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文档介绍
2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破:第八章 第3讲 直线、平面平行的判定与性质
[基础题组练] 1.(2020·河北衡水模拟一)已知m,n为两条不重合直线,α,β为两个不重合平面,下列条件中,α∥β的充分条件是( ) A.m∥n,mα,nβ B.m∥n,m⊥α,n⊥β C.m⊥n,m∥α,n∥β D.m⊥n,m⊥α,n⊥β 解析:选B.对于A,两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,这两个平面可能平行, 也可能相交,因此A中条件不是α∥β的充分条件;对于B,因为m∥n,m⊥α,所以n⊥α,结合n⊥β,知α∥β,因此B中条件是α∥β的充分条件;对于C,由m⊥n,m∥α知nα,或n∥α,或n与α相交,结合n∥β,知α,β可能平行,也可能相交,所以C中条件不是α∥β的充分条件;对于D,由m⊥n,m⊥α知nα,或n∥α,结合n⊥β,知α⊥β,所以D中条件不是α∥β的充分条件.综上可知.选B. 2.(2020·江西红色七校联考)设m,n是空间中两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是( ) A.若m∥n,nα,则m∥α B.若mα,nβ,α∥β,则m∥n C.若α∥β,m⊥α,则m⊥β D.若mα,nβ,m∥β,n∥α,则α∥β 解析:选C.若m∥n,nα,则m∥α或mα,所以选项A不正确;若mα,nβ,α∥β,则m∥n或m与n异面,所以选项B不正确;若mα,nβ,m∥β,n∥α,则α∥β或α与β相交,所以选项D不正确.故选C. 3.(2020·湖南长沙模拟)设a,b,c表示不同直线,α,β表示不同平面,下列命题: ①若a∥c,b∥c,则a∥b; ②若a∥b,b∥α,则a∥α; ③若a∥α,b∥α,则a∥b; ④若aα,bβ,α∥β,则a∥b. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选A.由题意,对于①,根据线线平行的传递性可知①是真命题;对于②,根据 a∥b,b∥α,可以推出a∥α或aα,故②是假命题;对于③,根据a∥α,b∥α,可以推出a与b平行,相交或异面,故③是假命题;对于④,根据aα,bβ,α∥β,可以推出a∥b或a与b异面,故④是假命题.所以真命题的个数是1.故选A. 4.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则( ) A.BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形 B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形 C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形 D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形 解析:选B.由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EF綊BD,又EF平面BCD,所以EF∥平面BCD.又H,G分别为BC,CD的中点,所以HG綊BD,所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形. 5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,给出下列四个推断: ①FG∥平面AA1D1D; ②EF∥平面BC1D1; ③FG∥平面BC1D1; ④平面EFG∥平面BC1D1. 其中推断正确的序号是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 解析:选A.因为在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,所以FG∥BC1,因为BC1∥AD1,所以FG∥AD1, 因为FG⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D,所以FG∥平面AA1D1D,故①正确; 因为EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,所以EF与平面BC1D1相交,故②错误; 因为E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点, 所以FG∥BC1,因为FG平面BC1D1,BC1平面BC1D1, 所以FG∥平面BC1D1,故③正确; 因为EF与平面BC1D1相交,所以平面EFG与平面BC1D1相交,故④错误.故选A. 6.在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________. 解析:如图,取CD的中点E,连接AE,BE, 则EM∶MA=1∶2, EN∶BN=1∶2, 所以MN∥AB. 因为AB平面ABD,MN平面ABD,AB平面ABC,MN平面ABC, 所以MN∥平面ABD,MN∥平面ABC. 答案:平面ABD与平面ABC 7.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________. 解析:因为EF∥平面AB1C,EF平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC, 所以EF∥AC,所以点F为DC的中点. 故EF=AC=. 答案: 8.如图所示,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是 BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M 只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况) 解析:连接HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD,FH∩HN=H,DD1∩BD=D, 所以平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,则MN平面FHN,所以MN∥平面B1BDD1. 答案:点M在线段FH上(或点M与点H重合) 9.在如图所示的一块木料中,棱BC平行于平面A′B′C′D′. (1)要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线? (2)所画的线与平面ABCD是什么位置关系?并证明你的结论. 解:(1)过点P作B′C′的平行线, 交A′B′,C′D′于点E,F, 连接BE,CF. 作图如下: (2)EF∥平面ABCD.