2018届二轮复习 平面向量 学案（ 江苏专用）

2018届二轮复习 平面向量 学案（ 江苏专用）

专题7：平面向量 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1． (1)已知向量a＝(0，2)，|b|＝2，则|a－b|的取值范围是 ．‎ ‎(2)若a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则的取值范围是 ．‎ 答案：(1)[0,4]．(2)[0,1]．‎ A B C D E ‎2．(1)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD，E为BC边上的点，且·＝0．则·＝ ；·＝ ．‎ ‎(2)如图，在边长为2的菱形ABCD中，ÐBAD＝60°，E为CD中点，‎ 则×＝ ．‎ ‎(3)已知OA＝OB＝2，·＝0，点C在线段AB上，且∠AOC＝60°，则·＝________________．‎ 答案：(1)－,．(2)1．(3)8－4．‎ 二、方法联想 ‎1．向量的运算 方法1 用向量的代数运算．‎ 方法2 结合向量表示的几何图形．‎ 变式1、已知平面向量,满足||＝1，且与－的夹角为120°，则的模的取值范围是 ‎ 答案：（0，]‎ ‎（结合向量的几何图形求解）‎ 变式2、△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3， 则·＝________.‎ 答案：‎ ‎(外心隐含着垂直关系)‎ ‎2．向量的应用 方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算．‎ 方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决 变式1、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是 . ‎ 答案：‎ 解析：两个思路，一是特殊成等腰三角形，建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，比如以，为基底. 对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：‎ ‎（已知数量积求相关的其他数量积） ‎ 变式3、在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||的最大值是__________‎ 答案: ‎ ‎(采用解析法，即建立直角坐标系，写出坐标，同时得到动点的轨迹是圆，因此可用圆的性质得出最值)‎ 变式4、在等腰梯形中,已知平行于,,动点分别在线段上,且,则的最小值为 . ‎ 答案：‎ ‎(数量积标示为的函数)‎ 变式5、已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，则·的最小值为 ．‎ 答案：2－3‎ ‎ （利用向量数量积的定义解决）‎ 三、例题分析 例1 （1）已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝ ．‎ ‎（2）已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，︱a＋b︱＝5，则︱b︱＝ ．‎ 变式：平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝ ．‎ ‎（3）若平面向量a，b满足｜a＋b｜＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝ ．‎ ‎（4）在菱形ABCD中，若AC＝4，则•＝ ．‎ 答案：（1）（－ ，－ ）；（2）5；变式：2．（3）（－2，2）或（－2，0）；（4）－8．‎ ‎〖教学建议〗‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．坐标形式下，向量共线、向量垂直的充要条件．‎ ‎2．向量已知了坐标求模长，解决模长问题的基本方法将模长平方转化为数量积．‎ ‎3．第（4）小题的求解，可以是基底法还可以坐标法，基底法的难点选择基底；坐标法的难点是建立合适的直角坐标系．‎ 二、方法选择与优化建议：‎ ‎1．第（2）小题，方法1：设向量b的坐标，通过解方程组求解；方法2：直接对向量(a＋b)的模长平方求出答案．相对而言，方法2比较简单．‎ ‎2．第（3）小题，常规方法是设出向量b的坐标，通过解方程组求解．本题可以抓住向量a＋b的两要素，先求出向量a＋b的坐标，再求向量b的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质．‎ ‎3．第（4）小题解法1：基底法，选择和与垂直的为基底；解法2：以AC、BD为；两坐标轴建立直角坐标系．‎ 例2 （1）已知正△ABC的边长为1，＝7＋3，则·＝ ．‎ ‎（2）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2（λ1，λ2∈R），则λ1＋λ2的值为__________。‎ ‎（3）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D在斜边BC上，且CD＝2DB，则·的值为 ．‎ A B D C ‎（4）已知a，b是单位向量，a·b＝0．若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是 ．‎ 答案：（1）－2；（2）；（3）24；（4）[－1，＋1]．‎ ‎〖教学建议〗‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．三角形中研究边所在向量的数量积时，关注向量夹角的定义．‎ ‎2．将所要表示的向量放置在三角形中，利用向量加、减法的三角形法则，突出平面向量基本定理．‎ ‎3．可以关注一下向量数量积的几何意义（投影）．‎ ‎4．（4）求解的方法是画图或者建立直角坐标系用坐标法．‎ 二、方法选择与优化建议：‎ ‎1．第（3）小题的求解，坐标法优于基底法．从图形的结构上发现便于建系．‎ ‎2．由于向量a，b是两个相互垂直的单位向量，用坐标法解题通俗易懂．