专题61 用样本估计总体-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题61 用样本估计总体-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题61用样本估计总体 最新考纲 ‎1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．‎ ‎2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．‎ ‎3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数，标准差)，并做出合理的解释．‎ ‎4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．‎ ‎5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．作频率分布直方图的步骤 ‎(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．‎ ‎(2)决定组距与组数．‎ ‎(3)将数据分组．‎ ‎(4)列频率分布表．‎ ‎(5)画频率分布直方图．‎ ‎2．频率分布折线图和总体密度曲线 ‎(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．‎ ‎(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．‎ ‎3．茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．‎ ‎4．标准差和方差 ‎(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离．‎ ‎(2)标准差：‎ s＝ .‎ ‎(3)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)．‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．频率分布直方图的特点 ‎(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×.‎ ‎(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．‎ ‎(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．‎ ‎2．平均数、方差的公式推广 ‎(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.‎ ‎(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.‎ ‎①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；‎ ‎②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.‎ 重点难点突破 ‎【题型一】茎叶图的应用 ‎【典型例题】‎ 某学校A、B两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，‎ ‎①A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班的平均成绩；‎ ‎②A班数学兴趣小组成绩的众数小于B班成绩的众数；‎ ‎③A班数学兴趣小组成绩的极差小于B班成绩的极差；‎ ‎④A班数学兴趣小组成绩的中位数大于B班成绩的中位数．‎ 其中正确结论的编号为（　　）‎ A．①④ B．②③ C．②④ D．①③‎ ‎【解答】解：对于①，由已知中的茎叶图可得：‎ ‎（40+53+62+64+76+74+78+78+76+81+85+86+88+82+92+95）＝78，‎ ‎（45+48+51+53+56+62+64+65+73+73+74+70+83+82+91）＝66，‎ 可得：，故正确．‎ 对于②，A班数学兴趣小组成绩的众数为：76，78，B班成绩的众数为73，故错误；‎ 对于③，A班数学兴趣小组成绩的极差为：95﹣40＝55，大于B班成绩的极差为：91﹣45＝46，‎ B班成绩的极差小，故错误．‎ 对于④，A班数学兴趣小组成绩的中位数为：78，大于B班成绩的中位数65，故正确．‎ 故选：A． 【再练一题】‎ 将某选手的6个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91．现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则4个剩余分数的方差为（　　）‎ A．6 B．‎1 ‎C． D．4‎ ‎【解答】解：将某选手的6个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91．‎ 现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，‎ 由题意得x≥3，‎ 则4个剩余分数的方差为：‎ S2[（93﹣91）2+（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2]．‎ 故选：C． 思维升华 茎叶图的优缺点 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐．‎ ‎【题型二】频率分布直方图的绘制与应用 命题点1　用频率分布直方图求频率、频数 ‎【典型例题】‎ 港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长5多千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速‎100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过‎90km/h的频率分别为（　　）‎ A．.300，0.25 B．300，‎0.35 ‎C．60，0.25 D．60，0.35‎ ‎【解答】解：由频率分布直方图得：‎ 在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的频率为0.06×5＝0.3，‎ ‎∴在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数为：0.3×1000＝300，‎ 行驶速度超过‎90km/h的频率为：（0.05+0.02）×5＝0.35．‎ 故选：B． 【再练一题】‎ 在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为（　　）‎ A．0.2 B．‎0.25 ‎C．40 D．50‎ ‎【解答】解：在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，‎ 中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，‎ 设其他8组的频率数和为m，‎ 则由题意得：mm＝200，‎ 解得m＝150，‎ ‎∴中间一组的频数为50．‎ 故选：D． 命题点2　用频率分布直方图估计总体 ‎【典型例题】‎ 某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示，则获得复赛资格的人数为（　　）‎ A．650 B．‎660 ‎C．680 D．700‎ ‎【解答】解：获得复赛资格的人数为1000×（1﹣0.0025×20﹣2×0.0075×20）＝650人，‎ 故选：A． 【再练一题】‎ 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是30人，则该班的学生人数是（　　）‎ A．45 B．‎50 ‎C．75 D．100‎ ‎【解答】解：由频率分布直方图得低于60分的频率为：‎ ‎（0.005+0.010）×20＝0.3，‎ ‎∵低于60分的人数是30人，‎ ‎∴该班的学生人数是：100．