2018-2019学年四川省成都市温江区高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年四川省成都市温江区高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省成都市温江区高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．若实数a＞b，则下列结论成立的是（ 　　）‎ A．a2＞b2 B． C．ln2a＞ln2b D．ax2＞bx2‎ ‎【答案】C ‎【解析】特值法排除A,B,D,单调性判断C ‎【详解】‎ 由题意，可知：‎ 对于A：当a、b都是负数时，很明显a2＜b2，故选项A不正确；‎ 对于B：当a为正数，b为负数时，则有，故选项B不正确； ‎ 对于C：∵a＞b，∴2a＞2b＞0，∴ln2a＞ln2b，故选项C正确；‎ 对于D：当x＝0时，结果不成立，故选项D不正确；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查不等式的性质应用，特殊值技巧的应用，指数函数、对数函数值大小的比较．本题属中档题．‎ ‎2．已知两条直线m，n，两个平面α，β，下列命题正确是（　 　）‎ A．m∥n，m∥α⇒n∥α B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n C．α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m⊥n D．α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β ‎【答案】D ‎【解析】在A中，n∥α或n⊂α；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．‎ ‎【详解】‎ 由两条直线m，n，两个平面α，β，知：‎ 在A中，m∥n，m∥α⇒n∥α或n⊂α，故A错误；‎ 在B中，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n平行或异面，故B错误；‎ 在C中，α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n相交、平行或异面，故C错误；‎ 在D中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】‎ 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎3．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3是a2与a6的等比中项，S3＝3，则S8＝（　 　）‎ A．36 B．42 C．48 D．60‎ ‎【答案】C ‎【解析】设出等差数列的等差d，根据a3是a2与a6的等比中项，S3＝3，利用等比数列的性质和等差数列的前n项和的公式化简得到关于等差数列首项和公差方程组，求出方程组的解集即可得到首项和公差，然后再利用等差数列的前n项和的公式求出S8即可 ‎【详解】‎ 设公差为d（d≠0），则有，‎ 化简得：，‎ 因为d≠0，解得a1＝-1，d＝2，‎ 则S8＝-82＝48．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 此题考查运用等差数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式化简求值，意在考查公式运用，是基础题．‎ ‎4．在△ABC中，AC，BC＝1，∠B＝45°，则∠A＝（　 　）‎ A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用正弦定理求出sinA的大小，根据大边对大角可求A为锐角，即可得解A的值．‎ ‎【详解】‎ 因为：△ABC中，BC＝1，AC，∠B＝45°，‎ 所以：，sinA．‎ 因为：BC＜AC，可得：A为锐角，‎ 所以：A＝30°．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎5．设x、y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（　 　）‎ A．0 B．0.5 C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】‎ 由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（2，3），‎ 化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，‎ 直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×2﹣3＝1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎6．石臼是人类以各种石材制造的，用以砸、捣、研磨药材、食品等的生产工具，是由长方体挖去半球所得几何体，若某石臼的三视图如图所示（单位：dm），则其表面积（单位：dm2）为（　 　）‎ A．132+8π B．168+4π C．132+12π D．168+16π ‎【答案】B ‎【解析】利用三视图的直观图，画出几何体的直观图，然后求解表面积即可．‎ ‎【详解】‎ 几何体的直观图如图：‎ 几何体的表面积为：6×6×2+4×6×4﹣4π+2π×22＝168+4π．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 本题考查三视图及求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．‎ ‎7．已知△ABC的项点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（　 　）‎ A．x﹣y+2＝0 B．xy+2＝0 C．xy+2＝0 D．x﹣2y+2＝0‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知可得|AB|＝|BC|＝5，所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，继而可以求得结果．‎ ‎【详解】‎ 由已知可得|AB|＝|BC|＝5，‎ 所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，‎ 又线段AC中点坐标为（2，2），‎ 则角B的内角平分线所在直线方程为y﹣2，‎ 即x﹣2y+2＝0．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】‎ 本题考查直线的位置关系，考查垂直的应用，由|AB|＝|BC|＝5转化为求直线的AC的垂直平分线是关键，属于中档题．‎ ‎8．若tan（）＝2，则sin2α＝（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由两角差的正切得tan，化sin2α为tan的齐次式求解 ‎【详解】‎ tan（）＝2，则 ‎ 则sin2α＝ ‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查两角差的正切公式，考查二倍角公式及齐次式求值，意在考查公式的灵活运用，是基础题 ‎9．如图，平面ABCD⊥平面EDCF，且四边形ABCD和四边形EDCF都是正方形，则异面直线BD与CE所成的角为（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD与CE所成的角．