2019-2020学年安徽省六安一中、舒城中学、霍邱一中高二上学期第二次段考数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省六安一中、舒城中学、霍邱一中高二上学期第二次段考数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省六安一中、舒城中学、霍邱一中高二上学期第二次段考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．命题“若，都是偶数，则是偶数”的否命题与逆否命题的真假为（ ）‎ A．真，真 B．真，假 C．假，真 D．假，假 ‎【答案】C ‎【解析】先判断原命题的真假,可得到逆否命题的真假,然后写出原命题的否命题,判断真假即可.‎ ‎【详解】‎ 偶数之和仍然是偶数,即原命题为真命题,它的逆否命题也为真命题.‎ 原命题的否命题为:“若，不都是偶数，则不是偶数”,‎ 因为当，都是奇数时，是偶数,所以原命题的否命题是假命题.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四种命题,考查命题真假的判断,注意原命题和它的逆否命题真假相同,属于基础题.‎ ‎2．椭圆的焦点坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将椭圆方程化为标准方程,并判断焦点所在位置,进而求出焦点坐标即可.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的标准方程为,是焦点在轴上的椭圆,其中,则,故焦点坐标为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的方程与椭圆的性质,注意焦点所在轴的判断,属于基础题.‎ ‎3．下列函数求导运算错误的个数为（ ）‎ ‎①；②；③；④；⑤.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】结合求导法则,对五个函数逐个分析,可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,,即①错误;②,正确;,即③错误;④,正确;,即⑤正确.‎ 故错误的有2个.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数,熟练运用求导法则,属于基础题.‎ ‎4．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某中学2018级某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】结合题中关系,可得,可求出,再由离心率,可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 设圆柱的底面半径为,椭圆的长轴为,短轴为,‎ 则,,即,‎ 故离心率.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的离心率,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力与推理能力,属于基础题.‎ ‎5．若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据离心率大于2得到不等式：计算得到虚轴长的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的离心率，虚轴长，意在考查学生的计算能力.‎ ‎6．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】结合直线与抛物线的位置关系,分别讨论充分性与必要性即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 若直线与抛物线相切,则直线与抛物线只有一个公共点,即充分性成立;‎ 若直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时只有一个公共点,直线与抛物线不相切,即必要性不成立.‎ 故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分性与必要性的判断,考查了直线与抛物线的位置关系,属于基础题.‎ ‎7．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积是（ ）‎ A． B． C．12 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将平方,可得到与的关系,再结合余弦定理,可求出的值,进而利用三角形的面积公式可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 在椭圆中,,,,‎ 则,‎ ‎,‎ 由余弦定理,,‎ 则,解得.‎ 则的面积.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了焦点三角形的面积,考查了椭圆的性质,考查了余弦定理的应用,考查了学生的推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎8．点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角 的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】略 ‎9．方程化简的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程表示,点与的距离之和为10,且大于两点间的距离,可知点的轨迹是椭圆,求出方程即可.‎ ‎【详解】‎ 设动点,定点,‎ 因为,所以,‎ 又,则,‎ 所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆,其中,故方程为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义,考查了轨迹方程,考查了学生的推理能力,属于基础题.‎ ‎10．设抛物线的焦点为，过的直线交该抛物线于、两点，则的最小值为（ ）‎ A．13 B．11 C．9 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】设,若直线的斜率存在,设出方程并与抛物线方程联立,可得到,再由焦半径公式,可得,利用基本不等式可求出最小值,若直线的斜率不存在,求出此时 即可,比较两种情况的最小值,即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,,设,‎ 若直线的斜率存在,设为,则直线的方程为,‎ 联立,即,,‎ 又,,,‎ 则,当且仅当时,取等号.