数学卷·2017届河北省定州中学高三（高补班）上学期期末考试（2017

数学卷·2017届河北省定州中学高三（高补班）上学期期末考试（2017

河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高四数学期末考试 一、选择题 1．在一个不透明的袋子里，有三个大小相等小球（两黄一红），现在分别由 3 个同学无放回 地抽取，如果已知第一名同学没有抽到红球，那么最后一名同学抽到红球的概率为 （ ） A. B. C. D.无法确定 2． ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 3．某服装加工厂某月生产甲、乙、丙三种产品共 4000 件, 为了保证产品质量, 进行抽样检 验, 根据分层抽样的结果, 企业统计员制作了如下统计表格. 由于不小心, 表格甲、丙中产 品的有关数据已被污染得看不清楚, 统计员记得甲产品的样本容量比丙产品的样本容量多 10, 根据以上信息, 可得丙的产品数量是（ ） A．80 B．800 C．90 D．900 4．α 是第四象限角， ，则 sinα=（ ） A． B． C． D． 5．已知变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3 1 3 2 2 1 24sin 2 25 α = 0 2 πα< < 2 cos( )4 π α− 1 5 − 1 5 7 5 − 7 5 1 3 3 0 x y x y x + ≥  + ≤  ≥ 2z x y= + 2{ | 2 0}A x x x= − − > { || | 3}B x x= < A B = { | 3 1}x x− < < − { | 2 3}x x< < { | 3 1 2 3}x x x− < < − < <或 { | 3 2 3}x x x− < < − < <或1 7．若 是任意实数，且 ，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 9．已知 A 是 的内角，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 10．“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．下列各式中，值为 的是（ ） A． B． C． D． 12．函数 的单调递增区间是（ ） A. B.(0,3) C.(1,4) D. a b、 a b> 2 2a b> 1< a b ( )lg 0a b >- ba     <     3 1 3 1 ABC∆ 27 2 π 27π 27 3π 27 3 2 π 3sin 2A = tan 3A = 2 2a b> 2 2log loga b> 3 0 0sin15 cos15 2 2cos sin12 12 π π− 0 0 1 tan15 1 tan15 + − 01 cos30 2 + ( ) ( ) xexxf 3−= ( )2,∞− ( )+∞,2 二、填空题 13． 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则 . 14．已知 ， 分别是 的两个实数根，则 . 15．函数 且 过定点 ，则点 的坐标为 16．已知向量 ，若 ，则向量 在向量 方向上的投影 为 . 三、解答题 17．（本题 10 分） 已知集合 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求集合 ； 若不存在，说明理由. 18．如图， 是 的直径， 是 上的两点， ，过点 作 的切线 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 . 求证： . 19．已知函数 （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）求函数 f（x）的最大值及取得最大值时 x 的取值集合； （3）求函数 f（x）的单调递增区间． 20．