‎ ‎【详解】‎ ‎∵平面ABCD⊥平面EDCF，且四边形ABCD和四边形EDCF都是正方形，‎ ‎∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设AB＝1，则B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），E（0，0，1），‎ ‎（﹣1，﹣1，0），（0，﹣1，1），‎ 设异面直线BD与CE所成的角为θ，‎ 则cosθ，‎ ‎∴θ．‎ ‎∴异面直线BD与CE所成的角为．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎10．已知直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，则的最小值为（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），将所求式子化为b的关系式，由基本不等式可得所求最小值．‎ ‎【详解】‎ 直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，‎ 可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），‎ 则 ‎[（11﹣6b）+（9+6b）]（）‎ ‎（7），‎ 当且仅当时，即b，a，上式取得最小值 ‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．‎ ‎11．在数列{an}中，若a1，且对任意的n∈N有，则数列{an}前10项的和为（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】用累乘法可得．利用错位相减法可得S，即可求解S10＝22．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，则．‎ ‎∴，．‎ Sn，‎ ‎．‎ ‎∴，‎ ‎∴S，则S10＝22．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了累乘法求通项，考查了错位相减法求和，意在考查计算能力，属于中档题．‎ ‎12．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是 A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数，由，可得 ‎ ‎ ，，因此即可得出．‎ ‎【详解】‎ 函数 ‎ ‎ 由，可得 ‎ 解得 ， ‎ ‎∵ 在区间内没有零点， .‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．直线的倾斜角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由直线方程可知斜率 ‎【考点】直线倾斜角与斜率 ‎14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意可知，解得，所以.‎ ‎【考点】等差数列通项公式．‎ ‎15．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球的表面积_____．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由题意推出球心O到四个顶点的距离相等，利用直角三角形BOE，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ ‎∵正三棱锥A﹣BCD中，底面边长为，底面外接圆半径为 ‎ 侧棱长为2，BE=1,在三角形ABE中，根据勾股定理得到：高AE 得到球心O到四个顶点的距离相等，O点在AE上，‎ 在直角三角形BOE中 BO＝R，EOR，BE＝1，‎ 由BO2＝BE2+EO2，得R ‎∴外接球的半径为，表面积为：‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎16．若A为△ABC的最小内角，则函数f（A）的值域为_____．‎ ‎【答案】[，）‎ ‎【解析】依题意，0＜A，利用辅助角公式得cosA+sinAsin（A），利用正弦函数的单调性即可求得cosA+sinA的取值范围，在利用换元法以及同角三角函数基本关系式把所求问题转化结合基本不等式即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵A为△ABC的最小内角，‎ ‎∴0＜A，‎ 又cosA+sinA＝sin（A），‎ ‎∴A，‎ ‎∴sin（A）≤1，‎ ‎∴1＜sin（A），‎ ‎∴cosA+sinA的取值范围是（1，]．‎ 令t＝cosA+sinA，则t∈（1，]⇒t2＝1+2sinAcosA⇒2sinAcosA＝t2﹣1；‎ ‎∴f（A）；‎ 即为g（t）；‎ ‎∵t∈（1，]⇒t∈（2，2]．‎ ‎∴g（t）∈[，）．‎ 故答案为：[，）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式与正弦函数的单调性，以及换元法的应用和基本不等式的应用，属于中档题目．‎ 三、解答题 ‎17．知两条直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，求当m为何值时，l1与l2：‎ ‎（1）垂直；‎ ‎（2）平行，并求出两平行线间的距离．‎ ‎【答案】(1) m (2) m＝﹣7，距离为 ‎【解析】（1）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值．‎ ‎（2）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值，再利用两平行线间的距离公式，求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）两条直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，‎ 当（3+m ）•2+4（5+m）＝0时，即6m+26＝0时，l1与l2垂直，‎ 即m时，l1与l2垂直．‎ ‎（2）当 时，l1与l2平行，‎ 即 m＝﹣7时，l1与l2平行，此时，两条直线l1：﹣2x+2y＝13，l2：﹣2x+2y＝﹣8，‎ 此时，两平行线间的距离为 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两条直线垂直、平行的性质，两条平行线间的距离公式，属于基础题．‎ ‎18．记公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知=2，是与的等比中项．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎【答案】（Ⅰ）an=2n（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由a4是a2与a8的等比中项，可以求出公差，这样就可以求出求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）先求出等差数列{an}的前n项和为Sn，用裂项相消法求出求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由已知，，即（2+3d）2=（2+d）（2+7d），‎ 解得：d=2（d≠0），‎ ‎∴an=2+2（n-1）=2n；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴=．