‎ 故选：D． 思维升华 (1)准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆．‎ ‎(2)在很多题目中，频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．‎ ‎【题型三】用样本的数字特征估计总体的数字特征 ‎【典型例题】‎ 某学校在数学联赛成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，统计后得到如图所示的频率分布直方图，这100名学生成绩中位数的估计值为（　　）‎ A．80 B．‎82 ‎C．82.5 D．84‎ ‎【解答】解：设中位数的估计值x，‎ 则第一组的频率是：5×0.01＝0.05，‎ 第二组的频率是：0.07×5＝0.35，‎ 第三组的频率是：0.05×5，＝0.25，‎ 第四组的频率是：0.04×5，＝0.2，‎ 第五组的频率是：0.03×5＝0.15，‎ ‎∵0.05+0.35＝0.4＜0.5，‎ ‎0.05+0.35+0.25＝0.65＞0.5，‎ ‎∴这100名学生成绩的中位数落在第三组80﹣85，‎ ‎∴这100名学生成绩的中位数的估计值是82，‎ 故选：B． 【再练一题】‎ 某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．‎ 若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2，则下面正确的是（　　）‎ A．m1＞m2，s1＞s2 B．m1＞m2，s1＜s2 ‎ C．m1＜m2，s1＜s2 D．m1＜m2，s1＞s2‎ ‎【解答】解：由频率分布直方图得：‎ 甲地区[40，60）的频率为：（0.015+0.020）×10＝0.35，[60，70）的频率为0.025×10＝0.25，‎ ‎∴甲地区用户满意度评分的中位数m1＝6066，‎ 甲地区的平均数S1＝45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10＝67．‎ 乙地区[50，70）的频率为：（0.005+0.020）×10＝0.25，[70，80）的频率为：0.035×10＝0.35，‎ ‎∴乙地区用户满意度评分的中位数m2＝7010≈77.1，‎ 乙地区的平均数S2＝55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10＝77.5．‎ ‎∴m1＜m2，s1＜s2．‎ 故选：C．‎ 思维升华 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．‎ 基础知识训练 ‎1．下图是国家统计局今年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图．(注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比)，根据该折线图，下列结论错误的是 A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨 B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌 C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大 D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 对于选项A，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A正确；‎ 对于选项B，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B正确；‎ 对于选项C，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C错误；‎ 对于选项D，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D正确.‎ ‎2．调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）‎ A．互联网行业从业人员中90后占一半以上 B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，‎ 故正确；‎ 在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图 得到：互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的，故正确；‎ 在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图 得到：互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故正确；‎ 在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图 得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故错误．‎ 故选：．‎ ‎3．如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（　　）‎ A．回答该问卷的总人数不可能是100个 B．回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多 C．回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少 D．回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于选项A，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A正确，‎ 对于选项B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B正确，‎ 对于选项C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确，‎ 对于选项D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D错误，‎ 故选：D．‎ ‎4．某班全体学生测试成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，．若高于分的人数是，则该班的学生人数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意，根据给定的频率分布直方图，可得在之间的频率为，‎ 又由高于分的人数是，则该班的学生人数是人，故选C．‎ ‎5．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速‎100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过‎90km/h的频率分别为（　　）‎ A．300， B．300， C．60， D．60，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由频率分布直方图得：‎ 在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为，‎ ‎∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为：，‎ 行驶速度超过的频率为：．‎ 故选：B．‎ ‎6．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）‎ A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B．