‎ 若直线的斜率不存在,则直线的方程为,则,此时.‎ 综上,的最小值为9.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与抛物线的交点问题,考查了焦半径公式的应用,考查了一元二次方程及韦达定理的应用,考查了利用基本不等式求最值,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.‎ ‎11．已知圆：，点，点为动点，以线段为直径的圆内切于圆，则动点的轨迹方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出图形,设以线段为直径的圆的圆心为,半径为,与圆内切于点,连结,取点,连结,结合几何关系可以推出,从而可得出动点的轨迹是椭圆,求出方程即可.‎ ‎【详解】‎ 作出图形,见下图,‎ 设以线段为直径的圆的圆心为,半径为,与圆内切于点,则点 三点共线,连结,取点,连结.‎ 在中,为中位线,即,‎ 又,,,‎ 则,‎ 因为,所以动点的轨迹方程是以为焦点,长轴为8的椭圆,‎ 椭圆中,即方程为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了轨迹方程的求法,考查了椭圆的定义的理解,考查了圆与圆的内切的应用,考查了学生分析问题解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎12．已知过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，若为线段的中点，为坐标原点，连接并延长，交抛物线于点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】,设,,,,易知直线 的斜率存在且不为0,设直线的方程为,与抛物线方程联立可得到关于的一元二次方程,并用表示,进而可用表示,结合,可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,作出图形,‎ ‎,直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为.‎ 联立,消去整理得,‎ 设,,,,则,‎ 因为为线段的中点,所以,,‎ 所以直线的斜率,所以直线的方程为,‎ 将代入,可得,所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及中点坐标公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．命题“，”的否定是______.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】全称命题的否定为特称命题,写出即可.‎ ‎【详解】‎ 全称命题的否定为特称命题,故命题的否定为:,.‎ 故答案为:,.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定,注意全称命题的否定为特称命题,属于基础题.‎ ‎14．已知是双曲线上一点，，是双曲线的左、右焦点，且，则______.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】先判断是双曲线左支上一点,结合,可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的焦点在轴,其中,.‎ ‎,即,‎ 所以是双曲线左支上一点,则.‎ 故答案为:12.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的性质,利用双曲线的定义是解题的关键,属于基础题.‎ ‎15．命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由原命题为假,可知它的否定为真,写出原命题的否定形式,求出对应即可.‎ ‎【详解】‎ 原命题为假,它的否定为真,‎ 即命题“,使”是真命题,‎ 当时,成立;‎ 当时,只需,解得.‎ 综上,实数的取值范围为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 特称命题的否定为全称命题,命题与它的否定真假相反.‎ ‎16．椭圆：的左、右焦点分别是，，点在椭圆上，在上，，在中，内心为，若，则椭圆的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设点,由,可表示出的坐标,由,可得到点的纵坐标,再由为的内心,结合的面积可得到,进而可求出离心率.‎ ‎【详解】‎ 设点,,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∵,∴点的纵坐标为.‎ ‎∵的内心为,∴的内切圆半径为.‎ ‎∴的面积为,‎ 即,‎ 整理得,‎ 即离心率.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的离心率,考查了三角形的面积公式的应用,考查三角形的内心,考查了平面向量平行的性质,考查了转化思想的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知：，：.‎ ‎（1）若，且为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】（1）为真命题,可知都为真命题,将代入,解出对应的不等式,进而可求出答案;‎ ‎（2）讨论的大小,可求出对应的不等式,由是 的必要不充分条件,可得出对应的不等关系,即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得,:,解得,‎ 当时,:,解得.‎ 因为为真命题,则,都是真命题,‎ 所以,即得.‎ ‎（2）由（1）知:,‎ ‎:,且,则:,‎ 若,即,则:或,‎ 又是的必要不充分条件,则或,解得;‎ 若,即,则:或,‎ 又是的必要不充分条件,则或,解得.‎ 故实数的取值范围为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的解法,考查充分性与必要性的应用,考查了或且非命题,考查了学生的推理能力,属于中档题.‎ ‎18．