2018届二轮复习　函数学案（全国通用）

2018届二轮复习　函数学案（全国通用）

专题二　函数 ———————命题观察·高考定位——————— (对应 生用书第 4 页) 1．(2017·江苏高考)设 f (x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间[0,1)上，f (x) ＝Error!其中集合 D＝Error!，则方程 f (x)－lg x＝0 的解的个数是________． 8　[由于 f (x)∈[0,1)，则只需考虑 1≤x<10 的情况． 在此范围内，当 x∈Q 且 x∉Z 时，设 x＝q p ，p，q∈N*，p≥2 且 p，q 互质， 若 lg x∈Q，则由 lg x∈(0,1)，可设 lg x＝ n m ，m，n∈N*，m≥2 且 m，n 互 质，因此 10 ＝q p ，则 10n＝ ( q p )m，此时左边为整数，右边为非整数，矛 盾，因此 lg x∉Q， 因此 lg x 不可能与每个周期内 x∈D 对应的部分相等， 只需考虑 lg x 与每个周期 x∉D 部分的交点． 画出函数草图．图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个 周期 x∉D 部分，且 x＝1 处(lg x)′＝ 1 xln 10 ＝ 1 ln 10<1，则在 x＝1 附近仅有一 个交点， 因此方程解的个数为 8.] 2．(2016·江苏高考)函数 y＝ 3－2x－x2的定义域是________. 【导 号：56394007】 [－3,1]　[要使函数有意义，需 3－2x－x2≥0，即 x2＋2x－3≤0，得(x－1)(x ＋3)≤0，即－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．] 3．(2016·江苏高考)设 f (x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1,1)上，f (x)＝Error!其中 a∈R.若 f (－5 2 )＝f ( 9 2 )，则 f (5a)的值是________． －2 5 　[因为函数 f (x)的周期为 2，结合在[－1,1)上 f (x)的解析式，得 f (－5 2 )＝ f (－2－1 2)＝f (－1 2 )＝－1 2 ＋a， f ( 9 2 )＝f (4＋1 2)＝f ( 1 2 )＝ | 2 5 －1 2|＝ 1 10. 由 f (－5 2 )＝f ( 9 2 )，得－1 2 ＋a＝ 1 10 ，解得 a＝3 5. 所以 f (5a)＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋3 5 ＝－2 5.] 4．(2013·江苏高考)已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f (x)＝x2－4x， 则不等式 f (x)＞x 的解集用区间表示为________． (－5,0)∪(5，＋∞)　[设 x＜0，则－x＞0，于是 f (－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋ 4x，由于 f (x)是 R 上的奇函数，所以－f (x)＝x2＋4x，即 f (x)＝－x2－4x， 且 f (0)＝0，于是 f (x)＝Error!当 x＞0 时，由 x2－4x＞x 得 x＞5；当 x＜0 时， 由－x2－4x＞x 得－5＜x＜0，故不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．] 5．(2015·江苏高考)已知函数 f (x)＝|ln x|，g(x)＝ Error!则方程|f (x)＋g(x)|＝1 实根的个数为______． 4　[①当 0＜x≤1 时，方程为－ln x＝1，解得 x＝1 e. ②当 1＜x＜2 时，f (x)＋g(x)＝ln x＋2－x2 单调递减，值域为(ln 2－2,1)，方 程 f (x)＋g(x)＝1 无解，方程 f (x)＋g(x)＝－1 恰有一解． ③当 x≥2 时，f (x)＋g(x)＝ln x＋x2－6 单调递增，值域为[ln 2－2，＋∞)， 方程 f (x)＋g(x)＝1 恰有一解，方程 f (x)＋g(x)＝－1 恰有一解． 综上所述，原方程有 4 个实根．] [命题规律] (1)以填空题形式呈现，考查对数函数、含无理式的函数的定义域；函数的 图象与性质；函数的奇偶性 、周期性与分段函数结合，考查函数的求值与 计算；以二次函数的图象与性质为主，结合函数的性质综合考查分析与解 决问题的能力；考查数形结合解决问题的能力等． (2)在大题中以导数为工具研究讨论函数的性质、不等式求解等综合问题． 