【数学】2019届一轮复习人教A版（文）7-1不等式学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）7-1不等式学案

‎ 7.1 不等关系与不等式 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.‎ ‎2.了解不等式(组)的实际背景.‎ 以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.‎ ‎1．两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法 (a，b∈R)‎ ‎(2)作商法 (a∈R，b>0)‎ ‎2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒acb＋d ‎⇒‎ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)‎ a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)‎ ‎3.不等式的一些常用性质 ‎(1)倒数的性质 ‎①a>b，ab>0⇒<.‎ ‎②a<0b>0,0.‎ ‎④0b>0，m>0，则 ‎①<；>(b－m>0)．‎ ‎②>；<(b－m>0)．‎ 题组一 思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.( × )‎ ‎(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × )‎ ‎(4)a>b>0，c>d>0⇒>.( √ )‎ ‎(5)若ab>0，则a>b⇔<.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2．[P74T3]若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 －>0⇒> ‎⇒a>b⇒a2>b2，‎ 但由a2－b2>0⇏－>0.‎ ‎3．[P75B组T1]若01且2a<1，‎ ‎∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a ‎＝－22＋<.‎ 即a<2ab<，‎ 又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－＝，‎ 即a2＋b2>，‎ a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)，‎ 又2b－1>0，b－1<0，‎ ‎∴a2＋b2－b<0，‎ ‎∴a2＋b2b>0，c0 B．－<0‎ C．> D．< 答案 D 解析 ∵cac，‎ 又∵cd>0，∴>，即>.‎ ‎5．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且 ab>2”的充分不必要条件．故选A.‎ ‎6．若－<α<β<，则α－β的取值范围是__________．‎ 答案 (－π，0)‎ 解析由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<αβ<0.‎ ‎ ‎ 题型一 比较两个数(式)的大小 ‎1．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )‎ A．P>Q B．P＝Q C．P0，∴Py>0，若a>b>1，则一定有( )‎ A．> B．sin ax>sin by C．logax>logby D．ax>by 答案 D 解析 对于A，当a＝3，b＝2，x＝3，y＝2时不成立，排除A；对于B，当a＝30，b＝20，x＝，y＝时，不成立，排除B；对于C，当a＝3，b＝2，x＝3，y＝2时，不成立，排除C，故选D.‎ 思维升华比较大小的常用方法 ‎(1)作差法 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．‎ ‎(2)作商法 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．‎ ‎(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．‎ 题型二 不等式的性质 典例 (1)已知a，b，c满足cac B．c(b－a)<0‎ C．cb20‎ 答案 A 解析 由c0.‎ 由b>c，得ab>ac一定成立．‎ ‎(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：‎ ‎①>；②acloga(b－c)．‎ 其中所有正确结论的序号是( )‎ A．① B．①②‎ C．②③ D．①②③‎ 答案 D 解析 由不等式性质及a>b>1，知<，‎ 又c<0，∴>，①正确；‎ 构造函数y＝xc，‎ ‎∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是单调递减的，‎ 又a>b>1，∴acb>1，c<0，∴a－c>b－c>1，‎ ‎∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确．‎ 思维升华解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．‎ 跟踪训练若<<0，给出下列不等式：‎ ‎①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.‎ 其中正确的不等式是( )‎ A．①④ B．②③‎ C．①③ D．②④‎ 答案 C 解析 方法一 因为<<0，故可取a＝－1，b＝－2.‎ 显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误；‎ 因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，‎ 所以④错误．‎ 综上所述，可排除A，B，D.‎ 方法二 由<<0，可知b0，所以<0，>0.‎ 故有<，即①正确；‎ ‎②中，因为b－a>0.故－b>|a|，‎ 即|a|＋b<0，故②错误；‎ ‎③中，因为b－>0，‎ 所以a－>b－，故③正确；‎ ‎④中，因为ba2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2>ln a2，故④错误．由以上分析，知①③正确．‎ 题型三 不等式性质的应用 命题点1 应用性质判断不等式是否成立 典例若a<0 B．< C．a2|b|‎ 答案 B 解析 因为a<0b2，故C错；取a＝－，b＝1，可得|a|<|b|，故D错，故选B.‎ 命题点2 求代数式的取值范围 典例已知－1b>0，c<0，则下列不等关系中正确的是( )‎ A．ac>bc B．ac>bc C．loga(a－c)>logb(b－c)‎ D．> 答案 D 解析 选项A中，不等式a>b>0两边同乘以负数c，不等式方向应该改变，故A错误；选项B中，考查幂函数y＝xc，因为c<0，所以函数在(0，＋∞)上是减函数，故B错误；选项C中，假设a＝4，b＝2，c＝－4，则loga(a－c)＝log48<2，logb(b－c)＝log26>2，此时loga(a－c)0，所以>正确，故选D.‎ ‎(2)(2018届东北四市一模)已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是__________．‎ 答案 (－π，2π)‎ 解析 结合题意可知，3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，(α＋β)∈(0，π)，利用不等式的性质可知，3α－β的取值范围是(－π，2π)．‎ 利用不等式变形求范围 典例设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．‎ 错解展示：‎ 由得 ‎①＋②得≤a≤3，②－①得≤b≤1.‎ 由此得4≤f(－2)＝4a－2b≤11.‎ 所以f(－2)的取值范围是[4,11]．‎ 错误答案 [4,11]‎ 现场纠错 解析 方法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，‎ 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.