甘肃省张掖市临泽县第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

甘肃省张掖市临泽县第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

临泽一中 2018-2019 学年第二学期期末试卷 高二文科数学 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1.已知 为虚数单位，则复数 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由复数的除法运算化简求解即可 【详解】 故选 C 【点睛】本题考查复数的运算，考查计算能力，是基础题 2.设集合 ，集合 ，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由集合的交集运算得解 【详解】 ，由此 ，故选 B． 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题． 3.双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 i 5 1 2i =+ 2 i+ 1 2i− − 1-2i 2 i− ( ) ( )( ) 5 1 25 1 21 2 1 2 1 2 i ii i i −= = −+ + − { }2 6 0A x x x= − − ≥ { }01 2 3 4B = ，，，， A B { }4 { }3 4， { }2 3 4，， { }0,1 2 3 4，，， { } { }2| 6 0 | 3 2A x x x x x x= − − = ≤ −或  {3,4}A B∩ = 2 29 4 1y x− = 4 9y x= ± 9 4y x= ± 2 3y x= ± 3 2y x= ± 【分析】 根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，得 、 的值，由双曲线的渐近线方程分析可得 答案． 【详解】根据题意，双曲线 的标准方程为 ， 其焦点在 轴上，且 ， ， 则其渐近线方程为 ； 故选 ． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的计算，注意双曲线的焦点位 置，是基础题 4.已知直线 与圆 相交于 ， 两点，则 （ ） A. 2 B. 4 C. D. 与 的取值有关 【答案】B 【解析】 【分析】 由圆的方程可得圆心为（0，-1）,半径 r=2，直线恰好过圆心，可得|AB|=2r. 【详解】由圆 ，得圆心（0，-1），半径 r＝2， 又直线 恒过圆心（0，-1）， 则弦长|AB|=2r=4， 故选 B． 【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，考查直线过定点问题和弦长问题，属于简单题. 5.等差数列 的公差为 ，若 成等比数列，则 的前 项和 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 a b 2 29 4 1y x− = 2 2 11 1 9 4 y x− = y 1 3a = 1 2b = 2 3y x= ± C 1y kx= − 2 2 2 3 0x y y+ + − = A B AB = 2 3 k 2 2 2 3 0x y y+ + − = 1y kx= − { }na 1 2 4 8, ,a a a { }na 10 10S = 110 90 55 45 由 成等比数列，所以 ，又 ，解得： ，再 利用求和公式即可得出． 【详解】解：∵ 成等比数列， ∴ ，可得 ，又 ， 化简得： ， 则{an}的前 10 项和 ． 故选 C． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题． 6.若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据诱导公式化简 ，再根据二倍角余弦公式得结果. 【详解】∵ ，∴ ，故 选 B. 【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力,属基础题. 7.记 表示不超过 的最大整数.若在 上随机取 1 个实数，则使得 为偶数 的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 2 4 8a a a， ， ( ) ( )( )2 1 1 13 7a d a d a d+ = + + 1d = 1a 2 4 8a a a， ， 2 4 2 8a a a= ( ) ( )( )2 1 1 13 7a d a d a d+ = + + 1d = 1 101, 10a a= = ( ) 10 1 10 10 55.2S + ×= = 4sin( )6 5x π− = sin(2 )6x π+ 7 25 7 25 − 24 25 24 25 − sin(2 )6x π+ 4sin( )6 5x π− = 2 32 7sin(2 ) cos 2 1 2sin 16 3 6 25 25x x x π π π −   + = − = − − = − =       [ ]m m 1 1( , )8 2x∈ 2[log ]x 2 3 1 2 1 3 1 4 根据题意得到 .所以 ，再由几何概型的长度模型得到结果. 【详解】若 ，则 .要使得 为偶数，则 .所 以 ，故所求概率 . 故答案为 A. 