月跑步平均里程逐月增加 C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月 D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.‎ ‎7．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在的同学有人，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为：‎ 本题正确选项：‎ ‎8．小张刚参加工作时月工资为元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少元，则目前小张的月工资为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由条形图可知，刚参加工作的月就医费为：元 则目前的月就医费为：元 目前的月工资为：元 本题正确选项：‎ ‎9．某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如下的茎叶图，则从中任取1名员工，迟到次数在的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 依题意，该公司共有20名员工，其中迟到次数在的有6人，故所求概率.‎ 故选：C ‎10．某同学次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为，若要使该总体的标准差最小，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题，因为中位数为12，所以 ‎ 数据的平均数为： ‎ 要使该总体的标准最小，即方差最小，所以 ‎ ‎ 当且紧当，取等号，即时，总体标准差最小 此时 故选A ‎11．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为_______．‎ ‎【答案】48‎ ‎【解析】‎ 由题得频率分布直方图左边三组的频率和为 所以全团抽取的人数为：＝48.‎ 故答案为：48‎ ‎12．某高校组织学生辩论赛，六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则所剩数据的平均数与中位数的差为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 剩下的四个数为83，85，87，95，且这四个数的平均数，这四个数的中位数为，则所剩数据的平均数与中位数的差为.‎ ‎13．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为_______．‎ ‎【答案】200‎ ‎【解析】‎ 根据频率分布直方图可知，样本中次品的频率为：1－（0.05＋0.0625＋0.0375）×5＝0.25，‎ 所以，样本中次品的件数为：0.25×800＝200‎ 故答案为：200‎ ‎14．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则身高在[120，130)内的学生人数为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由图知，（0.035++0.020+0.010+0.005）×10＝1，解得＝0.03；‎ ‎∴身高在[120，130]内的学生人数为100×0.03×10＝30．‎ 故答案为：30．‎ ‎15．工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标进行检测，一共抽取了件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标有关，具体见下表.‎ 质量指标 频数 一年内所需维护次数 ‎（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标的平均值（保留两位小数）；‎ ‎（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取件产品，再从件产品中随机抽取 件产品，求这件产品的指标都在内的概率；‎ ‎（3）已知该厂产品的维护费用为元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加元，该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）该服务值得购买 ‎【解析】‎ ‎（1）指标的平均值＝‎ ‎（2）由分层抽样法知，先抽取的件产品中，指标在[9.4，9.8）内的有件，记为；指标在（10.2，10.6]内的有件，记为：指标在[9.4，9.8）内的有件，记为．‎ 从件产品中随机抽取件产品，共有基本事件.‎ 其中，指标都在内的基本事件有个：‎ 所以由古典概型可知，件产品的指标都在内的概率为.‎ ‎（3）不妨设每件产品的售价为元，‎ 假设这件样品每件都不购买该服务，则购买支出为4元．其中有件产品一年内的维护费用为元／件，有件产品一年内的维护费用为元／件，此时平均每件产品的消费费用为元；‎ 假设为这件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为元，一年内只有 件产品要花费维护，需支出元，平均每件产品的消费费用元.‎ 所以该服务值得消费者购买.‎ ‎16．‎2019年1月4日，据“央视财经”微信公众号消息，点外卖已成为众多消费者一大常规的就餐形式，外卖员也成为了一种职业.为调查某外卖平台外卖员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计得如下频率分布直方图：‎ 将上述调查所得到的频率视为概率.‎ ‎（1）求的值，并估计利用该外卖平台点外卖用户的平均送餐距离；‎ ‎（2）若该外卖平台给外卖员的送餐费用与送餐距离有关，规定‎2千米内为短距离，每份3元，‎2千米到‎4千米为中距离，每份5元，超过‎4千米为远距离，每份9元.‎ ‎（i）记为外卖员送一份外卖的牧入（单位：元），求的分布列和数学期望；‎ ‎（ii）若外卖员一天的收入不低于150元，试利用上述数据估计该外卖员一天的送餐距离至少为多少千米？‎ ‎【答案】（1），‎2.7千米；（2）（i）详见解析；（ii）‎81千米.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，解得.‎ 点外卖用户的平均送餐距离为千米.‎ ‎（2）（i）由题意知的所有可能取值为3，5，9.‎ ‎；；.‎ 所有的分布列为 ‎3‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎0.30‎ ‎0.55‎ ‎0.15‎ 的数学期望为（元）.‎ ‎（ii）因为，则估计外卖员一天至少要送30份外卖，所以该外卖员一天的送餐距离至少为千米.‎ ‎17．槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解，两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，经他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本，绘制成如图所示的茎叶图（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.‎ ‎（1）你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？‎ ‎（2）在被抽取的10名学生中，从平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中随机抽取3名学生，求抽到班学生人数的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）班样本数据的平均值为，‎ 由此估计班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为17颗，‎ 班样本数据的平均值为，‎ 由此估计班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为19颗.