四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 面 ，已知 ， ， ， . ABC∆ , ,A B C , ,a b c 60 , 2,A b= ° = 2 3ABCS∆ = a = tanα tan β 2lg(6 5 2) 0x x− + = tan( )α β+ = 2015( ) 2015xf x a −= + ( 0a > 1)a ≠ A A ( ) ( ) ( ),2 , 2,1 , 3,a x b c x= = = / /a b a c { } { }21,3,x ,B 2,1A x= = + x B A⊆ ,A B AB ,C F OC AB⊥ F FD AB D CF AB E 2DE DB DA= ⋅ ABCDS − ABCD ⊥SBC ABCD 45=∠ABC 2=AB 22=BC 3== SCSB （1）设平面 与平面 的交线为 ，求证： ； （2）求证： ； （3）求直线 与面 所成角的正弦值. 21．设集合 A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}． （1）若 A∩B={2}，求实数 a 的值； （2）若 A∪B=A，求实数 a 的取值范围． 22．已知函数 ， （其中 为自然对数的底数） （1）若曲线 在 处的切线与曲线 在 处的切线互相垂直， 求实数 的值； （2）设函数 讨论函数 零点的个数． 23．已知函数 ， 是常数，且 ． （1）讨论 零点的个数； （2）证明： ． 24．已知函数 ， （1）若 在 处取得极值，求 的值； （2）讨论 的单调性； （3）证明： ． SCD SAB l ABl // BCSA ⊥ SD SAB 3 1( ) 4f x x ax= − + − ( ) xg x e e= − e ( )y f x= (0, (0))f ( )y g x= (0, (0))f a ( ), ( ) ( ),( ) ( ), ( ) ( ), f x f x g xh x g x f x g x ≥=  < ( )h x ( ) ( )ln 1 axf x x x a = + − + a 1a ≥ ( )f x 2 1 3ln 1 ,2 1 3 1 n Nn n n ∗ < + < ∈ + +  2( ) ln(1 ) ( 0)f x x ax a= + + ≤ ( )f x 0x = a ( )f x * 2 1 1 11 1 1 ( ,9 81 3 n e n N e    + + − + < ∈         为自然对数的底数) 参考答案： CDBBD CDBBB 11．C 12．D 13． 14． 15． 16． 17．存在 . 假设存在实数 ，使 ， 则 ， （1）当 时， ，此时 ，不满足集合元素的互异性，故 ； （2）当 时，即 ，故 或 ， ①当 时， 与元素互异性矛盾，故 ； ②当 时， ，显然有 ， 综上所述，存在 ，使 满足 . 18．解：（1）∵ ∴f（x）= = = ． ∵ ，即函数 f（x）的最小正周期为 π． （2）当 即 时，f（x）取最大值 1 因此 f（x）取最大值时 x 的集合是 2 3 1 (2015,2016) 4 2x = x B A⊆ 22 3 2x x x+ = + =或 2 3x + = 1x = { }1,3,1A = 1x ≠ 22x x+ = 2 2 0x x− − = 1x = − 2x = 1x = − { }1,3,1A = 1x ≠ − 2x = { } { }1,3,4 , 4,1A B= = B A⊆ 2x = { } { }1,3,4 , 4,1A B= = B A⊆ （3）f（x）= ． 再由 ， 解得 ． 所以 y=f（x）的单调增区间为 ． 20．【解析】 （1）证明： 底面 为平行四边形 . ， 又 平面 SCD 与平面 SAB 的交线为 . （2）证明：连接 AC， ， 由余弦定理得 ， 6 分 取 中点 ，连接 ，则 . 面 （Ⅲ）如图，以射线 OA 为 轴，以射线 OB 为 轴，以射线 OS 为 轴，以 为原点，建立 空间直角坐标系 , 则 ， ． ABCD 45 2 2 2ABC AB BC∠ = = = ， ， 2AC = AC AB∴ = BC G ,SG AG AG BC⊥ , , ,SB SC SG BC SG AG G= ∴ ⊥ =   BC∴ ⊥ , .SAG BC SA∴ ⊥ y z O xyzO − ( )020B ,,  ∴ CDAB //  SCDAB 平面⊄ SCDCD 平面⊂ ∴ SCDAB 平面//  l ∴ ABl // x )0,0,2(A ， 设平面 法向量为 有 令 ，则 ， 所以直线 与面 所成角的正弦值为 21．