函数是高考数 考查的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中 数 的全过程，包括解决几何问题．在近几年的高考试卷中，填空题、解答 题中每年都有函数试题，而且常考常新．以基本函数为背景的应用题和综 合题是高考命题的新趋势． ———————主干整合·归纳拓展——————— (对应 生用书第 4 页) [第 1 步▕ 核心知识再整合] 1．函数的性质 (1)函数的奇偶性： ①定义：一般地，如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x，都有 f (－x)＝ f (x)，那么函数 f (x)叫做偶函数；如果都有 f (－x)＝－f (x), 那么函数 f (x)叫 做奇函数，函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称． ②图象特征：函数 f (x)是偶函数⇔图象关于 y 轴对称；函数 f (x)是奇函数⇔ 图象关于原点对称． ③奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且如果 在 x＝0 处有定义，有 f (0)＝0，即其图象过原点(0,0)，偶函数在其定义域内 关于原点对称的两个区间上的单调性相反，且 f (－x)＝f (x)＝f (|x|)，这样就 可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简 化问题的途径，切记！ (2)函数的单调性： ①定义法：对于定义域内某一个区间 D 内任意的 x1，x2，且 x1＜x2，若 f (x1) ＜f (x2)⇔f (x)在 D 上单调递增；若 f (x1)＞f (x2)⇔f (x)在 D 上单调递减． ②导数法：若函数在某个区间 D 可导，如果 f ′(x)＞0，那么函数 f (x)在区 间 D 内单调递增；如果 f ′(x)＜0，那么函数 f (x)在区间 D 内单调递减． ③图象法：先作出函数的图象，再根据图象的上升或下降，从而确定单调 区间． ④F(x)＝f (x)＋g(x)，若 f (x)，g(x)都是增函数，则 F(x)在其公共定义域内是 增函数；若 f (x)，g(x)都是减函数，则 F(x)在其公共定义域内是减函数．F(x) ＝f (x)－g(x)，若 f (x)是增函数，g(x)是减函数，则 F(x)在其公共定义域内是 增函数；若 f (x)是减函数，g(x)是增函数，则 F(x)在其公共定义域内是减函 数．同时要充分利用函数的奇偶性、函数的周期性、函数图象的直观性分 析转化，函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意 这些知识的综合运用． (3)周期性： ①若 f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)，则函数 f (x)是周期函数，且 T＝2a；若 f (x＋a) ＝ 1 f(x)，则函数 f (x)是周期函数，且 T＝2a；若 f (x＋a)＝－ 1 f(x)，则函数 f (x) 是周期函数，且 T＝2a. ②函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一． 例：f (x)是奇函数，且最小正周期是 2，则 f (x＋2)＝f (x)＝－f (－x)，所以 f (x)关于(1,0)对称．f (x)是偶函数，且图象关于 x＝1 对称，则 f (2＋x)＝f (－x) ＝f (x)，所以 f (x)周期是 2. 2．函数图象 (1)函数图象的画法： ①描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一 部分点连接而成． ②图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换． f (x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→a＞0(向左平移a个单位) a＜0(向右平移|a|个单位) f (x＋a)， f (x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→k＞0(向上平移k个单位) k＜0(向下平移|k|个单位) f (x)＋k， f (x) f (ωx)(ω＞0，ω≠1)， f (x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→A＞1(图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原 