【点睛】本题考查了对数不等式的解法，以及几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率 公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度， 面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域 Ω 上任置都是等可能的，而对于角度而言， 则是过角的顶点的一条射线落在 Ω 的区域（事实也是角）任一位置是等可能的． 8.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为 1 的正方形，正视图与侧视图都是边长为 1 的正 三角形，则此几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先通过三视图找到几何体原图，再利用锥体的体积公式求体积. [ )2log 2, 1x∈ − − 1 1,4 2x  ∈   1 1,8 2x  ∈   ( )2log 3, 1x∈ − − [ ]2log x [ )2log 2, 1x∈ − − 1 1,4 2x  ∈   1 1 22 4 1 1 3 2 8 P − = = − 3 6 3 3 3 2 1 3 【详解】 由题得几何体是如图所示的正四棱锥，底面是边长为 1 的正方形，斜高 PH=PG=1, 所以几何体的高为 . 所以几何体的体积为 . 故选 A 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体和几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力. 9.函数 的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先利用函数奇偶性的定义判断函数为奇函数，再根据 时， ，即可得出结果. 【详解】由 ，定义域为 ， 2 21 31 ( )2 2 − = 21 3 31 =3 2 6V = × ×（ ） ( ) ln xf x x = 1x > ( ) 0f x > ( ) ln xf x x = ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ 又 ，所以函数为奇函数，故排除 B、C， 时， ，故排除 D， 故选：A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的应用，属于基础题. 10.将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象，若函数 的图象关于原点对称，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出平移后函数解析式，由图象关于原点对称，即函数为奇函数，结合诱导公式可得 ，从 而得出结论． 【详解】平移后解析式为 ，其图象关于原点对称， 则 ， ， ，易知 最小时 ．故选 A． 【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查函数的奇偶性，掌握诱导公式是解题关 键．平移变换时要注意平移单位是对自变量 而言． 11.已知定义在 R 上的偶函数 满足 ，当 时， ， 函数 （ ），则函数 与函数 的图象的所有交点的横坐标之和 为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数的性质可得： 的图像关于直线 对称且关于 轴对称，函数 （ ）的图像也关于 对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两 ( ) ( )ln xf x xx f −= = −−−  1x > ∴ ( ) ln 0xf x x = > ( ) cos(2 )f x x ϕ= + 6 π ( )g x ( )g x | |ϕ 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π ϕ ( ) cos[2( ) ] cos(2 )6 3g x x x π πϕ ϕ= − + = − + ,3 2k k Z π πϕ π− = + ∈ 5 6k πϕ π= + k Z∈ ϕ 6 πϕ = − x ( )f x ( ) ( )1 1f x f x+ = − [ ]0,1x∈ ( ) 1f x x= − + ( ) 1xg x e− −= 1 3x− ≤ ≤ ( )f x ( )g x ( )f x 1x = y ( ) 1xg x e− −= 1 3x− ≤ ≤ 1x = 两关于直线 对称，则 与 的图像所有交点的横坐标之和为 4 得解. 【详解】由偶函数 满足 ， 可得 的图像关于直线 对称且关于 轴对称， 函数 （ ）的图像也关于 对称， 函数 的图像与函数 （ ）的图像的位置关系如图所示， 可知两个图像有四个交点，且两两关于直线 对称， 则 与 的图像所有交点的横坐标之和为 4. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关 键，属于中档题. 12.在三棱锥 D-ABC 中，AC=BC=BD=AD= CD，并且线段 AB 的中点 O 恰好是其外接球 的球心.