‎ 例3 （1） 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则＝ ．‎ ‎（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，＝，＝．若·＝－，‎ E B A C D 则·＝ ．‎ 答案：（1）4；（2）－．‎ ‎〖教学建议〗‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．一个向量用两个基底向量来表示，平面向量基本定理．‎ ‎2．解决这一类问题的基本方法为：（1）基底法；（2）坐标法．‎ 二、方法选择与优化建议：‎ ‎1．第（1）小题由于不容易用基底来表示，所以用坐标法优于基底法．‎ ‎2．第（2）小题不容易选择基底，而且运算过程复杂，建系则比较单一，所以用坐标法优于基底法．‎ 四、反馈练习(专题7：平面向量)‎ ‎1．已知向量，且，则 ； ‎ 答案：(考查向量平行).‎ ‎2．是两个向量，,且,则与的夹角为 ；‎ 答案：(考查向量垂直及向量夹角).‎ ‎3．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝，则a·b＋b·c＋c·a＝________.‎ 答案　－4(考查向量数量积，勾股定理逆定理).‎ ‎4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若·＝·＝1，那么c＝________.‎ 答案　(考查向量数量积，正余弦定理).‎ ‎5. 设向量向量与的夹角为钝角，则x的取值范围为 ．‎ 答案： (考查向量夹角).‎ ‎6.设向量，，其中，若，则 . ‎ 答案：(考查向量数量积，两角和与差的三角函数).‎ ‎7.如图是半径为3的圆的直径是圆上异于的一点 是线段上靠近的三等分点且则的值为 .‎ 答案：24(考查向量数量积).‎ ‎8. (2016江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，， ，则 的值是 . ‎ 答案： (考查向量数量积).‎ ‎9．已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．‎ 答案　3(考查向量数量积). ‎ ‎10．【2015上海】在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则 ．‎ 答案　－(考查向量数量积，角的变换). ‎ ‎11．已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝________.‎ 答案　(考查向量共线，数量积).‎ ‎12.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .‎ 答案 (考查向量共线，曲线公共点).‎ ‎13．【2015福建】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于 .‎ 答案(考查向量数量积).‎ ‎14．（2016上海）在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是 .‎ 答案(考查向量数量积).‎ ‎15．（2016四川）在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,﹒=﹒=﹒=-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是 .‎ 答案(考查向量数量积).‎ ‎16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a＋c)··＋c·＝0.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若b＝2，试求·的最小值．‎ 解　(1)因为(2a＋c)·＋c·＝0，‎ 所以(2a＋c)accos B＋abccos C＝0，‎ 即(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，‎ 所以(2sin A＋sin C)cos B＋sin Bcos C＝0，‎ 即2sin Acos B＋sin(B＋C)＝0，‎ 因为sin(B＋C)＝sin A≠0，‎ 所以cos B＝－，所以B＝.‎ ‎(2)因为b2＝a2＋c2－2accos，所以12＝a2＋c2＋ac≥3ac，即ac≤4，所以·＝accos＝－ac≥－2，当且仅当a＝c＝2时等号成立，所以·的最小值为－2. (考查向量数量积，三角).‎ ‎17．已知向量m＝，n＝.‎ ‎(1)若m⊥n，求cos 的值；‎ ‎(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的值域．‎ 解 (1)因为m⊥n，所以m·n＝0，‎ 即sincos＋cos2＝0，则 sin＋cos＋＝0，‎ 即sin＝－，‎ 则cos＝－，‎ 所以cos＝2cos2－1＝－.‎ ‎(2)由题意，得 f(x)＝m·n＝sin＋.‎ ‎∴f(A)＝sin＋.‎ 由(2a－c)cos B＝bcos C，及正弦定理得 ‎(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ ‎∴2sin Acos B－cos Bsin C＝sin Bcos C，‎ ‎∴2sin Acos B＝sin(B＋C)，‎ ‎∵A＋B＋C＝π，‎ ‎∴sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0，‎ ‎∴cos B＝，∴B＝，00)．‎ ‎(2)易知直线l的斜率必存在，‎ 故设其直线方程为y＝k(x＋2)，‎ 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，‎ 因为y′＝2x，故两切线的斜率分别为2x1、2x2.‎ 由方程组得x2－kx－2k＝0，‎ x1＋x2＝k，x1x2＝－2k.‎ 由l1⊥l2时，4x1x2＝－1，∴k＝.‎ ‎∴直线l的方程是y＝(x＋2). (考查向量数量积，曲线与方程).‎