数学卷·2018届河北省承德二中高三上学期第一次月考文科数学试卷（解析版）

数学卷·2018届河北省承德二中高三上学期第一次月考文科数学试卷（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！高三数学试卷（文科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知复数满足则，则 （ ）‎ A. B. 41 C. 5 D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C。‎ ‎2. 已知集合，则的子集的个数为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】 的子集有四个，故选B。‎ ‎3. 在等差数列中，，公差，则（ ）‎ A. 14 B. 15 C. 16 D. 17‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 本题选择D选项.‎ ‎4. 如图，在中，为线段的中点，依次为线段从上至下的3个四等分点，若，则（ ）‎ A. 点与图中的点重合 B. 点与图中的点重合 C. 点与图中的点重合 D. 点与图中的点重合 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∴点P与图中的点F重合.‎ 本题选择C选项.‎ ‎5. 分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则（ ）‎ A. 4 B. 3 C. D. 2‎ ‎【答案】A 本题选择A选项.‎ ‎6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有个面是矩形，体积为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知，该几何体为直五棱柱，底面为俯视图所示，高为2，‎ 故.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．‎ ‎7. 已知点是平面区域内的任意一点，则的最小值为（ ）‎ A. -3 B. -2 C. -1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出不等式组表示的可行域，‎ 由图可知，当a=0,b=2时，目标函数z=在点处取得最小值-2.‎ 本题选择B选项.‎ ‎8. 若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得：，‎ 据此整理可得：，‎ 则：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．‎ ‎(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．‎ ‎9. 设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图象可能为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意,若f(x)为偶函数,则其导数f′(x)为奇函数，‎ 结合函数图象可以排除B. D，‎ 又由函数f(x)在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，‎ 结合选项可以排除A，‎ 只有C选项符合题意；‎ 本题选择C选项.‎ ‎10. 我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）‎ A. ①②③‎ B. ①②③‎ C. ①②③‎ D. ①②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】程序运行过程中，各变量值如下表所示：‎ 第1次循环：，‎ 第2次循环：，‎ 第3次循环：，…‎ 依此类推,第7次循环：，‎ 此时不满足条件，退出循环，‎ 其中判断框内①应填入的条件是：i⩽128?，‎ 执行框②应填入：，‎ ‎③应填入：i=2i.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：(1)解决程序框图问题要注意的三个常用变量 ‎①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.‎ ‎②累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i；‎ ‎③累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.‎ ‎(2)使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．‎ ‎11. 已知多面体的每个顶点都在球的表面上，四边形为正方形，，且在平面内的射影分别为，若的面积为2，则球的表面积的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设AB=a,BE=b,则△ABE的面积为 多面体可以通过补形成长方体，‎ 如图所示，则球O即为该长方体的外接球，‎ 其表面积为 本题选择A选项.‎ ‎12. 若函数恰有4个零点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当 仅与轴交于时，与轴有三个交点，满足题意，此时与满足；当 与轴有两个交点，与 轴有两个时，满足题意，此时满足；当 与轴有三个交点，与轴有一个时，满足题意，此时满足；故选C。‎ 点睛： 与在 与轴的交点都是三个，本题的分段函数与轴交点为四个，需分情况讨论：与轴交点个数：0，1，2，3四种情况即可得结论。本题难度较大，主要考查了的图象。‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 为应对电信诈骗，工信部对微信、支付宝等网络支付进行规范，并采取了一些相应的措施，为了调查公众对这些措施的看法，某电视台法制频道节目组从2组青年组，2组中年组2，2组老年组中随机抽取2组进行采访了解，则这2组不含青年组的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设2组青年组的编号分别为1,2,2组中年组的编号分别为3,4,2组老年组的编号为5,6，则从中抽取两组所有的情况为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6），共15种，其中不含青年组的情况有6种，故所求概率为 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．‎ ‎(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.‎ ‎14. 设椭圆的离心率为，则直线与的其中一个交点到轴的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得 ‎∴直线与的其中一个交点到轴的距离为.‎ ‎15. 若是公比为2的等比数列，且，则__________．（用数字作答）‎ ‎【答案】1013‎ ‎【解析】因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ 所以 所以 ‎16. 已知且，函数存在最小值，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，的最小值为2.‎ 当时，若01，要使存在最小值，必有解得 三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答） ‎ ‎17. 的内角所对的边分别为.已知，且.‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）若，求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由正弦定理角化边可得，然后利用面积公式可得的面积.‎ ‎(2)由题意结合余弦定理可得，则的周长为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，得，∴，‎ ‎∵，∴，故的面积.