若该三棱锥的体积为 ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意先求出 AB 与 AD 关系，取 OC 中点为 E，进而确定 ，求出 的长，即是 三棱锥的高，再由三棱锥的体积求出外接球半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】设外接球半径为 R，因为线段 AB 的中点 O 恰好是其外接球的球心，所以 OB=OC=OD， 由 BD=AD 可得 ，所以 ，所以 ， 1x = ( )f x ( )g x ( )f x ( ) ( )1 1f x f x+ = − ( )f x 1x = y ( ) 1xg x e− −= 1 3x− ≤ ≤ 1x = ( )y f x= ( ) 1xg x e− −= 1 3x− ≤ ≤ 1x = ( )f x ( )g x 2 4 3 3 64π 16π 8π 4π DE OC⊥ DE OD OB⊥ 2 2AC BC AD BD 2OD OB R= = = = + = CD R= 所以 为等边三角形； 又 ， ，所以 平面 ，所以平面 平面 ； 取 OC 中点为 E，连结 ，则 ，故 平面 ，所以 为三棱锥 D-ABC 的高， 又在等边三角形 中， ， 所以 ，解得 ， 所以 . 故选 B 【点睛】本题主要考查棱锥外接球的表面积，根据题意求出球的半径，即可求解，属于常考 题型. 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知 是夹角为 60°的两个单位向量，若向量 ，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得 ， ，代入可得 ，求其算数平方根可得. 【详解】由题意可得 ， ， 所以 ， 所以 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量模的运算以及向量的数量积，属于基础题. 14.若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为______________． 【答案】 OCD AB OC⊥ AB OD⊥ AB ⊥ OCD ABC ⊥ OCD DE DE OC⊥ DE ⊥ ABC DE OCD 3 3DE 2 2OC R= = 3 D ABC 1 1 1 3 3 4 3DE 23 3 2 2 6 3ABCV S R R R R− = = × × × × = =  三棱锥 2R = 24 16S Rπ π= =球 1 2,e e  1 22 3a e e= −   a = 7 2 2 1 21, 1e e= =  1 2 1 2e e⋅ =  2 a 2 2 1 21, 1e e= =  1 2 1 2e e⋅ =  ( )22 1 22 3 4 6 9 7a e e= − = − + =   7a = 7 x y 2 1 2 x y x y y + ≥  − ≤  ≤ 1 2x y+ 1 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得到答案． 【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示， 令 ，即 ， 易知当直线 经过点 时， 取得最小值． 由 可得 ，故 ． 【点睛】本题考查简单线性规划问题，关键是正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义 求最值，考查了数形结合的思想，属于基础题． 15.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，椭圆 外一点 满足 ，且 ，线段 、 分别交椭圆 于点 、 ，若 ， 则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】 作出图形，由题意得出 为线段 的中点，可得出 ，且有 ，并计算出点 的 坐标，即可得出 的值. 【详解】如下图所示，设椭圆的焦距为 ，则 ， ， 为 的中点， 1 2z x y= + 2 2y x z= − + 2 2y x z= − + A 1 2z x y= + 2 2 y x y =  + = (0,2)A min 1 0z = × + 1 2 12 × = ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1F 2F C P 2 1 2PF F F⊥ 2 1 2PF F F= 1PF 2PF C A B 1PA AF= 2 2 BF PF = 2 4 A 1PF 2a c= b c= B 2 2 BF PF ( )2 0c c > 2 1 2 2PF F F c= = 1PA AF= A∴ 1PF ，且 ，由椭圆的定义得 ， ， 由勾股定理得 ，即 ，可得 ，则 ， 椭圆的标准方程为 ，设点 的坐标为 ，则 ， ， 则 ，因此， . 故答案为： . 【点睛】本题考查椭圆中线段长度的比值问题，解题时要确定 、 、 的等量关系，并求出 相关点的坐标，考查运算求解能力，属于中等题. 16.数列 的前 项和为 ，则数列 的前 项和 _____． 【答案】 【解析】 【分析】 解： 两式作差，得 ，经过 检验得出数列 的通项公式，进而求得 的通项公式， 裂项相消求和即可． 1 2AF AF∴ = 2 1AF PF⊥ 1 2 2AF AF a+ = 1 2AF AF a∴ = = 2 2 2 1 2 1 2AF AF F F+ = ( )222 2a c= 2a c= 2 2b a c c= − = 2 2 2 2 12 x y c c + = B ( ),c t 2 2 2 2 12 c t c c + = 2 21 2t c∴ = 2 2 2BF t c= = 2 2 2 22 2 4 cBF PF c = = 2 4 a b c { }na n 1 1 2 1, 2, 1 , log2n n n n nnS a S a b a+  = = − =   1 1 n nb b +       n nT = 1 n n + 1 1 1 1 11 , 2 1 ,2 2n n n nn nS a n S a+ − −    = − ≥ = −      时， ( )1 2, 2n n a na + = ≥ { }na ,n nb c 【详解】解： 两式作差，得 化简得 ， 检验：当 n=1 时， ，所以数列 是以 2 为首项，2 为 公比的等比数列； ， ， 令 故填： ． 