【数学】吉林省长春市农安县实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试试卷

【数学】吉林省长春市农安县实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试试卷

吉林省长春市农安县实验中学2019-2020学年 高一下学期期末考试试 一、单选题 ‎1．点关于直线的对称点为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．不等式的解集是，则的值是( )‎ A．11 B． C． D．1‎ ‎3．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有　　 ‎ ‎，，，  ， ‎ ‎，，     ，‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3‎ ‎4．已知变量x，y满足约束条，则的最大值为　　‎ A．2 B．‎6 ‎C．8 D．11‎ ‎5．正项等比数列中，，，则的值是　　‎ A．4 B．‎8 ‎C．16 D．64‎ ‎6．已知直线，与平行，则的值是（　　）‎ A．0或1 B．1或 C．0或 D．‎ ‎7．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是（）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎8．在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（ ）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎9．点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是(　　)‎ A．(－3,4，－10) B．(－3,2，－4) C． D．(6，－5,11)‎ ‎10．如图，正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．下列命题中，不正确的是（ ）‎ A．在中，若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等边三角形 D．在中，若，则必是等腰三角形 ‎12．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．‎ ‎14．已知数列满足，，则数列的前n项和 ______ ．‎ ‎15．已知直线与圆相交于两点，点分别在圆上运动，且位于直线两侧，则四边形面积的最大值为_______________.‎ ‎16．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，‎ ‎，，则，两点的距离为________．‎ 三、解答题 ‎17．在数列中，，．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．‎ ‎18．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足， ‎ ‎1求C的大小；2若的面积为，求b的值．‎ ‎19．已知，．‎ 若，解不等式；‎ 若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；‎ 若，解不等式．‎ ‎20．如图，在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．‎ ‎（1）求证：AE⊥B‎1C；‎ ‎（2）求异面直线AE与A‎1C所成的角的大小；‎ ‎（3）若G为C‎1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．‎ ‎21．已知与曲线相切的直线，与轴，轴交于两点，为原点， ，，（ ）.‎ ‎（1）求证:与相切的条件是：.‎ ‎（2）求线段中点的轨迹方程；‎ ‎（3）求三角形面积的最小值.‎ ‎22．已知数列{an}满足a1＝1，，其中n∈N*．‎ ‎（1）设，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式．‎ ‎（2）设，数列{cncn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得对于n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明．‎ 参考答案 ‎1.B ‎【解析】设点关于直线的对称点为，则①，又线段的中点在直线上，即整理得：②，联立①②解得．∴点关于直线的对称点点的坐标为，故选B．‎ ‎2．C ‎【解析】不等式的解集是，， ∴方程的解集为2和3， ∴，解得 ； ． 故选C．‎ ‎3．B ‎【解析】由m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，若a，b相交，则可得α∥β，‎ 若a∥b，则α与β可能平行也可能相交，故（1）错误；‎ 若m∥n，n⊥α根据线面垂直的第二判定定理可得m⊥α，故（2）正确；‎ 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故（3）错误；‎ 若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故（4）错误；‎ 故选：B．‎ ‎4．D ‎【解析】作出变量x，y满足约束条件的可行域如图，‎ 由z=3x+y知，y=﹣3x+z，‎ 所以动直线y=﹣3x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．‎ 由 得A（3，2），‎ 结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，‎ 目标函数取得最大值z=3×3+2=11．‎ 故选：D．‎ ‎5．C ‎【解析】设正项等比数列{an}的公比为q，∵a3=2，a4•a6=64，‎ ‎∴ 解得q2=4，‎ 则=42=16．‎ 故选：C．‎ ‎6．C ‎【解析】由题意得：或，故选C.‎ ‎7．