的A倍) 0＜A＜1(图象上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原 的A倍) Af (x)(A＞0，A≠1)， f (|x|)的图象的画法：先画 x≥0 时 y＝f (x)，再将其关于 y 轴对称，得 y 轴左 侧的图象 . |f (x)|的图象画法：先画 y＝f (x)的图象，然后位于 x 轴上方的图象不变，位 于 x 轴下方的图象关于 x 轴翻折上去． f (a＋x)＝f (a－x)⇒y＝f (x)的图象关于 x＝a 对称；f (a＋x)＝－f (a－x)⇒y＝ f (x)的图象关于(a,0)点对称． y＝f (x)的图象关于 x 轴对称的函数图象解析式为 y＝－f (x)；关于 y 轴对称 的函数解析式为 y＝f (－x)；关于原点对称的函数解析式为 y＝－f (－x)． (2)熟记基本初等函数的图象，以及形如 y＝x＋1 x 的图象： 图 2－1 3．指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质 幂函数 y＝xα 图象永远过(1,1)，且当 α＞0 时，在 x∈(0，＋∞)上单调递增； 当 α＜0 时，在 x∈(0，＋∞)上单调递减． 4．函数与方程 (1)方程 f (x)＝0 有实根⇔函数 y＝f (x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f (x) 有零点． (2)如果函数 y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a)·f (b)＜0，那么，函数 y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)， 使得 f (c)＝0，这个 c 也就是方程 f (x)＝0 的根． (3)若函数 y＝f (x)在区间(a，b)上有 f (a)·f (b)＞0，若能找到一个自变量 c∈(a， b)，且 f (a)·f (c)＜0 或 f (c)·f (b)＜0，则函数 y＝f (x)在区间(a，b)上有零 点． (4)函数 y＝f (x)的零点就是 f (x)＝0 的根，所以可通过解方程得零点，或者 通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标． (5)函数的零点就是函数 y＝f (x)的图象与 x 轴有交点的横坐标，所以往往利 用导数结合极值和单调性画出函数大致图象，并结合零点存在性定理判断 零点所在的区间． [第 2 步▕ 高频考点细突破] 函数定义域及其表示 【例 1】　(江苏省南通市如东县、徐州市丰县 2017 届高三 10 月联考)函数 f (x) ＝ 1 1－x ＋lg(x＋1)的定义域是________. 【导 号：56394008】 [解析]　由题意得Error!⇒x＞－1 且 x≠1，所以定义域是(－1,1)∪(1，＋ ∞)． [答案]　(－1,1)∪(1，＋∞) 【例 2】　(江苏省如东高级中 2017 届高三上 期第二次 情调研)设函数 f (x)＝ Error!则 f (－2)＋f (log212)＝________. [解析]　因为 f (－2)＝1＋log24＝3，f (log212)＝ ＝6，所以 f (－2)＋f (log212)＝9，故应填答案 9. [答案]　9 [规律方法]　(1)若已知解析式求函数定义域，只需列出使解析式有意义的不 等式(组)即可． (2)对于复合函数求定义域问题，若已知 f (x)的定义域[a，b]，则复合函数 f (g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 得到． (3)对于分段函数，知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题， 应依据已知条件准确找出利用哪一段求解． [举一反三] 1．(泰州中 2016－2017 年度第一 期第一次质量检测)函数 f (x)＝ 1－2log6x的定 义域为________． (0， 6]　[由题意得 1－2log 6x≥0⇒log6x≤1 2 ⇒0＜x≤61 2 ，即定义域为(0， 6]．] 2．(江苏省南通市如东高中 2017 届高三上 期第二次调研)已知函数 f (x)＝Error! 当 x∈(－∞，m]时，f (x)的取值范围为[－16，＋∞)，则实数 m 的取值范围是 ________． [－2,8]　[x≤0 时，f (x)＝12x－x3， ∴f ′(x)＝－3(x＋2)(x－2)， ∴x＜－2 时，函数单调递减，－2＜x≤0 时，函数单调递增， ∴当 x＝－2 时，图象在 y 轴左侧的函数取到极小值－16， ∵当 x＝8 时，y＝－2x＝－16， ∴当 x∈(－∞，m]时，f (x)的取值范围为[－16，＋∞)，则实数 m 的取值范 围是[－2,8]．