【点睛】本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前 n 项和，解题过程中需要注意 n 的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 17.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ． （Ⅰ）求角 的值； （Ⅱ）若 , ，求 的面积． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用切化弦和正弦定理可得 ，从而求得 ；（Ⅱ）利用余弦定理构造方程求 得 ，代入三角形面积公式求得结果. 【详解】（Ⅰ）由 得 1 1 1 1 11 , 2 1 ,2 2n n n nn nS a n S a+ − −    = − ≥ = −       时， ( )1 1 1 11 1 , 22 2n n nn na a a n+ −    = − − − ≥       ( )1 2, 2n n a na + = ≥ 2 1 1 2 2 1 1 2, 4, 22 aS a a a a = = × = = = { }na 2n na = 2 2log log 2n n nb a n= = = ( )1 1 1 1 1 ,1 1n n n c b b n n n n+ = = = −+ + 1 1 1 1 1 1 1 11 1 .2 2 3 3 4 1 1 1n nT n n n n = − + − + − +…+ − = − =+ + + 1 n n + ABC∆ A B C a b c = 2 a b tanA sinB A 6a = 2b c= ABC∆ 3A π= 6 3 1cos 2A = A c =tan 2sin a b A B cos sin 2sin a A b A B = （Ⅱ） ， 整理可得 ，解得 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用，属于常规题型. 18.作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行频有发生，带来了较大的交通安全隐患.在某十字 路口，交警部门从穿越该路口的行人中随机抽取了 200 人进行调查，得到不完整的 列联 表如图所示： 年龄低于 30 岁 年龄不低于 30 岁 合计 闯红灯 60 80 未闯红灯 80 合计 200 （1）将 列联表补充完整； （2）是否有 99.9%的把握认为行人是否闯红灯与年龄有关. 参考公式及数据： ，其中 . P（ ） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）见解析；（2）有 99.9%的把握认为行人是否闯红灯与年龄有关. sin sin a b A B = 1cos 2A∴ = ( )0,A π∈ 3A π∴ = 6a = 2b c= 2 2 2 2 cosa b c bc A∴ = + − 2 2 236 4 2c c c= + − 2 3c = 1 1 3sin 4 3 2 3 6 32 2 2ABCS bc A∆∴ = = × × × = 2 2× 2 2× ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 2 0K k≥ 0k 【解析】 【分析】 （1）由抽取的人数为 200 人以及表中数据即可求解. （2）由列联表计算出观测值，利用独立性检验的基本思想即可求解. 【详解】（1）补充完整的 列联表如下： 年龄低于 30 岁 年龄不低于 30 岁 合计 闯红灯 20 60 80 未闯红灯 80 40 120 合计 100 100 200 （2） 的观测值 所以有 99.9%的把握认为行人是否闯红灯与年龄有关. 【点睛】本题主要考查了独立性检验的基本思想，考查了学生的数据分析能力，属于基础题. 19.如图，在四棱锥 中，四边形 为直角梯形， ， ， 平面 平面 ， 分别为 的中点， ， ， . （I）求证：平面 平面 ； （II）求三棱锥 的体积. 2 2× 2K ( )2200 60 80 40 20 100 33.333 10.828100 100 80 120 3K × × − ×= = ≈ >× × × P ABCD− ABCD / /AD BC 90ADC∠ =  PAD ⊥ ABCD Q M， AD PC， 2PA PD= = 1 12BC AD= = 3CD = PBC ⊥ PQB P QMB− 【答案】（I）详见解析；（II） . 【解析】 【分析】 （I）由 ， 为 中点，得 ，进而得出 ，又由等腰三角形 的性质和面面垂直的性质，证得 ，再利用线面垂直的判定和面面垂直的判定，即可 证得平面 平面 . （II）由（I）连接 ，利用等体积法 ，即可求 解. 【详解】（I）因为 ， 为 的中点， ， ， 四边形 为平行四边形. 因为 ， .因为 ， . 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ， 又 ， 平面 .因为 平面 ， 平面 平面 . （II）因为在 中， ， ， . 由（I）知 平面 ，连接 ，则 . 又 是线段 的中点， ， 故三棱锥 体积为 . 