【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系学案
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ0
Δ0
Δ0
几何观点
dr
dr
dr
2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
解析：选D 将圆C的方程化为标准方程得C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为＝＜2，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．
3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B ∵两圆心距离d＝＝，r1＋r2＝2＋3＝5，|r1－r2|＝1，∴|r1－r2|
0，
所以直线l与圆相交．
法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．
法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
[题型技法] 判断直线与圆的位置关系一般有两种方法
(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．
(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系．
[妙招] 由于本题中的直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，故可先判断该点与圆的位置关系，如果点在圆内，则一定相交；否则再利用常规方法求解．
(二)迁移考——已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围
2．(2018·湖南湘中名校联考)已知m＞0，n＞0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是________．
解析：因为m＞0，n＞0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1，所以＝1，即|m＋n|＝.两边平方并整理得mn＝m＋n＋1.
由基本不等式mn≤2可得m＋n＋1≤2，
即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，
解得m＋n≥2＋2.
当且仅当m＝n时等号成立．
答案：[2＋2，＋∞)
[题型技法] 已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围，就是利用d＝r，d>r或d4，∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，
解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝ ，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
[解题师说]
1．解题关键
正确判断点与圆的位置关系是求切线方程的关键一步．若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
2．解题方法
(1)求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．
(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程两方法
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
[注意] 当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况．(如典题领悟(2))
3．常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2；
(4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
[冲关演练]
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab
＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝ ＝.
2．(2018·湖南四地联考)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点(a，b)作圆的切线，则切线长的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选C 圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，
所以圆心为点(－1,2)，半径为.
因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，
所以圆心C在直线2ax＋by＋6＝0上，
所以－2a＋2b＋6＝0，
即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离
d＝＝
＝＝.
所以当a＝2时，d取最小值＝3，此时切线长最小，为＝＝4，所以选C.
[题点全练]
角度(一) 已知直线与圆的方程求圆的弦长
1．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A. B．1
C. D.
解析：选D 因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 ＝，所以弦长为.
[题型技法] 解决圆的弦长问题的2种方法
几何法
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．
特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；
当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|
角度(二) 已知圆的弦长求直线和圆的方程中的参数
2．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝( )
A．－ B．±
C．－ D．±
解析：选D 记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB|＝可知，圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是＝1，解得b＝±.
3．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝，因为|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a的距离d＝＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
答案：4π
[题型技法]
1．解题突破口
当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形是解决此类问题的突破口．
2．常用结论
当直线与圆相交时，讨论直线被圆截得的弦长问题是高考中常见的题型，此时要充分考虑与圆相关的平面几何知识的运用：(1)垂直于弦的直径平分这条弦；(2)圆心与弦的中点连线垂直于这条弦；(3)d2＋2＝r2.
3．常用方法
在研究与弦的中点有关的问题时，注意运用“点差法”，即
设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，由得k＝＝－＝－.该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题．
[题“根”探求]
求解与圆有关的弦长问题，其关键是建立半径、半弦、弦心距之间的关系，其解题流程为：
确定圆心⇒求圆心到直线的距离d建立方程r2＝d2＋2.
[冲关演练]
1．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )
A．2 B.
C. D.
解析：选A 依题意，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以＝，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝＝＝2.
2．若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝有且只有两个公共点，则m的取值范围是________．
解析：画出图象如图，当直线l经过点A，B时，m＝1，此时直线l与曲线y＝有两个公共点，当直线l与曲线相切时，m＝，因此当1≤m<
时，直线l：x＋y＝m与曲线y＝有且只有两个公共点．
答案：[1，)
3．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0,1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，
可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，
半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2 ＝3，
即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
圆与圆的位置关系是每年高考的重点，主要考查两圆位置关系的判断或已知两圆位置关系求参数，题型多为选择题，难度适中，属于中低档题.
[典题领悟]
已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，
圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，
两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，
|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|0，∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，
即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，
∴两圆相交．
法二：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则ax＋by＝r2与C的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．内含 D．相交
解析：选D 由已知a2＋b2>r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A．3 B.
C．2 D．2
解析：选D 圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为(0,1)，半径r＝1.由圆的性质，知S四边形PACB＝2S△PBC.∵四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值为1，则rdmin＝1(d是切线长)，∴dmin＝2.∵圆心到直线的距离就是PC的最小值，∴|PC|min＝＝＝.∵k>0，∴k＝2.故选D.