故答案为：[－2,8]．] 函数的性质 【例 3】　(江苏省如东高级中 2017 届高三上 期第二次 情调研)已知函数 f (x)在 定义域[2－a,3]上为偶函数，在[0,3]上单调递减，并且 f (－m2－a 5)＞f (－m2＋ 2m－2)，则 m 的取值范围是________． [解析]　由偶函数的定义可得 2－a＋3＝0，则 a＝5，因为 m2＋1＞0，m2－ 2m＋2＝(m－1)2＋1＞0，且 f (－m2－1)＝f (m2＋1)，f (－m2＋2m－2)＝f (m2 －2m＋2)，所以 m2＋1＜m2－2m＋2≤3，解之得 1－ 2≤m＜1 2.故应填 1－ 2 ≤m＜1 2. [答案]　 [1－ 2，1 2)【例 4】　(江苏省泰州中 2017 届高三上 期第二次月考)已知奇函数 f (x)的图象 关于直线 x＝－2 对称，当 x∈[0,2]时，f (x)＝2x，则 f (－9)＝________. [解析]　∵图象关于直线 x＝－2 对称， ∴f (－4－x)＝f (x)， ∵f (x)是奇函数， ∴f (－x)＝－f (x)， ∴f (－4－x)＝－f (－x)，即－f (－4＋x)＝f (x)， 故 f (x－8)＝f [(x－4)－4]＝－f (x－4)＝f (x)， 进而 f (x＋8)＝f (x)， ∴f (x)是以 8 为周期的周期函数． f (－9)＝－f (1)＝－2. [答案]　－2 [规律方法]　(1)判断函数的单调性的一般思路：对于填空题，若能画出图象， 一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的 函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式较复杂的， 用导数法或定义法． (2)对于函数的奇偶性的判断，首先要看函数的定义域是否关于原点对称， 其次再看 f (－x)与 f (x)的关系． (3)重视对函数概念和基本性质的理解，包括定义域、值域(最值)、对应法则、 对称性(包括奇偶性)、单调性、周期性、图象变换、基本初等函数(载体)， 研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意图象(形)的作用， 善于从形的角度研究函数的性质． [举一反三] (泰州中 2016－2017 年度第一 期第一次质量检测文 )已知函数 f (x)是奇函 数，当 x＜0 时，f (x)＝x2－3asinπx 2 ，且 f (3)＝6，则 a＝________. 5　[f (3)＝6⇒f (－3)＝－6，所以 f (－3)＝9－3asin(－3π 2 )＝－6⇒a＝5.] 指数函数、对数函数、幂函数 【例 5】　(泰州中 2016－2017 年度第一 期第一次质量检测文 )已知幂函 数 y＝f (x)的图象经过点 (4，1 2)，则 f ( 1 4 )的值为________. 【导 号：56394009】 [解析]　设 y＝f (x)＝xα，则 4α＝1 2 ⇒α＝－1 2 ，因此 f ( 1 4 )＝ ( 1 4 )－1 2 ＝2. [答案]　2 【例 6】　(泰州中 2016－2017 年度第一 期第一次质量检测)函数 f (x)＝loga(x－ 1)＋1(a＞1 且 a≠1)恒过定点________． [解析]　因为 loga1＝0，所以恒过定点(2,1)． [答案]　(2,1) [规律方法]　(1)对数函数的定义域为{x|x＞0}，指数函数的值域{y|y＞0}． (2)熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对 数函数的图象和性质，当底数的范围不确定时要分类讨论． (3)注意利用指数函数、对数函数、幂函数的图象，灵活运用数形结合思想 解题． [举一反三] (泰州中 2016－2017 年度第一 期第一次质量检测)函数 f (x)＝x2－2(a－1)x ＋2 在区间[－1,4]上为单调函数，则 a 的取值范围是________． (－∞，0]∪[5，＋∞)　[由题意得函数 f (x)＝x2－2(a－1)x＋2 的对称轴为 x ＝a－1，函数 f (x)＝x2－2(a－1)x＋2 在区间[－1,4]上为单调函数，所以 a－ 1≥4 或 a－1≤－1⇒a≥5 或 a≤0，实数 a 的取值范围为(－∞，0]∪[5，＋ ∞)．] 函数的零点 【例 7】　(泰州中 2016－2017 年度第一 期第一次质量检测文 )定义在 R 上的 奇函数 f (x)，当 x≥0 时，f (x)＝Error!