‎ ‎（2）由余弦定理得：，∴，‎ ‎∴，∴，∴，‎ 即的周长为.‎ ‎18. 如图，在底面为矩形的四棱锥中，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，二面平面，求三棱锥与三棱锥的表面积之差.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题中的几何关系可证得平面，结合面面垂直的判断定理即可证得平面平面；‎ ‎(2)由题意分别求得三棱锥与三棱锥的表面积，两者做差可得结果为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：由已知四边形为矩形，得，‎ ‎∵，，∴平面.‎ 又，∴平面.‎ ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（2）解：∵平面平面，平面平面 ，，‎ ‎∴平面，∴，∴的面积为.‎ 又，∴平面，∴，∴的面积为.‎ 又平面，∴，∴的面积为.‎ 又，∴的面积为8.‎ 而的面积与的面积相等，且三棱锥与三棱锥的公共面为，‎ ‎∴三棱锥与三棱锥的表面积之差为.‎ ‎19.‎ ‎ 共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态.一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：‎ 租用单车数量（千辆）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ 每天一辆车平均成本（元）‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.7‎ 根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.‎ ‎（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：‎ ‎①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：称为相应于点的残差（也叫随机误差））；‎ 租用单车数量（千辆）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ 每天一辆车平均成本(元)‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.7‎ 模型甲 估计值 ‎ ‎2.4‎ ‎2.1‎ ‎1.6‎ 残差 ‎0‎ ‎-0.1‎ ‎0.1‎ 模型乙 估计值 ‎2.3‎ ‎2‎ ‎1.9‎ 残差 ‎0.1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较的大小，判断哪个模型拟合效果更好.‎ ‎（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6.问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.‎ ‎【答案】（1）模型乙的拟合效果更好（2）增加到投放1万辆 ‎【解析】试题分析（1）①通过对回归方程的计算可得两种模型的估计值，代入，即可得残差；②计算可得可知模型乙拟合效果更好；（2）分别计算投放千辆和一万辆时该公司一天获得的总利润，即可得结论。‎ ‎（1）①经计算，可得下表：‎ ‎②，，‎ ‎，故模型乙的拟合效果更好.‎ ‎（2）若投放量为8千辆，则公司获得每辆车一天的收入期望为，‎ 所以一天的总利润为（元）‎ 若投放量为1万辆，由（1）可知，每辆车的成本为（元），‎ 每辆车一天收入期望为，‎ 所以一天的总利润为（元）‎ 所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆.‎ ‎20. 如图，已知抛物线，圆，过抛物线的焦点且与轴平行的直线与交于两点，且.‎ ‎（1）证明：抛物线与圆相切；‎ ‎（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，且直线的斜率，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)联立抛物线与圆的方程，可得所得的二次方程，∴抛物线与圆相切.‎ ‎(2)设出直线方程，联立直线与抛物线的方程，结合题意可得，换元令 可得的取值范围是．‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：∵，∴，故抛物线的方程为，‎ 联立与，得，‎ ‎∵，∴抛物线与圆相切.‎ ‎（2），直线的方程为，‎ 圆心到直线的距离为，‎ ‎∴，‎ 设，‎ 由，得，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，设 ，则，‎ 设，则，‎ ‎∵，∴，∴函数在上递增，‎ ‎∴，∴，即的取值范围为.‎ ‎21. 已知函数，曲线在 处的切线方程为.‎ ‎（1）若在上有最小值，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，若关于的不等式有解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎ ‎ ‎（1），‎ 由题意可知，解得.‎ 所以，当，即时，递增；‎ 当，即时，递减.‎ 因为在上有最小值，所以的取值范围为.‎ ‎（2）关于的不等式在上有解等价于 不等式在上有解.‎ 设，则，‎ 当，即时，递增；‎ 当，即时，递减.‎ 又 ，，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 所以的取值范围是.‎ 点睛：(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．‎ ‎(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．‎ ‎(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．‎ ‎（二）选考题（共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）‎ ‎22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点.以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.已知直线（为参数）与曲线交于两点，且.‎ ‎（1）若为曲线上任意一点，求的最大值，并求此时点的极坐标；‎ ‎（2）求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由两角和的正弦公式可得，可以求出的最大值及此时点的极坐标方程；（2）将曲线转化成普通方程，将的参数方程代入，由的几何意义可得的大小，可得结论。‎ ‎（1）∵，，‎ ‎∴当时，取得最大值，此时，的极坐标为.‎ ‎（2）由，得，即，‎ 故曲线的直角坐标方程为.‎ 将代入并整理得：，解得，‎ ‎∵，∴由的几何意义得，，，‎ 故.‎ 点睛：在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意 的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．‎ ‎23. 【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的图象在上与轴有3个不同的交点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）本题可转化为含两个绝对值的不等式，分三种情况去绝对值即可；（2）本题转化为当有三个不同交点时，的范围，可作的图象，得的范围。‎ ‎（1）由，得，‎ ‎∴或或，‎ 解得，故不等式的解集为.‎ ‎（2） ，‎ 当时， ，当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴，‎ 当时，递减，‎ 由，得，‎ 又，结合的图像可得.‎ ‎ ‎