解：由 x2﹣3x+2=0 得 x=1 或 x=2，故集合 A={1，2} （1）∵A∩B={2}，∴2∈B，代入 B 中的方程， 得 a2+4a+3=0⇒a=﹣1 或 a=﹣3； 当 a=﹣1 时，B={x|x2﹣4=0}={﹣2，2}，满足条件； 当 a=﹣3 时，B={x|x2﹣4x+4=0}={2}，满足条件； 综上，a 的值为﹣1 或﹣3； （2）对于集合 B， △=4（a+1）2﹣4（a2﹣5）=8（a+3）． ∵A∪B=A，∴B⊆A， ①当△＜0，即 a＜﹣3 时，B=∅满足条件； ②当△=0，即 a=﹣3 时，B={2}，满足条件； ③当△＞0，即 a＞﹣3 时，B=A={1，2}才能满足条件， 则由根与系数的关系得 ⇒ 矛盾； 综上，a 的取值范围是 a≤﹣3． 22．（1） ；（2） 或 时： 有两个零点； 或 时： 有三个零点； 时： 有四个零点．[来源] （1）由已知， ， ，∴ ，∴ ； ( )100S ,, ( )0222D ,− )1,22,2()1,0,0()0,22,2( −−=−−=SD )1,0,2()1,0,0()0,0,2( −=−=SA )0,2,2()0,2,0()0,0,2( −=−=BA SAB ( )zyxn ,,=    =−=⋅ =−=⋅ 0222 02 yxBAn zxSAn 1=x 2,2 1 == zy ( )2,1,1=n 11 22 112 2222,cos −= ⋅⋅ −−= ⋅ ⋅= SDn SDnSDn SD SAB 11 22 1a = − 3 4a < 5 4a > ( )y h x= 3 4a = 5 4a = ( )y h x= 3 5 4 4a< < ( )y h x= 2( ) 2f x x a′ = − + ( ) xg x e′ = (0)f a′ = 1a = − （2 ）易知函数 在 上单调递增，仅在 处有一个零点，且 时， ， 又∵ ， 当 时： ， 在 上单调递减，且过点 ， ， 即 在 时必有一个零点，此时 有两个零点； 当 时：令 ，两根为 ， ， 则 是函数 的一个极小值点， 是函数 的一个极大值点， 而 ， ， 现在讨论极大值的情况： ， 当 ，即 时，函数 在 恒小于零，此时 有两个零点； 当 ，即 时，函数 在 有一个解 ，此时 有三个零点； 当 ，即 时，函数 在 有两个解，一个解小于 ，一个解 大于 ， 若 ，即 时， ，此时 有四个零点； 若 ，即 时， ，此时 有三个零点； 若 ，即 时， ，此时 有两个零点， ( ) xg x e e= − R 1x = 1x < ( ) 0g x < 2( ) 3f x x a′ = − + 0a ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x R 1(0, )4 − 3( 1) 04f a− = − > ( )f x 0x ≤ ( )y h x= 0a > 2( ) 3 =0f x x a′ = − + 1 03 ax = − < 2 03 ax = > 3 a− ( )f x 3 a ( )f x 3 1 2 1( ) ( ) ( ) 03 3 3 4 3 3 4 a a a a af a− = − − + − − = − − < 1(0) 4f = − 3 1 2 1( ) ( ) ( )3 3 3 4 3 3 4 a a a a af a= − + − = − ( ) 03 af < 3 4a < ( )y f x= (0, )+∞ ( )y h x= ( ) 03 af = 3 4a = ( )y f x= (0, )+∞ 0 1 3 2 ax = = ( )y h x= ( ) 03 af > 3 4a > ( )y f x= (0, )+∞ 3 a 3 a 1(1) 1 04f a= − + − < 5 4a < ( ) 13 af < ( )y h x= 1(1) 1 04f a= − + − = 5 4a = ( ) 13 af = ( )y h x= 1(1) 1 04f a= − + − > 5 4a > ( ) 13 af > ( )y h x= 综上所述： 或 时： 有两个零点； 或 时： 有三个 零点； 时： 有四个零点． 23．解 得 ，或 ． ① 时， ，若 ， 若 ， 有一个零点． ② 时， ， 由上表可知， 在区间 有一个零点 ． ， 又 ，任取 ， ， 在区间 有一个零点，从而 有两个零点． ③ 时， ， 在 上单调递增，有一个零点 ． ④ 时， ， 由上表可知， 在区间 有一个零点 ，在区间 有一个零 3 4a < 5 4a > ( )y h x= 3 4a = 5 4a = ( )y h x= 3 5 4 4a< < ( )y h x= ( ) 0f x′ = 0x = 2 2x a a= − 1a = ( ) ( )21 xf x x ′ = + ( ) ( ) ( ) ( )1,0 , 0, 0 