若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）过的直线与双曲线的左支交于、两点，求直线斜率的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）设双曲线:,将点代入方程,可求出,进而可求出双曲线的方程;‎ ‎（2）通过讨论可知直线的斜率存在,设出直线方程并与双曲线方程联立,得到方程,只需,求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为双曲线与双曲线有共同的渐近线,‎ 不妨设双曲线:.‎ 因为点在上,代入方程解得,‎ 所以双曲线的方程为.‎ ‎（2）由（1）知,双曲线的方程为.‎ 当直线斜率不存在时,显然直线与双曲线无交点,不合题意,舍去；‎ 当直线斜率存在时,设斜率为,则直线的方程，‎ 联立,整理得,‎ 直线与双曲线的左支交于两点,则，‎ 即,解得.‎ 所以直线斜率的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了共渐近线的双曲线的方程,考查直线与双曲线的交点问题,考查韦达定理的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.‎ ‎19．设函数.‎ ‎（1）求函数的图象在处的切线方程；‎ ‎（2）求过点的切线方程.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】（1）对函数求导,切线斜率为,切点为,用点斜式可求出切线方程;‎ ‎（2）设切点为,求得在处的切线,然后将代入,可求出,进而可求出切线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得,,‎ 所以,,‎ 所以切线方程为，‎ 即.‎ ‎（2）设切点为,‎ 易得在处的切线为.‎ 因为切线过点,则，‎ 化简得,即,所以,,‎ 所以切线方程为，化简得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义,考查过曲线上一点及曲线外一点求曲线的切线方程,考查了学生的求解能力,属于基础题.‎ ‎20．已知是抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若、是抛物线上的两个动点，且，为坐标原点，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】（1）;（2）证明见解析 ‎【解析】（1）由,并将点代入抛物线方程中,联立可求出,即可;‎ ‎（2）设,,由,可得,结合两点都在抛物线上,可求得的值.设直线的方程为,与抛物线方程联立,可得到,从而可求出参数的值,代入直线的方程可知直线恒过定点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得,,解得,‎ 因为点在抛物线上,则,解得,‎ 又,所以,即拋物线的标准方程为.‎ ‎（2）设,,‎ 因为,所以,即得,‎ 因为点、在抛物线上,所以,,‎ 代入得,因为,则,‎ 设直线的方程为,联立,得,‎ 则,所以,‎ 所以直线的方程为，过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的方程,考查了抛物线的焦半径的应用,考查了韦达定理的应用,考查直线恒过定点问题,考查了学生的推理能力与计算求解能力,属于中档题.‎ ‎21．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，且，点在椭圆上，面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过的直线交椭圆于、两点，求内切圆半径的取值范围.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】（1）由题可得,且当点在短轴端点时,的面积最大,联立可求得,即可求出椭圆方程;‎ ‎（2）由内切圆的性质可得,设出直线方程与椭圆方程联立,可得到的表达式,进而得到内切圆半径的表达式,求出取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意,,即,‎ 当点在短轴端点时,的面积最大,则,解得,‎ 所以,,所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题可知,过的直线斜率不为0,设方程为,的内切圆半径为.‎ 联立,得,则,‎ 所以,‎ 所以.‎ 而，‎ 所以.‎ 令，则，‎ 构造函数,求导,‎ 当时,,即,‎ 故函数在时,单调递增,即,‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的方程,考查焦点三角形的面积的应用,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的应用,考查三角形内切圆性质的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（2）若在上，在上，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）曲线的参数方程为（为参数）,直线的普通方程;（2）‎ ‎【解析】（1）将曲线的极坐标方程化为普通方程,进而化为参数方程,将直线的参数方程化为普通方程即可;‎ ‎（2）由（1）可知曲线是圆,求出圆心到直线的距离,然后减去半径即为所求.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线的直角坐标方程为,即,‎ ‎∴曲线的参数方程为（为参数）.‎ 直线的普通方程为，即.‎ ‎（2）由（1）知,曲线是圆心为,半径为1的圆,‎ 圆心到直线的距离,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程、普通方程及参数方程间的转化,考查了圆的性质,考查点到直线的距离公式的应用,属于基础题.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）{或};（2）‎ ‎【解析】（1）将代入,分类讨论解不等式即可;‎ ‎（2）由不等式性质求出的最小值,令最小值小于2即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时,,‎ ‎①当时,,解得,∴;‎ ‎②当时,,显然无解;‎ ‎③当时,,解得,∴.‎ 综上所述,不等式的解集为或.‎ ‎（2）∵,‎ 当时取等号.‎ ‎∴若关于的不等式的解集不是空集,只需，‎ 解得,即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了绝对值不等式的性质,考查了绝对值不等式的解法,考查了学生的推理能力,属于基础题.‎