【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积， 其中解答中熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定定理和性质定理，以及把握几何体的 结构特征是解答的关键，同时注意求解三棱锥的体积时“等体积法”的应用，着重考查了空 间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 的 的 1 4 AD BC∥ Q AD BC QD= BC BQ⊥ PQ BC⊥ PBC ⊥ PQB QC 1 2P QMB M PQB C PQBV V V− − −∴ = =三棱锥 三棱锥 三棱锥 AD BC Q AD 1 2BC AD= BC QD∴ = ∴ BCDQ 90ADC∠ =  BC BQ∴ ⊥ ,PA PD AQ QD= = PQ AD∴ ⊥ PAD ⊥ ABCD PAD ∩ ABCD AD= PQ∴ ⊥ ABCD PQ BC∴ ⊥ PQ BQ Q∩ = BC∴ ⊥ PQB BC ⊂ PBC ∴ PBC ⊥ PQB Rt PQB∆ 2 2 3PQ PA AQ= − = 3BQ CD= = 1 3 2 2PQBS PQ QB∆∴ = ⋅ = BC ⊥ PQB QC 1 1 3 113 3 2 2PQBC PQBV S BC∆− = × = × × =三棱锥 M PC 1 1 1 1 2 2 2 4P QMB M PQB C PQBV V V三棱锥 三棱锥 三棱锥− − −∴ = = = × = P QMB− 1 4 20.已知抛物线 ： ，过其焦点 作斜率为 1 的直线交抛物线 于 ， 两 点，且线段 的中点的纵坐标为 4. （1）求抛物线 的标准方程； （2）若不过原点 且斜率存在的直线 与抛物线 相交于 、 两点，且 .求证： 直线 过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据线段 的中点的纵坐标为 4，直线 的斜率为 1，利用抛物线的方程，求解 ，即可得到抛物线的方程； （2）设直线 ： ，联立方程组，利用根与系数的关系，求得 ， ，再由 得 ，即可得到结论． 【详解】（1）设 ， 两点的坐标分别为 ， ， 则 ， ，两式相减得 . 即 ， 又线段 的中点的纵坐标为 4，直线 的斜率为 1，∴ ，∴ . 即抛物线 的标准方程为 . （2）设直线 ： 与抛物线 ： 交于点 ， ， 则 ， ，∴ ， ∴ ， ， C 2 2 ( 0)y px p= > F C A B AB C O l C D E OD OE⊥ l 2 8y x= (8,0) AB AB 4p = l ( 0)y kx b b= + ≠ 1 2 8by y k = 2 2 2 1 2 1 2 264 y y bx x k = = OD OE⊥ 8b k= − A B ( ),A Ax y ( ),B Bx y 2 2A Ay px= 2 2B By px= ( )( ) ( )2A B A B A By y y y p x x+ − = − ( ) 2A B A B A B y yy y px x −+ ⋅ =− AB AB 8 2p= 4p = C 2 8y x= l ( )0y kx b b= + ≠ C 2 8y x= ( )1 1,D x y ( )2 2,E x y 2 8 y kx b y x = +  = 2 8 8 0ky y b⇒ − + = 0 64 32 0 k kb ≠  − > 1 2 8by y k = 2 2 2 1 2 1 2 264 y y bx x k = = 由 得 ，即 ， ， 直线为 ，∴ 过定点 . 【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解 答中用直线的方程与抛物线线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考 查了推理与运算能力，属于基础题． 21.已知函数 为常数 的图象与 y 轴交于点 A，曲线 在点 A 处的切 线斜率为 ． （1）求 a 的值及函数 的单调区间； （2）设 ，证明：当 时， 恒成立． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用导数的几何意义是曲线在切点处切线的斜率可得 a＝3，然后根据导函数的符号可得 单调区间； （2）将所证不等式转化为 ex﹣x2﹣1＞0，然后构造函数 h（x）＝ex﹣x2﹣1（x＞0），通过两次 求导可证不等式． 【详解】(1)令 得 ，则 ， ，解得 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减． 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 (2)证明：当 时， ， 令 ， 则 ， OD OE⊥ 1 2 1 2 0x x y y+ = 8b k = − 8b k= − ( )8y k x= − l ( )8,0 ( ) (xf x e ax a= − ) ( )y f x= 2− ( )f x ( ) 2 3 1g x x x= − + 0x > ( ) ( )f x g x> 0x = 1y = ( )0,1A ( )' xf x e a= − ( )' 0 1 2f a∴ = − = − 3a = ( )' 3xf x e∴ = − ln3x > ( )' 0f x > ( )f x ln3x < ( )' 0f x < ( )f x ( )f x∴ ( )ln3,+∞ ( ),ln3−∞ 0x > ( ) ( ) 2 1 0xf x g x e x> ⇔ − − > ∴ ( ) 2 1( 0)xh x e x x= − − > ( )' 2xh x e x= − ， 当 时， ， 递减； 当 时， ， 递增， 在 上单调递增， ， ， 当 时， ． 