0x f x f x f′∈ − < > = ( ) ( ) ( ) ( )0, , 0, 0 0x f x f x f′∈ +∞ > > = ( )f x 1 2a< < 21 2 0a a− < − < ( )f x ( )2 2 ,a a− +∞ 0x = ( ) ( )2 2 0 0f a a f− > = 2 2 1 1 ax a a aa ax a x a a a − = − ≤ − =+ + − − 11, 1 a at e −  ∈ − −    ( ) 01 1 a af t a a < + =− − ( )f x ( )2, 2t a a− ( )f x 2a = ( ) ( )( ) 2 2 0 1 2 xf x x x ′ = > + + ( )f x ( )1,− +∞ 0x = 2a > 2 2 0a a− > ( )f x ( )21, 2a a− − 0x = ( )2 2 ,a a− +∞ 点， 从而 有两个零点． （2）取 ，由（1）知 在 上单调递增， 取 ，则 ，化简得 ． 取 ，由（1）知 在区间 上单调递减， 取 ，由 ，得 ， 即 ，综上， ． 24．（1） （2）详见解析（3）详见解析 解：（1）∵ ，∵ 是 的一个极值点，则 ，∴ ，验证知 符合条件． （2）∵ ， 1）若 时， ∴ 在 单调递增，在 单调递减； 2）若 得，当 时， 对 恒成立， ∴ 在 上单调递减． 3）若 时，由 得 ， ∴ ， 再令 ，可得 或 ， ( )f x 2a = ( ) ( ) 2ln 1 2 xf x x x = + − + ( )1,− +∞ ( )1x n Nn ∗= ∈ ( )1 0 0f fn   > =   1 2ln 1 2 1n n  + >  +  3 2a = ( ) ( ) 3ln 1 2 3 xf x x x = + − + 3 ,04  −   ( )1 3 ,01 4x n Nn ∗ = − ∈ − ∈ +   ( ) ( )0f x f> 3 1 1ln 1 11 2 31 n n n −  +− > +    − + +  ( )1 3ln 1 3 1 n Nn n ∗ + < ∈  +  2 1 3ln 1 ,2 1 3 1 n Nn n n ∗ < + < ∈ + +  0a = 2 2( ) 1 xf x ax ′ = ++ 0x = ( )f x (0) 0f ′ = 0a = 0a = 2 2 2 2 2( ) 1 1 x ax x af x ax x + +′ = + =+ + 0a = ( )f x ( )0,+∞ ( ),0−∞ 0 0 a < ∆ ≤ 1a ≤ − ( ) 0f x′ ≤ x R∈ ( )f x R 1 0a− < < ( ) 0f x′ > 2 2 0ax x a+ + > 2 21 1 1 1a axa a − + − − − −< < ( ) 0f x′ < 21 1 ax a − − −> 21 1 ax a − + −< ∴ 在 上单调递增， 在 和 上单调递减． 综上所述，若 时， 在 上单调递减， 若 时， 在 上单调递增， 和 上单调递减． 若 时， 在 单调递增，在 单调递减. （3）由（2）知，当 时， 在 单调递减 当 时，由 ， ∴ ， ∴ ∴ . ( )f x 2 21 1 1 1,a a a a  − + − − − −    21 1, a a  − + −−∞    21 1 ,a a  − − − +∞    1a ≤ − ( )f x ( ),−∞ +∞ 1 0a− < < ( )f x 2 21 1 1 1,a a a a  − + − − − −    21 1, a a  − + −−∞    21 1 ,a a  − − − +∞    0a = ( )f x ( )0,+∞ ( ),0−∞ 1a = − ( )f x ( ),−∞ +∞ ( )0,x∈ +∞ ( ) (0) 0f x f< = ( )2ln 1 x x+ < 2 2 1 1 1 1 1 1ln 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 19 81 3 9 81 3n n            + + + = + + + + + +                        2 1 111 1 1 1 1 13 3 113 3 3 2 3 21 3 n n n  −    < + + + = = − <  − 1 2 2 1 1 11 1 19 81 3 n e e    + + + < =        