2018届二轮复习推理与证明课件（全国通用）

2018届二轮复习推理与证明课件（全国通用）

第 五 节　 推理与证明 考点梳理 考纲速览 命题解密 热点预测 1. 合情推理与演绎推理 . 2. 直接证明与间接证明 . 3. 数学归纳法 . 1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发展中的作用 . 2. 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 . 3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 . 4. 了解直接证明的两种基本方法 —— 分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 . 5. 了解间接证明的一种基本方法 —— 反证法；了解反证法的思考过程、特点 . 6. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 . 　　主要考查类比推理和归纳推理的应用；与其它知识交汇考查直接证明与间接证明；用数学归纳法来证明与正整数有关的命题等 . 　　预测高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题；数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法 . 考查 “ 归纳－猜想－证明 ” 的模式，常与数列结合考查 . 知识点一 合情推理与演绎推理 1. 推理 (1) 定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程 . (2) 分类：推理一般分为 与 两类 . 合情推理 演绎推理 2. 合理推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物 的 具有 某些特征，推出该类事物 的 ________ 都 具有这些特征的推理，或者由个别事实概括 出 的 推理 由两类对象 具有 _________ ____ 和 其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 全部对象 部分对象 一般结论 某些类似 特征 特点 由 到 、由 到 的 推理 由 到 的 推理 一般 步骤 (1) 通过观察个别情况发现某些相同性质； (2) 从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题 ( 猜想 ) (1) 找出两类事物之间的相似性或一致性； (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题 ( 猜想 ) 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 3. 演绎推理 (1) 定义：从 _____________ 出发，推出 _____________ 下的结论，我们把这种推理称为演绎推理； (2) 特点：演绎推理是由 ___________ 的推理； (3) 模式：三段论 . “ 三段论 ” 是演绎推理的一般模式，包括： “ 三段论 ” 的 结构 ① 大前提 —— 已知的一般原理； ② 小前提 —— 所研究的特殊情况； ③ 结论 —— 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 “ 三段论 ” 的 表示 ① 大前提 —— ______ ； ② 小前提 —— ______ ； ③ 结论 —— S 是 P 一般性的原理 某个特殊情况 一般到特殊 M 是 P S 是 M 知识点二 直接证明与间接证明 1. 直接证明 直接证明中最基本的两种证明方法是 _______ 和 _______ . (1) 综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 . 综合法又称为： __________ ( 顺推证法 ). (2) 分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 ( 已知条件、定理、定义、公理等 ) 为止，这种证明方法叫做分析法 . 分析法又称为： __________ ( 逆推证法 ). 综合法 分析法 由因导果法 执果索因法 2. 间接证明 —— 反证法 一般地，假设原命题 _______ ( 即在原命题的条件下，结论不成立 ) ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 _________ ，从而证明了 ___________ ，这样的证明方法叫做反证法 . 不成立 假设错误 原命题成立 知识点三 数学归纳法 1. 数学归纳法的定义 (1) 当 n 取第一个值 n 0 时，证明命题成立； (2) 假设当 n ＝ k ( k ∈ N * ， k ≥ n 0 ) 时命题成立，并证明当 ________ 时，命题也成立 . 于是命题对一切 n ∈ N * ， n ≥ n 0 ，命题都成立 . 这种证明方法叫做数学归纳法 . n ＝ k ＋ 1 2. 数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下： (1) 当 n ＝ n 0 时，验证命题成立； (2) 假设 n ＝ k ( k ∈ N * ， k ≥ n 0 ) 时命题成立，推证 ________ 时，命题也成立，从而推出对所有的从 n 0 开始的正整数命题成立 . 两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基；第二步是递推的依据，也叫归纳递推，两者缺一不可 . n ＝ k ＋ 1 方法 1 推理问题 1. 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法 . 2. 类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为： ① 找出两类事物之间的相似性或一致性； ② 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题 ( 猜想 ). 3. 类比推理的关键是找到合适的类比对象，平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论 . [ 点评 ] 　解决本题的关键是找出等差数列与等比数列性质的关系 ， 利用类比推理的定义求解 . 方法 2 综合法和分析法 综合法、分析法是直接证明的两种基本方法，综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用，同时也可用分析法去 “ 执果索因 ” ，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的 “ 因 ” . [ 点评 ] 　分析法和综合法各有优缺点 . 实际证题时常常两法兼用 ， 先用分析法探索证明途径 ， 然后再用综合法叙述出来 . 方法 3 数学归纳法的应用 (1) 用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值 n 0 是几； (2) 由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 时，除等式两边变化的项外还要充分利用 n ＝ k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明 . 【 例 3】 已知 △ ABC 的三边长都是有理数 . (1) 求证： cos A 是有理数； (2) 求证：对任意正整数 n ， cos nA 是有理数 . [ 解题指导 ] (1) 利用余弦定理求得 cos A ，再根据三边长为有理数可得结论； (2) 用数学归纳法证明即可 . [ 点评 ] 　由 k 到 k ＋ 1 的证明中寻找由 k 到 k ＋ 1 的变化规律是难点 ， 突破难点的关键是掌握由 k 到 k ＋ 1 的证明方法 . 方法 4 反证法证明数学问题 反证法的适用范围 (1) 否定性命题； (2) 结论涉及 “ 至多 ”“ 至少 ”“ 无限 ”“ 唯一 ” 等词语的命题； (3) 命题成立非常明显，直接证明所用的理论太少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明； (4) 要讨论的情况很复杂，而反面情况很少 . 【 例 4】 设直线 l 1 ： y ＝ k 1 x ＋ 1 ， l 2 ： y ＝ k 2 x － 1 ，其中实数 k 1 ， k 2 满足 k 1 k 2 ＋ 2 ＝ 0. (1) 证明： l 1 与 l 2 相交； (2) 证明： l 1 与 l 2 的交点在椭圆 2 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上 . [ 解题指导 ] (1) 采用反证法，先假设 l 1 与 l 2 不相交，之后推出矛盾； (2) 求出交点坐标，代入椭圆方程验证 .