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式．重点考查了裂项相消法求数列前n项和．‎ ‎19．（1）若关于x的不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎（2）解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0，其中a＜1．‎ ‎【答案】(1) m；(2)见解析 ‎【解析】（1）利用△＜0列不等式求出实数m的取值范围；‎ ‎（2）讨论0＜a＜1、a＝0和a＜0，分别求出对应不等式的解集．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1化为（m2+1）x2﹣（2m﹣1）x+1＞0，‎ 由m2+1＞0知，△＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＜0，‎ 化简得﹣4m﹣3＜0，解得m，‎ 所以实数m的取值范围是m；‎ ‎（2）0＜a＜1时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x）＞0，且1，‎ 解得x＜1或x，‎ 所以不等式的解集为{x|x＜1或x}；‎ a＝0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为﹣（x﹣1）＞0，‎ 解得x＜1，‎ 所以不等式的解集为{x|x＜1}；‎ a＜0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x）＜0，且1，‎ 解得x＜1，‎ 所以不等式的解集为{x|x＜1}．‎ 综上知，0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1或x}；‎ a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；‎ a＜0时，不等式的解集为{x|x＜1}．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式恒成立问题和含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题．‎ ‎20．已知函数f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x，其中x∈R，‎ ‎（1）求函数f（x）的值域及最小正周期；‎ ‎（2）如图，在四边形ABCD中，AD＝3，BD，f（A）＝0，BC⊥BD，BC＝5，求△ABC的面积S△ABC．‎ ‎【答案】(1) 值域为[﹣3，1]，最小正周期为π； (2)．‎ ‎【解析】（1）化简f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2xsin2x﹣22sin（2x）﹣1，即可．‎ ‎ （2）求得AAB，cos，可得△ABC的面积S△ABC．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2xsin2x﹣22sin（2x）﹣1，‎ 函数f（x）的值域为[﹣3，1]‎ 最小正周期为π；‎ ‎（2）∵f（A）＝0，即sin（2A），∴A．‎ 在△ADB中，BD2＝AD2+AB2﹣2AD•ABcosA ‎⇒，解得AB cos，则sin∠ABC＝cos．‎ ‎△ABC的面积S△ABC．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角恒等变形、三角形面积计算，考查余弦定理，意在考查计算能力，属于中档题．‎ ‎21．如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使平面PAB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，‎ ‎（1）证明：AB⊥PC；‎ ‎（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值 ‎（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由 ‎【答案】(1)证明见解析 (2)．(3)存在，PN．‎ ‎【解析】（1）只需证明AB⊥面PMC，即可证明AB⊥PC；‎ ‎（2）由PM⊥面ABCD得∠PDM为PD与平面ABCD所成角，解△PDM即可求得PD与平面ABCD所成角的正弦值．‎ ‎（3）设DB∩MC＝E，连接NE，可得PB∥NE，．即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，‎ ‎∴PM⊥AB．‎ ‎∵ABCD为菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，‎ ‎∴AB⊥面PMC，‎ ‎∵PC⊂面PMC，∴AB⊥PC；‎ ‎（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊥AB．‎ ‎∴PM⊥面ABCD，‎ ‎∴∠PDM为PD与平面ABCD所成角．‎ PM，MD，PD sin∠PMD，‎ 即PD与平面ABCD所成角的正弦值为．‎ ‎（3）设DB∩MC＝E，连接NE，‎ 则有面PBD∩面MNC＝NE，‎ ‎∵PB∥平面MNC，∴PB∥NE．‎ ‎∴．‎ 线段PD上存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、线面角，利用线面平行的性质定理确定点N的位置是关键，属于中档题．．‎ ‎22．动直线m：3x+8y+3λx+λy+21＝0（λ∈R）过定点M，直线l过点M且倾斜角α满足cosα，数列{an}的前n项和为Sn，点P（Sn，an+1）在直线l上．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）设bn，数列{bn}的前n项和Tn，如果对任意n∈N，不等式成立，求整数k的最大值．‎ ‎【答案】(1) an＝6•（﹣1）n﹣1；(2) 最大值为2．‎ ‎【解析】（1）由直线恒过定点可得M（1，﹣3），求得直线l的方程，可得an+6＝2Sn，运用数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求；‎ ‎（2）bn•（﹣1）n﹣1，讨论n为偶数或奇数，可得Tn，再由不等式恒成立问题解法，可得所求k的范围，可得最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）3x+8y+3λx+λy+21＝0即为（3x+8y+21）+λ（3x+y）＝0，‎ 由3x+y＝0且3x+8y+21＝0，解得x＝1，y＝﹣3，可得M（1，﹣3），‎ 可得直线l的斜率为tanα2，即直线l的方程为y+3＝2（x﹣1），‎ 即有y＝2x﹣5，‎ 即有an+1＝2Sn﹣5，即an+6＝2Sn，‎ 当n＝1时，可得a1+6＝2S1＝2a1，即a1＝6，‎ n≥2时，an﹣1+6＝2Sn﹣1，又an+6＝2Sn，‎ 相减可得2an＝an﹣an﹣1，即an＝﹣an﹣1，‎ 可得数列{an}的通项公式an＝6•（﹣1）n﹣1；‎ ‎（2）bn，即bn•（﹣1）n﹣1，‎ 当n为偶数时，Tnn；当n为奇数时，Tnn，‎ 当n为偶数时，不等式成立，‎ 即为2n﹣7即k≤2n﹣2，可得k≤2；‎ 当n为奇数时，不等式成立，‎ 即为2n﹣7即4k≤6n﹣1，可得k，‎ 综上可得k≤2，即k的最大值为2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的递推式的运用，直线方程的运用，数列的分组求和，以及不等式恒成立问题解法，考查化简运算能力，属于中档题．‎