C ‎【解析】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，‎ 且b2+c2＝a2+bc．‎ 则：，‎ 由于：0＜A＜π，故：A．‎ 由于：sinBsinC＝sin‎2A，‎ 利用正弦定理得：bc＝a2，‎ 所以：b2+c2﹣2bc＝0，故：b＝c，‎ 所以：△ABC为等边三角形．‎ 故选C．‎ ‎8．B ‎【解析】根据题意可知，所求直线斜率存在，‎ 可设直线方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，‎ 所以，，‎ 解之得k＝0或，‎ 所以所求直线方程为y＝3或4x＋3y－5＝0，‎ 所以符合题意的直线有两条，选B.‎ ‎9．A ‎【解析】A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是 ‎，选A.‎ ‎10．C ‎【解析】过作，交于点，交于，则底面 平面，平面，‎ 平面平面，又平面 平面 又平面平面，平面 ‎ 为中点 为中点，则为中点 即在线段上 ‎，‎ ‎，‎ 则线段长度的取值范围为：‎ 本题正确选项：C. ‎ ‎11．D ‎【解析】对A，因为，所以，又，所以，‎ 即，所以A正确；‎ 对B，因为为锐角三角形，所以，即有，‎ 所以，B正确；‎ 对C，因为，所以，即，而，‎ 所以是等边三角形，C正确；‎ 对D，由可得，，即，‎ 所以或，亦即或，‎ 所以是等腰三角形或者直角三角形，D不正确．‎ 故选：D ‎12．A ‎【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示：‎ 截去的三棱锥是长方体的一个角，AB⊥AD，AD⊥AC，AC⊥AB，‎ 所以将三棱锥补成长方体，其外接球相同，外接球的直径为长方体的体对角线，半径为：，外接球的表面积为：‎ 故选A．‎ ‎13．（-4，2）‎ ‎【解析】因为 当且仅当时取等号，所以 ‎14．‎ ‎【解析】由a1=1，an+1=3an+1，‎ 可设an+1+t=3（an+t），‎ 即an+1=3an+2t，可得2t=1，即t=，‎ 则an+1+=3（an+），‎ 可得数列{an+}是首项为，公比为3的等比数列，‎ 即有an+=•3n﹣1，即an=•3n﹣1﹣，‎ 可得数列{an}的前n项和Sn=（1+3+32+…+3n﹣1）﹣n=（3n+1﹣2n﹣3）．‎ 故答案为：（3n+1﹣2n﹣3）．‎ ‎15．‎ ‎【解析】因为可变形为，‎ 所以其圆心为，半径为；‎ 所以圆心到直线的距离为.‎ 由题知，当为过圆心且垂直于的直径时，四边形的面积取最大值，‎ 为.‎ 故答案为.‎ ‎16．‎ ‎【解析】由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，‎ ‎∴∠DAC=15°由正弦定理得，‎ ‎△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC=30°，‎ 由正弦定理，，‎ 所以BC；‎ ‎△ABC中，由余弦定理，‎ AB2＝AC2+BC2﹣‎2AC•BC•cos∠ACB＝‎ 解得：AB，‎ 则两目标A，B间的距离为．‎ 故答案为．‎ ‎17．【解】（1）的两边同除以，得 ‎，又， ‎ 所以数列是首项为4，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)由（1）得，即,‎ 故，‎ 所以 ‎18．【解】1由已知及正弦定理可得，，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎2 由1可得，，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ 由题意可知，，‎ ‎，可得： ‎ ‎19．【解】当，不等式即，‎ 即，解得，或，‎ 故不等式的解集为，或．‎ 由题意可得恒成立，‎ 当时，显然不满足条件，．‎ 解得，故a的范围为．‎ 若，不等式为，即．‎ ‎，‎ 当时，，不等式的解集为；‎ 当时，，不等式即，它的解集为；‎ 当时，，不等式的解集为．‎ ‎20．【解】证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AE⊥BB1‎ 由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC ‎∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB‎1C1C∴AE⊥B‎1C 解：（2）取B‎1C1的中点E1，连A1E1，E‎1C，‎ 则AE∥A1E1，‎ ‎∴∠E‎1A1C是异面直线AE与A‎1C所成的角． ‎ 设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°，‎ 可得A1E1=AE=，A‎1C=2，E‎1C1=EC=BC=‎ ‎∴E‎1C==‎ ‎∵在△E‎1A1C中，cos∠E‎1A1C==‎ 所以异面直线AE与A‎1C所成的角为． ‎ ‎（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，‎ 连EP，EQ，则EP⊥AC 又∵平面ABC⊥平面ACC‎1A1‎ ‎∴EP⊥平面ACC‎1A1‎ 而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．‎ ‎∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．‎ 由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==‎ 所以二面角C-AG-E的平面角正切值是 ‎21．【解】(1)圆的圆心为，半径为1.可以看作是的内切圆．‎ 内切圆的半径，‎ 即，‎ 即，‎ ‎． ‎ ‎(2)线段AB中点为 ‎∴（）‎ ‎(3)，‎ ‎，‎ 解得，， ‎ ‎，最小面积．‎ ‎22．【解】（1）证明：bn+1-bn ‎ ‎．‎ 又由a1＝1，得b1＝2，所以数列{bn}是首项为2，公差为2的等差数列，‎ 所以bn＝2+(n-1)×2＝2n，由，得．‎ ‎（2）解：，‎ 所以．‎ 依题意，要使对于n∈N*恒成立，只需，解得m≥3或m≤-4．‎ 又m＞0，所以m≥3，所以正整数m的最小值为3．‎