理由如下: 因为BC∥平面A′B′C′D′, 又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′=B′C′, 所以BC∥B′C′,因为EF∥B′C′,所以EF∥BC, 又因为EF平面ABCD,BC平面ABCD, 所以EF∥平面ABCD. 10.如图所示,四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证: (1)BE∥平面DMF; (2)平面BDE∥平面MNG. 证明:(1)如图所示,设DF与GN交于点O,连接AE,则AE必过点O, 连接MO,则MO为△ABE的中位线, 所以BE∥MO. 因为BE平面DMF,MO平面DMF, 所以BE∥平面DMF. (2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点, 所以DE∥GN. 因为DE平面MNG,GN平面MNG, 所以DE∥平面MNG. 因为M为AB的中点, 所以MN为△ABD的中位线, 所以BD∥MN. 因为BD平面MNG,MN平面MNG, 所以BD∥平面MNG. 因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线, 所以平面BDE∥平面MNG. [综合题组练] 1.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题: ①没有水的部分始终呈棱柱形; ②水面EFGH所在四边形的面积为定值; ③棱A1D1始终与水面所在的平面平行; ④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值. 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选C.由题图,显然①是正确的,②是错的; 对于③因为A1D1∥BC,BC∥FG, 所以A1D1∥FG且A1D1平面EFGH, 所以A1D1∥平面EFGH(水面). 所以③是正确的; 因为水是定量的(定体积V). 所以S△BEF·BC=V, 即BE·BF·BC=V. 所以BE·BF=(定值),即④是正确的,故选C. 2.(2020·江西吉安一模)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1D1,A1B1的中点,过直线BD的平面α∥平面AMN,则平面α截该正方体所得截面的面积为( ) A. B. C. D. 解析:选B.如图1,取B1C1的中点E,C1D1的中点F,连接EF,BE,DF,B1D1,则EF∥B1D1,B1D1∥BD,所以EF∥BD,故EF,BD在同一平面内,连接ME,因为M,E 分别为A1D1,B1C1的中点,所以ME∥AB,且ME=AB,所以四边形ABEM是平行四边形,所以AM∥BE,又因为BE平面BDFE, AM平面BDFE, 所以AM∥平面BDFE,同理AN∥平面BDFE,因为AM∩AN=A, 所以平面AMN∥平面BDFE, BD=,EF=B1D1=,DF=BE=,等腰梯形BDFE如图2, 过E,F作BD的垂线,垂足分别为G,H,则四边形EFGH为矩形,所以FG===, 故所得截面的面积为××=,故选B. 3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在BD1上且BP=BD1.则以下四个说法: ①MN∥平面APC; ②C1Q∥平面APC; ③A,P,M三点共线; ④平面MNQ∥平面APC. 其中说法正确的是________(填序号). 解析: ①连接MN,AC,则MN∥AC,连接AM,CN, 易得AM,CN交于点P,即MN平面APC,所以MN∥平面APC是错误的; ②由①知M,N在平面APC上,由题易知AN∥C1Q,AN平面APC, 所以C1Q∥平面APC是正确的; ③由①知A,P,M三点共线是正确的; ④由①知MN平面APC, 又MN平面MNQ, 所以平面MNQ∥平面APC是错误的. 答案:②③ 4.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点P是棱AD上一点,且AP=,过B1,D1,P的平面交底面ABCD于PQ,Q在直线CD上,则PQ=________. 解析:因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD,而平面B1D1P∩平面ABCD=PQ,平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1, 所以B1D1∥PQ. 又因为B1D1∥BD,所以BD∥PQ, 设PQ∩AB=M,因为AB∥CD, 所以△APM∽△DPQ. 所以==2,即PQ=2PM. 又知△APM∽△ADB, 所以==, 所以PM=BD,又BD=a, 所以PQ=a. 答案:a 5.如图,在四棱锥PABCD的底面ABCD中,BC∥AD,且AD=2BC,O,E分别为AD,PD的中点. (1)设平面PAB∩平面PCD=l,请作图确定l的位置并说明你的理由; (2)若Q为直线CE上任意一点,证明:OQ∥平面PAB. 解:(1)分别延长AB和DC交于点R,连接PR,则直线PR就是l的位置; R∈AB平面PAB,R∈CD平面PCD, 所以P、R是平面PAB和平面PCD的两个公共点, 由公理1可知,过P、R的直线就是两个平面的交线l. (2)证明:连接OE、OC,因为BC∥AD,且BC=AD, 又AO=AD,所以BC∥AO, 且BC=AO,所以四边形ABCO为平行四边形, 所以OC∥AB,则OC∥平面PAB; 又OE为△PAD的中位线,则OE∥AP, 所以OE∥平面PAB, 又OE平面OEC,OC平面OEC,且OE∩OC=O, 所以平面PAB∥平面OEC, 又OQ平面OEC, 所以OQ∥平面PAB. 6.如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形. (1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1; (2)若平面ABCD∩平面B1D1C=直线l,证明B1D1∥l. 证明:(1)由题设知BB1綊DD1, 所以四边形BB1D1D是平行四边形, 所以BD∥B1D1. 又BD平面CD1B1, B1D1平面CD1B1, 所以BD∥平面CD1B1. 因为A1D1綊B1C1綊BC, 所以四边形A1BCD1是平行四边形, 所以A1B∥D1C. 又A1B平面CD1B1, D1C平面CD1B1, 所以A1B∥平面CD1B1. 又因为BD∩A1B=B, 所以平面A1BD∥平面CD1B1. (2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1, 又平面ABCD∩平面B1D1C=直线l, 平面ABCD∩平面A1BD=直线BD, 所以直线l∥直线BD, 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,四边形BDD1B1为平行四边形, 所以B1D1∥BD, 所以B1D1∥l.查看更多