‎ 故估计班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多 ‎（2）∵平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中，班有2人，‎ 班有3人，共有5人，‎ ‎∴的可能取值为1，2，3，‎ ‎，，，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴.‎ ‎18．为增强市民的环境保护意识，某市面向全市学校征召100名教师做义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组，现把该组的成员按年龄分成5组，如下表所示：‎ 组别 年龄 人数 ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎35‎ ‎3‎ ‎20‎ ‎4‎ ‎30‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法选出6名志愿者参加某社区宣传活动，应从第3，4，5组各选出多少名志愿者？‎ ‎（Ⅱ）在Ⅰ的条件下，宣传组决定在这6名志愿者中随机选2名志愿者介绍宣传经验.‎ ‎（ⅰ）列出所有可能结果；‎ ‎（ⅱ）求第4组至少有1名志愿者被选中的概率。‎ ‎【答案】（Ⅰ ）2,3,1（Ⅱ）（i）见解析（ii）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ ）从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，‎ 由频率分布图得：‎ 应从第3组抽取：62名志愿者，‎ 应从第4组抽取：63名志愿者，‎ 应从第5组抽取：61名志愿者．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）记第3组的2名志愿者为A1，A2，第4组的3名志愿者为B1，B2，B3第5组的1名志愿者为C1．‎ 则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：‎ ‎（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），‎ ‎（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），‎ ‎（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），‎ ‎（B2，B3）（B2，C1），‎ ‎（B3，C1），‎ 共有15种．‎ ‎（ⅱ）第4组没有志愿者被选中包括（A1，A2），（A1，C1），（A2，C1），共三种，‎ 故第4组至少有1名志愿者被选中的概率 ‎19．为了调查居民对城市共享单车的满意度，随机选取了100人进行问卷调查，并将问卷中的100人根据其满意度评分值按照分为5组，得到号如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）求满意度分值不低于70分的人数.‎ ‎（Ⅱ）已知满意度分值在内的男性与女性的比为3：4，为提高共享单车的满意度，现从满意度分值在的人中随机抽取2人进行座谈，求这2人中只有一位男性的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）73人（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知满意度分值不低于70分的人数为：‎ ‎（人），‎ ‎∴满意度分值不低于70分的人数为73人.‎ ‎（Ⅱ）的样本内共有居民人，3名男性，4名女性，‎ 设三名男性分别表示为，四名女性分别表示为 则从7名居民随机抽取2名的所有可能结果为：‎ ‎，共21种.‎ 设事件为“抽取2人中只有一位男性”，则中所含的结果为：‎ 共12种 ‎∴事件发生的概率为.‎ ‎20．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人.‎ ‎ 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）写出的值；试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；870人 （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）解：由频率直方图的性质，，所以，‎ 由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. ‎ 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，‎ 所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有人，‎ 同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，学生人数约有人.‎ 所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人.‎ ‎（Ⅱ）解：记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件， ‎ 初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人.‎ 高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人. ‎ 记这3名初中生为，这2名高中生为，‎ 则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：，‎ ‎，，，，，，，，，‎ 而事件的结果有7种，它们是，，，，，，，‎ 所以.‎ 能力提升训练 ‎1．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（ ）‎ A．成绩在分的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1000人 C．考生竞赛成绩的平均分约70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分 ‎【答案】D ‎【解析】‎ A选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；‎ B选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，即B正确；‎ C选项，由频率分布直方图可得：‎ 平均分等于，即C正确；‎ D选项，因为成绩在的频率为，由的频率为，‎ 所以中位数为，故D错误.‎ 故选D ‎2．某校有文科教师120名，理科教师150名，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（　　）‎ A．96 B．‎126 ‎C．144 D．174‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由统计图表可得：该校文科女教师的人数为120×0.7＝84，该校理科女教师的人数为150×0.4＝60，‎ 所以该校女教师的人数为144，‎ 故选：C．‎ ‎3．为考察A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到等高条形图如图所示，根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ） ‎ A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果 B．药物A、B对该疾病均没有预防效果 C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果 D．