故所求 ． 18．（本小题满分 12 分） 如图，多面体 中， ，平面 ⊥平面 ，四边形 为矩形， ∥ ，点 在线段 上，且 ． (1)求证： ⊥平面 ； (2)若 ，求多面体 被平面 分成的大、小两部分的体积比． 【解析】（1）∵四边形 ABCD 为矩形，∴CD=AB．∵AB=DE=2，∴CD=DE=2． ∵点 G 在线段 CE 上，且 EG=2GC= AB， ∴EC= AB= CD= ，∴ ，即 ． 又平面 CDE⊥平面 ABCD，平面 CDE 平面 ABCD=CD，DE 平面 CDE，∴DE⊥平面 ABCD． 2 2logn nb a= 1 1 n nb b +       nT 12 2n nS += − 2n ≥ 1 2 2n nS − = − 2n na = 1n = 1 1 1 1 1 2 2 2 2a S += = − = = ( )2n na n N+= ∈ 2n na = 2 2log 2n nb a n= = ( )1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 1n nb b n n n n+  ∴ = = − + +  1 1 1 1 1 1 1 1 114 1 2 2 3 1 4 1nT n n n    = × − + − +⋅⋅⋅+ − = −   + +    ( ) ( ) 4 1 n n Nn += ∈+ ABCDEF 2 1AB DE AD= = =， CDE ABCD ABCD BC EF G CE 2 22 3EG GC AB= = DE ABCD 2EF BC= ABCDEF BDG 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2DE CD EC+ = DE CD⊥  ⊂ 试卷第 6 页，总 12 页 (2)设三棱锥 G-BCD 的体积为 1，连接 EB，AE． ∵EG=2GC，∴CG= EC，∴ ． 易知 又 EF=2BC，BC∥EF，∴ ，故 ， 又 ，∴ ，故 故多面体 ABCDEF 被平面 BDG 分成的大、小两部分的体积比为 11：1． 19．（本小题满分 12 分） 一项针对某一线城市 30～50 岁都市中年人的消费水平进行调查，现抽查 500 名（200 名女性，300 名男性） 此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品（电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱 包）的金额（万元）的频数分布表如下： （1）将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的概率． （2）把购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的中年人称为“高收入人群”，根据已知条件完成 2 2 列联 表，并据此判断能否有 95%的把握认为“高收入人群”与性别有关？ 1 3 3 3E BCD G BCDV V− −= = 3.E BCD E ABDV V− −= = 2 ABD EFAS S∆ ∆= 2 B ABD B AEFV V− −= 3B ABE E ABDV V− −= = 6B AEFV − = 6 3 3 1 11.B AFE E ABD E BDGV V V− − −+ + = + + − = × 试卷第 7 页，总 12 页 参考公式： ，其中 参考附表： 【解析】（1）该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的频数为 ，∴该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的概率为： ． （2）根据频数分布表得：高收入人群中女性有 140 人，男性有 180 人，非高收入人群中女性有 60 人，男 性有 120 人，完成列联表如下： 高收入人群 非高收入人群 合计 女 140 60 200 男 180 120 300 合计 320 180 500 根据列联表中的数据，计算得 ， 故有 95%的把握认为“高收入人群”与性别有关． 20．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点 在 轴的正半轴上，过点 的直线 与抛物线相交于 ， 两 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 80 50 10 90 60 30 320+ + + + + = 320 16 500 25P = = 2 2 500 (140 120 60 180) 5.208 3.841200 300 180 320K × × − ×= ≈ >× × × C O F y F l A B 试卷第 8 页，总 12 页 点，且满足 （1）求抛物线 的方程； （2）若 是抛物线 上的动点，点 在 轴上，圆 内切于 ，求 面积 的最小值． 【解析】（1）由题意，设抛物线 C 的方程为 ，则焦点 F 的坐标为 ． 