7．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦的长度为________．
解析：两圆的公共弦长即两圆交点间的距离，将两圆方程联立，可求得弦所在直线为2x＋y－15＝0，原点到该直线的距离为d＝＝3，则公共弦的长度为2＝2＝2.
答案：2
8．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围为________．
解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当∠BAC＝60°时，MA＝＝＝4.设A(x，6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2＝16，解得x＝1或x＝5，因此点A的横坐标的取值范围为[1,5]．
答案：[1,5]
9．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，
所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，
由AC⊥BC，可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，
故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，
由点到直线的距离公式可得＝，
解得a＝0或a＝6.
答案：0或6
10．在圆C：x2＋y2－2x－2y－7＝0上总有四个点到直线l：3x＋4y＋m＝0的距离是1，则实数m的取值范围是____________．
解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9.若圆上有四个点到直线3x＋4y＋m＝0的距离是1，则圆心到直线的距离小于2，即d＝<2，解得－170)，则解得所以圆的方程为(x＋2)2＋(y＋
3)2＝9.故选B.
2．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数t的最小值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选D 由∠APB＝90°得，点P在圆x2＋y2＝t2上，因此由两圆有交点得|t－1|≤|OC|≤t＋1⇒|t－1|≤2≤t＋1⇒1≤t≤3，即t的最小值为1.
3．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为( )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝
D．x2＋y2＝1或x2＋y2＝37
解析：选D 如图所示，因为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)．
∴过A，C的直线方程为＝，化为一般式为x＋2y－4＝0.点O到直线x＋2y－4＝0的距离d＝＝>1，
又|OA|＝＝，|OB|＝＝，|OC|＝＝.
∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径分别为1或，则圆的方程为x2＋y2＝1或x2＋y2＝37.
4．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.
解析：由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.
由|AB|＝2，得2＋()2＝12，
解得m＝－.
又直线l 的斜率为－m＝，
所以直线l的倾斜角α＝.
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.
答案：4
5．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0，即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．
答案：[－1,1]
6．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．
解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则＝.
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝.
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得＝1，解得k＝－，
∴直线l的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.
7．已知以点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
解：(1)证明：由题意知圆C过原点O，
∴半径r＝|OC|.
又∵|OC|2＝t2＋，
∴设圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋.
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，则A(2t,0)．
令x＝0，得y1＝0，y2＝，则B.
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝××|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，
∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝，
∴直线OC的方程为y＝x.
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，r＝|OC|＝，
此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，r＝|OC|＝，
此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，
圆C与直线y＝－2x＋4不相交．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
C级——重难题目自主选做
1．已知点G(5,4)，圆C1：(x－1)2＋(y－4)2＝25，过点G的动直线l与圆C1相交于E，F两点，线段EF的中点为C，且C在圆C2上．
(1)若直线mx＋ny－1＝0(mn>0)经过点G，求mn的最大值；
(2)求圆C2的方程；
(3)若过点A(1,0)的直线l1与圆C2相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M.l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，求证：|AM|·|AN|为定值．
解：(1)∵点G(5,4)在直线mx＋ny－1＝0上，∴5m＋4n＝1,5m＋4n≥2(当且仅当5m＝4n时取等号)，
∴1≥80mn，即mn≤，∴(mn)max＝.
(2)由已知得圆C1的圆心为(1,4)，半径为5，
设C(x，y)，则＝(x－1，y－4)，＝(5－x,4－y)，
由题设知·＝0，
∴(x－1)(5－x)＋(y－4)(4－y)＝0，
即(x－3)2＋(y－4)2＝4，
∴C2的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝4.
(3)证明：当直线l1的斜率不存在时，直线l1与圆C2相切，当直线l1的斜率为0时，直线l1与圆C2相离，故设直线l1的方程为kx－y－k＝0(k≠0)．
由直线l1与圆C2相交，得<2，解得k>.
由得N，
又直线C2M与l1垂直，
由得M，
∴|AM|·|AN|＝ · ＝··＝6(定值)．
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；
(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，
从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.
因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，
所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝.
因为|BC|＝|OA|＝＝2，
而MC2＝d2＋2，
所以25＝＋5，
解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝，
所以 ①
因为点Q在圆M上，
所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25. ②
将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.
于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，
从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，
所以5－5≤ ≤5＋5，
解得2－2≤t≤2＋2.