药物A的预防效果优于药物B的预防效果 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由等高条形图知，服用A药物的患病人数明显少于服用药物B的人数，服用A药物的未患病人数明显多于服用药物B的人数，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果，故选D.‎ ‎4．如图为某省高考数学（理）卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，给出下面三个结论：①近三年容易题分值逐年增加；②近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年；③2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的以上．其中正确结论的个数为（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据对比图得：‎ ‎2016年，2017年，2018年容易题分值分别为40，55，96，逐年增加，①正确；‎ 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2016年，②错误；‎ ‎2018年的容易题与中档题的分值之和为96+42=138，，③正确 故选：C．‎ ‎5．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．‎ 若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2‎ ‎，则下面正确的是（　　）‎ A．m1＞m2，s1＞s2 B．m1＞m2，s1＜s2‎ C．m1＜m2，s1＜s2 D．m1＜m2，s1＞s2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由频率分布直方图得：‎ 甲地区[40，60）的频率为：（0.015+0.020）×10＝0.35，[60，70）的频率为0.025×10＝0.25，‎ ‎∴甲地区用户满意度评分的中位数m1＝6066，‎ 甲地区的平均数s1＝45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10＝67．‎ 乙地区[50，70）的频率为：（0.005+0.020）×10＝0.25，[70，80）的频率为：0.035×10＝0.35，‎ ‎∴乙地区用户满意度评分的中位数m2＝7010≈77.1，‎ 乙地区的平均数s2＝55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10＝77.5．‎ ‎∴m1＜m2，s1＜s2．‎ 故答案为：C.‎ ‎6．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可得：，‎ 设被污损的数字为x，则：，‎ 满足题意时，，即：，‎ 即x可能的取值为,‎ 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：.‎ 故选：C.‎ ‎7．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．‎ 成绩分组 频数 ‎2‎ ‎6‎ ‎16‎ ‎14‎ ‎2‎ ‎（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；‎ ‎（2）在抽取的学生中，从成绩为的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率；‎ ‎（3）记高一、高二两个年级知识竞赛的平均分分别为，，试估计，的大小关系．（只需写出结论）‎ ‎【答案】（1）0.85 （2）（3）.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）高一年级知识竞赛的达标率为.‎ ‎（2）高一年级成绩为的有名，记为，，，，‎ 高二年级成绩为的有2名，记为，．‎ 选取2名学生的所有可能为：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，共15种；‎ 其中2名学生来自于同一年级的有，，，，，，，共7种．‎ 设2名学生来自于同一年级为事件，所以.‎ ‎（3）.‎ ‎8．是亚太区域国家与地区加强多边经济联系、交流与合作的重要组织，其宗旨和目标是“相互依存、共同利益，坚持开放性多边贸易体制和减少区域间贸易壁垒.”2017年会议于‎11月10日至11日在越南岘港举行.某研究机构为了了解各年龄层对会议的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分组区间分别为，，，，）.‎ ‎（1）求选取的市民年龄在内的人数；‎ ‎（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人参与会议的宣传活动，求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在内的概率.‎ ‎【答案】（1）30人；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意可知，年龄在内的频率为，‎ 故年龄在内的市民人数为.‎ ‎（2）易知，第4组的人数为，故第3，4组共有50名市民，‎ 所以用分层抽样的方法在50名志愿者中抽取5名志愿者，‎ 每组抽取的人数分别为：第3组；第4组.‎ 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人.‎ 记第3组的3名志愿者分别为，第4组的2名志愿者分别为，则从5名志愿者中选取2名志愿者的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种.‎ 其中第4组的2名志愿者至少有一名志愿者被选中的有：，，，，，，，共有7种，‎ 所以至少有一人的年龄在内的概率为.‎ ‎9．‎ 某数学兴趣小组有男女生各5名．以下茎叶图记录了该小组同学在一次数学测试中的成绩(单位：分)．已知男生数据的中位数为125，女生数据的平均数为126.8.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）现从成绩高于125分的同学中随机抽取两名同学，求抽取的两名同学恰好为一男一女的概率．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由男生成绩为119，122，，134，137 ，其中位数为，‎ 即，解得，‎ 又由女生成绩为119，125，，128，134，‎ 则平均数为，解得：，‎ 所以．‎ ‎（2）成绩高于的男生有2名分别为，成绩高于的女生有3名分别为，‎ 从高于125分的同学中取两人的所有取法：‎ ‎，共10种不同的取法，‎ 其中恰好为一男一女的取法：，共有6种不同的取法，‎ 故抽取的两名同学恰好为一男一女的概率．‎ ‎10．过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成组：‎ ‎，并整理得到频率分布直方图：‎ ‎ ‎ ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取人，则三个组中各抽取多少人？‎ ‎（3）在（2）中抽取的人中，随机抽取人，则这人都来自于第三组的概率是多少？‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由频率分布直方图的性质可得，解得.‎ ‎（2）第二组、第三组、第四组的频率比为，共抽取人，‎ 所以三个组依次抽取的人数为.‎ ‎（3）记第二组人分别为，第三组人分别为，‎ 第四组人分别为．‎ 从人中抽取两人共包含 ‎,,,‎ ‎,,，‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,共个基本事件.‎ 而两人都来自于第三组的基本事件包括 ‎,,,共个.‎ 故所求概率为. ‎