设直线 的方程为 联立方程得 ，消去 得 ∴ ∵ ∴ 故抛物线的方程为 ． (2)设 ，易知点 的横坐标与 的横坐标均不相同，不妨设 ，易得直线 PM 的方程为 化简得 ， 又圆心（0，1）到直线 PM 的距离为 1，∴ ， ∴ ， 不难发现 ，故上式可化为 ，同理可得 ， 可以看作是 的两个实数根，则 ∴ 3.4OA OB⋅ = −  C P C ,M N x 2 21 1x y+ − =（ ） PMN∆ PMN∆ 2 2 ( 0)x py p= > 0 2 p（ ， ） l ( ) ( )1 1 2 22 py kx A x y B x y= + ， ， ， ， ， 2 2 2 x py py kx  = = + y 2 2 2 2 22 0, 4 4 0x pkx p p k p− − = ∆ = + > ， 2 2 1 2 1 2 1 22 .4 px x pk x x p y y+ = = − =， ， 1 2 1 2 3 4OA OB x x y y⋅ = + = −  ， 1.p = 2 2x y= ( )( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0P x y x y M m N n≠, , , , , M N, P m n> ( )0 0 yy x mx m = −− ( )0 0 0 0y x x m y my− − − = ( ) 0 0 22 0 0 1x m my y x m − + = + − ( ) ( ) ( )2 22 2 2 0 0 0 0 0 02x m y x m my x m m y− + = − + − + 0 2y > ( ) 2 0 0 02 2 0y m x m y− + − = ( ) 2 0 0 02 2 0y n x n y− + − = ,m n∴ ( ) 2 0 0 02 2 0y t x t y− + − = 0 0 0 0 2 2 2 x ym n mny y − −+ = =− −, , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 2 0 4 4 84 . 2 x y ym n m n mn y + −− = + − = − 试卷第 9 页，总 12 页 ∵ 是抛物线 C 上的点，∴ ，则 又 ，∴ 从而 ， 当且仅当 时取得等号，此时 ，故△PMN 面积的最小值为 8． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）如果方程 有两个不相等的解 ，且 ，证明： ． 【解析】（1） ． ①当 时， 单调递增； ②当 时， 单调递减； 单调递增． 综上：当 时， 在 单调递增； 当 时， 在 单调递减，在 单调递增． （2）由（1）知， 当 时， 在 单调递增， 至多一个根，不符合题意； 当 时， 在 单调递减，在 单调递增，则 ． 不妨设 ，要证 ，即证 ，即证 ，即证 ( )0 0P x y， 2 0 02x y= ( ) ( ) 2 2 0 2 0 4 2 ym n y − = − ， 0 2y > 0 0 2 ,2 ymn y = − ( ) 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 42 42 2 2 2PMN yyS m n y y yy y y∆ = − = ⋅ = = − + +− − − ( )0 0 42 2 4 82y y  ≥ − + = −  ( )2 0 2 4y − = 0 04, 2 2y x= = ± ( ) 2 (1 2 )ln af x x a x x = + − + ( )f x ( )f x m= 1 2,x x 1 2x x< 1 2 02 x xf + ′ >   2 2 2 2 1 2 2 (1 2 ) ( )(2 1)( ) 2 ( 0)a a x a x a x a xf x xx x x x − + − − − +′ = + − = = > 0a (0, ), ( ) 0, ( )x f x f x′∈ +∞ > 0a > (0, ), ( ) 0, ( )x a f x f x′∈ < ( , ), ( ) 0, ( )x a f x f x′∈ +∞ > 0a ( )f x (0, )+∞ 0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞ 0a ( )f x (0, )+∞ ( )f x m= 0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞ ( ) 0f a′ = 1 20 x a x< < < 1 2 02 x xf + ′ >   1 2 2 x x a + > 1 2 2x x a+ > 试卷第 10 页，总 12 页 ． ∵ 在 单调递增，即证 ， ∵ ，∴即证 ，即证 ． 令 ， ． 当 时， 单调递减，又 ，∴ 时， ，即 ，即 ． 又 ，∴ ，∴ ． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点为极点， 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）在曲线 上任取一点 ，连接 ，在射线 上取一点 ，使 ，求 点轨迹的极坐 2 12x a x> − ( )f x ( , )a +∞ ( ) ( )2 12f x f a x> − ( ) ( )2 1f x f x= ( ) ( )1 12f x f a x> − ( ) ( )f a x f a x+ < − ( ) ( ) ( )g x f a x f a x= + − − 2( ) (1 2 )ln( ) 2( ) (1 2 )ln( )a aa x a a x a x a a xa x a x    = + + − + + − − + − − +   + −    4 (1 2 )ln( ) (1 2 )ln( ) a ax a a x a a x a x a x = + − + − − − + −+ − 2 2 1 2 1 2( ) 4 ( ) ( ) a a a ag x a x a x a x a x − −′ = + + − −+ − + − ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 42 (1 2 )4 ( ) ( ) ( ) ( ) a a x x x a aa a a x a x a x a x a x + − −−= + − =− + − + − (0, )x a∈ ( ) 0, ( )g x g x′ < (0) ( 0) ( 0) 0g f a f a= + − − = (0, )x a∈ ( ) (0) 0g x g< = ( ) ( )f a x f a x+ < − ( ) (2 )f x f a x> − 1 (0, )x a∈ ( ) ( )1 12f x f a x> − 1 2 02 x xf + ′ >   xOy 1C 34 2 1 2 x t y t  = +  = t x 2C 2 2 5 3cos2 ρ θ = − 1C Q OQ OQ P 4OP OQ = P 试卷第 11 页，总 12 页 标方程； （2）在曲线 上任取一点 ，在曲线 上任取一点 ，求 的最小值． 【解析】（1）∵曲线 的参数方程为 （ 为参数）， ∴ 化为普通方程为 ，故 的极坐标方程为 ， 设 ，则 ，即 ， ， ， 点轨迹的极坐标方程为 ． （2）∵曲线 的极坐标方程为 ，∴ 化为直角坐标方程为 ． 故 可化为参数方程为 （ 为参数）， 的最小值为椭圆 上的点 到直线 距离的最小值． 设 ，则 ， ． 23．选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 1C M 2C N MN 1C 34 2 1 2 x t y t  = +  = t 1C 3 4 0x y− − = 1C cos 23 πρ θ + =   ( ) ( )0 0, , ,Q Pρ θ ρ θ 0 0 4,ρρ θ θ =  = 0 0 4ρ ρ θ θ  =  = 0 0cos 23 πρ θ + =   4 cos 23 πθρ  ∴ + =   ∴ P ( )2cos 03 πρ θ ρ = + ≠   2C 2 2 5 3cos2 ρ θ = − 2C 2 2 14 x y+ = 2C 2cos sin x y ϕ ϕ =  = ϕ MN 2C N 1C ( )2cos ,sinN ϕ ϕ ( ) ( )2cos 3sin 4 7 sin 4 4 7 sin 2 2 2 a ad ϕ ϕ ϕ ϕ− − − − − −= = = min 4 7 2d −= min 4 7 2MN −∴ = 试卷第 12 页，总 12 页 已知函数 （ ）的最小值为 2． （Ⅰ）求不等式 的解集； （Ⅱ）若 ，求 的最大值． 【解析】（Ⅰ）∵ ，∴ （ 舍去）， ∴ ， 当 时，令 ，得 ，∴ ； 当 时，令 ，得 ，无解； 当 时，令 ，得 ，∴ ． ∴不等式的解集为 ． （Ⅱ） ，∴ ， ∴ ，当且仅当 时等号成立，∴ 的最大值为 5. ( ) 2f x x x t= − + − 0t > ( ) 4 8f x x+ − ≥ 2 2 2 52 3 5 2a b c t+ + = 2 3ac bc+ ( ) ( )2 2 2 2x x t x x t t− + − ≥ − − − = − = 4t = 0t = ( ) 10 3 , 2 2 2 4 6 ,2 4 3 10, 4 x x f x x t x x x x x x − < + − = − + − = − ≤ ≤  − > 2x < 10 3 8x− ≥ 2 3x ≤ 2 3x ≤ 2 4x≤ ≤ 6 8x− ≥ 2x −≤ 4x > 3 10 8x − ≥ 6x ≥ 6x ≥ 2| 63x x x ≤ ≥  或 2 2 22 3 5 10a b c+ + = ( ) ( )2 2 2 2 2 2 210 2 3 5 2 3 4 6a b c a c b c ac bc= + + = + + + ≥ + 2 3 5ac bc+ ≤ 1a b c= = = ± 2 3ac bc+