【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据 差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2） 根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利 用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做， 则按所做的第一个题目计分. 22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，其中 为参数，在以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 P 的极坐标为 ，直线 l 的 极坐标方程为 . （1）求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程； （2）若 Q 是曲线 C 上的动点，M 为线段 PQ 的中点，求点 M 到直线 l 的距离的最大值. 【答案】（1）曲线 C： ，直线 l： ；（2） . 【解析】 【分析】 ( ) 2xh x e″ = − 0 ln2x< < ( ) 0h x″ < ( )'h x ln2x > ( ) 0h x″ > ( )'h x ( ) ( ) ln2' ' ln2 2ln2 2 2ln2 0h x h e∴ ≥ = − = − > ( )h x∴ ( )0,+∞ ( ) ( )0 1 0 1 0h x h∴ > = − − = 2 1 0xe x∴ − − > ∴ 0x > ( ) ( )f x g x> ( ) ( ) ( )h x f x g x= − 2 3 cos 2sin x y α α  = = α 2 2, 4 π     sin 4 2 04 πρ θ − + =   2 2 112 4 x y+ = 8 0x y− − = 5 2 （1）将参数方程变为 ，两式平方相加即可；利用两角差的正弦公式展开，再 根据 ，代换即可求解. （2）设 ，将点 P 的极坐标化为直角坐标为 ，利用中 点坐标公式可得 ，代入点到直线的距离公式，根据三角函数的性质 即可求解. 【详解】（1）消去参数 a，可得曲线 C 的普通方程为 . 可化为 ， 由 ，可得直线 l 的直角坐标方程为 . （2）设 ， 将点 P 的极坐标化为直角坐标为 ， 因为 M 为线段 PQ 的中点，所以 ， 所以点 M 到直线 l 的距离 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以点 M 到直线 l 的距离的最大值为 . 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与普通方程的互化以及点到直 线的距离公式、辅助角公式、三角函数的性质，属于基础题. 23.已知关于 函数 ． （Ⅰ）若 对所有的 R 恒成立，求实数 的取值范围； （Ⅱ）若关于 的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围． 的 cos 2 3 2sin2 x y α α  =  = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = ( ) [ )2 3 cos ,2sin , 0,2Q α α α π∈ ( )2,2 ( )3cos 1,sin 1M α α+ + 2 2 112 4 x y+ = sin 4 2 04 πρ θ − + =   sin cos 8 0ρ θ ρ θ− + = cos , sinx yρ θ ρ θ= = 8 0x y− − = ( ) [ )2 3 cos ,2sin , 0,2Q α α α π∈ ( )2,2 ( )3cos 1,sin 1M α α+ + 3 cos sin 8 2 2sin 8 5 22 32 α α πd α − −  = = × − + ≤   sin 13 πα − =   5 6 πα = 5 2 x ( )f x = | 1| | |x x m+ + − ( ) 3f x ≥ x∈ m x 2( ) 2f m m x x− ≥ − m 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用绝对值三角不等式求出 的最小值 ，解不等式 即可；（Ⅱ） 等价于 ，即 ，分为 和 两种情形讨论即 可. 【详解】（Ⅰ） ， ∴ 或 ， ∴ 或 . 故 m 的取值范围为 . （Ⅱ）∵ 的解集非空，∴ ， ∴ ， ①当 时， ， 恒成立，即 均符合题意； ②当 时， ， ， ∴不等式 可化为 ，解之得 . 由①②得，实数 的取值范围为 . 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，转化与化归思想， 属于中档题. ( , 4] [2, )−∞ − +∞ 5( , ]4 −∞ ( )f x 1m + 1 3m + ≥ ( )2 min 1 2m m x x+ − ≥ − 11 2 4m m+ ≥ − 1 8m < 1 8m ≥ ( ) 1 1 3f x x x m m= + + − ≥ + ≥ 1 3m + ≥ 1 3m + ≤ − 2m ≥ 4m ≤ − ] [( ), 4 2,−∞ − ∪ +∞ ( ) 22f m m x x− ≥ − ( )2 min 1 2m m x x+ − ≥ − 11 2 4m m+ ≥ − 1 8m < 12 04m − < 11 2 4m m+ ≥ − 1 8m < 1 8m ≥ 12 04m − ≥ 1 0m + > 11 2 4m m+ ≥ − 11 2 4m m+ ≥ − 1 5 8 4m≤ ≤ m 5, 4  −∞  