则函数 F(x)＝f (x)－1 π 的所有零点之和为 ________． [解析]　由图知，共五个零点，从左到右交点横坐标依次设为 x1，x2，x3， x4，x5，满足 x1＋x2＝－6，x 3＝ 1 1－2π ，x4＋x5＝6，因此所有零点之和为 1 1－2π. [答案]　 1 1－2π [规律方法]　(1)求 f (x)的零点值时，直接令 f (x)＝0 解方程，当 f (x)为分段 函数时，要分段列方程组求解； (2)已知 f (x)在区间[a，b]上单调且有零点时，利用 f (a)f (b)＜0 讨论； (3)求 f (x)的零点个数时，一般用数形结合法；讨论函数 y＝f (x)与 y＝g(x)的 图象交点个数，即方程 f (x)＝g(x)的解的个数，一般用数形结合法． (4)已知零点存在情况求参数的值或取值范围时，利用方程思想和数形结合 思想，构造关于参数的方程或不等式求解． [举一反三] (2017·江苏省盐城市高考数 二模)若函数 f (x)＝x 2－mcos x＋m2＋3m－8 有 唯一零点，则满足条件的实数 m 组成的集合为________． {2}　[由题意，函数为偶函数，在 x＝0 处有定义且存在唯一零点，所以唯 一零点为 0，则 02－mcos 0＋m2＋3m－8＝0，∴m＝－4 或 2， m＝－4 代回原式，令函数等于 0 分离得两个函数画图存在有多个零点，不 符题意，仅 m＝2 存在唯一零点．故答案为{2}．] 函数模型及其应用 【例 8】　(江苏省泰州中 2017 届高三摸底考试)某企业投入 81 万元经销某产品， 经销时间共 60 个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第 x 个月的 利润函数 f (x)＝Error!(单位：万元)．为了获得更多的利润，企业将每月获得的 利 润 再 投 入 到 次 月 的 经 营 中 ． 记 第 x 个 月 的 利 润 率 为 g(x) ＝ 第x个月的利润 第x个月的资金总和，例如 g(3)＝ f(3) 81＋f(1)＋f(2). (1)求 g(10)； (2)求第 x 个月的当月利润率； (3)求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的 当月利润率． [解]　(1)依题意得 f (1)＝f (2)＝f (3)＝…＝f (9)＝1， ∴g(10)＝ f(10) 81＋f(1)＋f(2)＋…＋f(9)＝ 1 90. (2)当 x＝1 时，g(1)＝ 1 81. 当 1＜x≤20 时，f (1)＝f (2)＝…＝f (x－1)＝f (x)＝1， 则 g(x)＝ f(x) 81＋f(1)＋f(2)＋…＋f(x－1)＝ 1 80＋x ， 而 x＝1 也符合上式，故当 1≤x≤20 时，g(x)＝ 1 80＋x. 当 21≤x≤60 时，g(x)＝ f(x) 81＋f(1)＋f(2)＋…＋f(20)＋f(21)＋…＋f(x－1) ＝ 1 10x 81＋20＋21 10 ＋…＋x－1 10 ＝ 1 10x 101＋ (x－21)(x＋20) 20 ＝ 2x x2－x＋1 600 ， 所以第 x 个月的当月利润率为 g(x)＝Error! (3)当 1≤x≤20 时，g(x)＝ 1 80＋x 是减函数，此时 g(x)的最大值为 g(1)＝ 1 81. 当 21≤x≤60 时，g(x)＝ 2x x2－x＋1 600 ＝ 2 x＋1 600 x －1 ≤ 2 79. ∵ 2 79 ＞ 1 81 ，∴当 x＝40 时，g(x)有最大值为 2 79. 即该企业经销此产品期间，第 40 个月的当月利润率最大，其当月利润率为 2 79. [规律方法]　(1)给出图象的题目要注意从图象中提取信息，这类题目常常是 先求解析式，再讨论有关函数的性质或求最值、解不等式等． (2)实际应用问题，要注意将背景中涉及题目解答的部分先行翻译为数 解题 语言，并将条件和结论与 过的数 知识方法挂靠，依据相关知识与方法解 决． [举一反三] (2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数 二模)某 研小组研究发现：一棵 水蜜桃树的产量 ω(单位：百千克)与肥料费用 x(单位：百元)满足如下关系： ω＝4－ 3 x＋1 ，且投入的肥料费用不超过 5 百元．此外，还需要投入其他成 本 2x(如投入的人工费用等)百元．已知这种水蜜桃的市场价格为 16 元/千克 (即 16 百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利 润为 L(x)(单位：百元)． (1)求利润函数 L(x)的关系式，并写出定义域； (2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是 多少？ [解]　(1)L(x)＝16 (4－ 3 x＋1)－x－2x＝64－ 48 x＋1 －3x(0≤x≤5)．(单位百 元)． (2)法一：L(x)＝67－ ( 48 x＋1 ＋3(x＋1) )≤67－2×3× 16 x＋1 × (x＋1)＝43，当 且仅当 x＝3 时取等号． ∴当投入的肥料费用为 300 元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润 是 4 300 元． 法二：L′(x)＝ 48 (x＋1)2 －3＝－3(x＋5)(x－3) (x＋1)2 ，令：L′(x)＝0，解得 x＝3. 可得 x∈(0,3)时，L′(x)＞0，函数 L(x)单调递增；x∈(3,5]时，L′(x)＜0，函 数 L(x)单调递减． ∴当 x＝3 时，函数 L(x)取得极大值即最大值． ∴当投入的肥料费用为 300 元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润 是 4 300 元． [第 3 步▕ 高考易错明辨析] 1．混淆对称性与周期性出错 若函数 f (x)对一切实数 x 都有 f (x＋3 2)＝f ( 1 2 －x)，且 f (－1)＝4，求 f (3)． [错解]　∵函数 f (x)对一切实数 x 都有 f (x＋3 2)＝f ( 1 2 －x)， ∴函数是周期函数，且周期 T＝2， ∴f (3)＝f (－1)＝4. [错解分析]　(1)条件“f (x＋3 2)＝f ( 1 2 －x)”不是周期性，而是对称性，应是 函数关于 x＝1 对称． (2)若函数 f (x)对一切实数 x 都有 f (x＋a)＝f (b－x)，则其图象关于 x＝a＋b 2 对称，若函数 f (x)对一切实数 x 都有 f (x＋a)＝f (x－b)(a≠b)，则 y＝f (x)是 周期函数，且其中一个周期为 T＝a＋b. [正解]　∵函数 f (x)对一切实数 x 都有 f (x＋3 2)＝f ( 1 2 －x)，即 f (t)＝f (2－t)， t∈R，恒成立，∴函数 y＝f (x)的图象关于 x＝1 对称， ∴f (3)＝f (－1)＝4. 2．不能正确理解定义域与在某区间上有意义 若函数 f (x)＝ ax－2在区间[3，＋∞)上有意义，求实数 a 的取值范围． [错解]　由题意，不等式 ax－2≥0 的解集是[3，＋∞)，于是 x＝3 是方程 ax －2＝0 的根，代入求得 a＝2 3. [错解分析]　分不清“函数 f (x)的定义域是[3，＋∞)”与“函数 f (x)在区间 [3，＋∞)上有意义”而致误．若 f (x)在 M 上有意义，则 M 是函数 f (x)定义 域的子集． [正解]　因为函数 f (x)＝ ax－2在区间[3，＋∞)上有意义， 所以，不等式 ax－2≥0 对 x∈[3，＋∞)恒成立，即 a≥2 x 对 x∈[3，＋∞)恒 成立，而2 x ∈ (0，2 3]，即 a≥2 3. ———————专家预测·巩固提升——————— (对应 生用书第 8 页) 1．设 x，y∈R，且满足Error!则 x＋y＝________. 【导 号：56394010】 4　[∵Error! ∴Error! 设 f (x)＝x3＋2x＋sin x，x∈R， 所以 f (－x)＝－x3－2x－sin x＝－f (x)， 则 f (x)为奇函数， 又 f ′(x)＝3x2＋2＋cos x＞0，即函数 f (x)在 R 上单调递增， 由题意可知，f (x－2)＝－2，f (y－2)＝2， 所以 f (x－2)＋f (y－2)＝2－2＝0， 即 f (x－2)＝－f (y－2)＝f (2－y)， 因为函数 f (t)单调递增，所以 x－2＝2－y，即 x＋y＝4，故答案为 4.] 2．(改编题)设函数 f (x)＝ ex＋x－a(a∈R，e 为自然对数的底数)．若曲线 y＝sin x 上存在一点(x0，y0)，使得 f (f (y0))＝y0，则 a 的取值范围是________． [1，e]　[由题设可知 y0＝sin x0∈[－1,1]且 f (y0)＝ .因为 y＝sin x 存在点 P(x0，y0)使得 f (f (y0))＝y0，所以存在 y0∈[0,1]使得 f (y0)＝y0，即 f (x)＝ x 在[0,1]上有解，也即 ex＋x－x2＝a 在[0,1]上有解．令 h(x)＝ex＋x－x2，x∈ [0,1]，则当 x∈[0,1]时，h′(x)＝ex＋1－2x＞0，故 h(0)≤h(x)≤h(1)，即 1≤a≤e，故应填答案[1，e]．]