‎ 于是得解得 ‎∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．‎ 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.‎ ‎∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，‎ 故5≤f(－2)≤10.‎ 方法二 由 得 ‎∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．‎ 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，‎ ‎∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.‎ 方法三 由确定的平面区域如图阴影部分所示，‎ 当f(－2)＝4a－2b过点A时，‎ 取得最小值4×－2×＝5，‎ 当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，‎ 取得最大值4×3－2×1＝10，‎ ‎∴5≤f(－2)≤10.‎ 答案 [5,10]‎ 纠错心得 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．‎ ‎ ‎ ‎1．(2018·济宁模拟)若a<0，ay>0，且x＋y>0，则x与y之间的不等关系是( )‎ A．x＝y B．x>y C．x0，可知y<0，又由x＋y>0，‎ 可知x>0，所以x>y.‎ ‎2．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是( )‎ A．f(x)＝g(x) B．f(x)>g(x)‎ C．f(x)0，‎ 则f(x)>g(x)．‎ ‎3．若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )‎ A．a－b>0 B．a3＋b3>0‎ C．a2－b2<0 D．a＋b<0‎ 答案 D 解析 由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，‎ 当b≥0时，a＋b<0成立，‎ 当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0成立．故选D.‎ ‎4．(2018·西安市西北工业大学附属中学模拟)如果a>b>1，c<0，在不等式①>；②ln(a＋c)>ln(b＋c)；③(a－c)c<(b－c)c；④bea>aeb中，所有正确命题的序号是( )‎ A．①②③ B．①③④‎ C．②③④ D．①②④‎ 答案 B 解析 用排除法，∵a>b>1，c<0，‎ ‎∴可令a＝3，b＝2，c＝－4，‎ 此时ln(a＋c)>ln(b＋c)，不成立，‎ ‎∴②错误，排除A，C，D，故选B.‎ ‎5．(2018·湖北沙市中学、恩施高中、郧阳中学联考)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )‎ A．若a>b，则ac2>bc2‎ B．若>，则a>b C．若a3>b3，且ab<0，则> D．若a2>b2，且ab>0，则< 答案 C 解析 当c＝0时，ac2＝bc2，选项A是假命题；‎ 若c<0，则由>，可得ab3且ab<0，则>正确；‎ 若a2>b2且ab>0，‎ 当时，D不成立．‎ ‎6．设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是( )‎ A． B． C．(0，π) D． 答案 D 解析 由题设得0<2α<π，0≤≤，‎ ‎∴－≤－≤0，∴－<2α－<π.‎ ‎7．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y， ，且x＜y＜ ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )‎ A．ax＋by＋c B．a ＋by＋cx C．ay＋b ＋cx D．ay＋bx＋c ‎ 答案 B 解析 令x＝1，y＝2， ＝3，a＝1，b＝2，c＝3.‎ A项：ax＋by＋c ＝1＋4＋9＝14；‎ B项：a ＋by＋cx＝3＋4＋3＝10；‎ C项：ay＋b ＋cx＝2＋6＋3＝11；‎ D项：ay＋bx＋c ＝2＋2＋9＝13.故选B.‎ ‎8．(2018·济南调研)若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )‎ A．a＋>b＋ B．> C．a－>b－ D．> 答案 A 解析 取a＝2，b＝1，排除B与D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，即a－>b－⇔a＋>b＋，但g(a)>g(b)未必成立，故选A.‎ ‎9．已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是__________________．‎ 答案 a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1‎ 解析 a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，因为a1≤a2，b1≥b2，所以a1－a2≤0，b1－b2≥0，于是(a1－a2)(b1－b2)≤0，故a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.‎ ‎10．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：‎ ‎①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；‎ ‎②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；‎ ‎③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.‎ 其中正确的命题是________．(填序号)‎ 答案 ①②③‎ 解析 ∵ab>0，bc－ad>0，‎ ‎∴－＝>0，∴①正确；‎ ‎∵ab>0，又－>0，即>0，‎ ‎∴bc－ad>0，∴②正确；‎ ‎∵bc－ad>0，又－>0，即>0，‎ ‎∴ab>0，∴③正确．故①②③都正确．‎ ‎11．(2018·青岛调研)设a>b>c>0，x＝，y＝， ＝，则x，y， 的大小关系是________．(用“>”连接)‎ 答案 >y>x 解析 方法一 y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.‎ 同理， >y，∴ >y>x.‎ 方法二 令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝，y＝，‎ ‎ ＝，故 >y>x.‎ ‎12．已知－12且y>2‎ B．x<2且y<2‎ C．02且0y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤>这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．‎ 答案 ②④‎ 解析 令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2.‎ 符合题设条件x>y，a>b.‎ ‎∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5.‎ ‎∴a－x＝b－y，因此①不成立．‎ ‎∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③不成立．‎ ‎∵＝＝－1，＝＝－1，‎ ‎∴＝，因此⑤不成立．‎ 由不等式的性质可推出②④成立．‎ ‎15．(2018·江门模拟)设a，b∈R，定义运算“⊗”和“”如下：a⊗b＝ab＝若m⊗n≥2，pq≤2，则( )‎ A．mn≥4且p＋q≤4 B．m＋n≥4且pq≤4‎ C．mn≤4且p＋q≥4 D．m＋n≤4且pq≤4‎ 答案 A 解析 结合定义及m⊗n≥2可得或 即n≥m≥2或m>n≥2，所以mn≥4；‎ 结合定义及pq≤2，可得或 即q

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