因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2 ]．
(二)重点高中适用作业
A级——保分题目巧做快做
1．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A 因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，
所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为，
因为直线l与圆C相切．
所以＝，解得k＝±1，
因为k＜0，所以k＝－1，
所以直线l的方程为x＋y－1＝0.
圆心D(2,0)到直线l的距离
d＝＝＜，
所以直线l与圆D相交．
2．直线y－1＝k(x－3)被圆(x－2)2＋(y－2)2＝4所截得的最短弦长等于( )
A. B．2
C．2 D.
解析：选C 直线y－1＝k(x－3)过定点M(3,1)，此点在圆内，圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的圆心为C(2,2)，半径为r＝2，弦长最短时，直线与CM垂直，|CM|＝＝，则最短弦长l＝2＝2＝2.故选C.
3．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
解析：选D 点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d＝＝1，化简得24k2＋50k＋24＝0，解得k＝－或－.
4．在平面直角坐标系内，过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，则△ABC面积的最大值是( )
A．2 B．4
C. D．2
解析：选A 过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，在y轴上所截得的线段长为d＝2×＝2，所以S△ABC＝×2×1＝.
②当直线的斜率存在时．设圆心到直线的距离为d，则所截得的弦长l＝2.所以S△ABC＝×2×d＝×≤＝2，当且仅当d＝时成立．所以△ABC面积的最大值为2.
5．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：选A 如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，
则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.
又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，
则|AC|·|BD|≤10，
∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|≤×10＝5，
当且仅当|AC|＝|BD|＝时等号成立，
∴四边形ABCD面积的最大值为5.故选A.
6．若圆B：x2＋y2＋b＝0与圆C：x2＋y2－6x＋8y＋16＝0没有公共点，则实数b的取值范围是________．
解析：圆B的圆心B(0,0)，半径R＝，圆C的圆心C(3，－4)，半径r＝3，根据两点间距离公式，得|BC|＝5.
由题意两圆相离或相内含，
当两圆相离时，有|BC|>R＋r，
即<2，解得－48，解得b<－64，
综上，实数b的取值范围为(－∞，－64)∪(－4,0)．
答案：(－∞，－64)∪(－4,0)
7．已知直线l1：x＋2y＝a＋2和直线l2：2x－y＝2a－1分别与圆(x－a)2＋(y－1)2＝16相交于A，B和C，D，则四边形ACBD的内切圆的面积为________．
解析：因为直线l1：x＋2y＝a＋2和直线l2：2x－y＝2a－1互相垂直且交于点(a,1)，而(a,1)恰好是圆(x－a)2＋(y－1)2＝16的圆心，所以四边形ACBD是边长为4的正方形，因此其内切圆半径是2，面积是8π.
答案：8π
8．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.
解析：由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.
由|AB|＝2，得2＋()2＝12，
解得m＝－.
又直线l 的斜率为－m＝，
所以直线l的倾斜角α＝.
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.
答案：4
9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．
解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则＝.
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝.
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得＝1，解得k＝－，
∴直线l的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.
10．已知以点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
解：(1)证明：由题意知圆C过原点O，
∴半径r＝|OC|.
又∵|OC|2＝t2＋，
∴设圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋.
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，则A(2t,0)．
令x＝0，得y1＝0，y2＝，则B.
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝××|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，
∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝，
∴直线OC的方程为y＝x.
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，r＝|OC|＝，
此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，r＝|OC|＝，
此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，
圆C与直线y＝－2x＋4不相交．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
B级——拔高题目稳做准做
1．已知直线3x＋4y－15＝0与圆O：x2＋y2＝25交于A，B两点，点C在圆O上，且S△ABC＝8，则满足条件的点C的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 圆心O到已知直线的距离为d＝＝3，
因此|AB|＝2＝8，
设点C到直线AB的距离为h，则S△ABC＝×8×h＝8，h＝2，由于d＋h＝3＋2＝5＝r(圆的半径)，
因此与直线AB距离为2的两条直线中一条与圆相切，一条与圆相交，故符合条件的点C有三个．
2．已知直线y＝x＋m和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，若·＝，则实数m的值为( )
A．±1 B．±
C．± D．±
解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)，由得，2x2＋2mx＋m2－1＝0，故Δ＝4m2－8(m2－1)＝8－4m2>0，－0)经过点G，求mn的最大值；
(2)求圆C2的方程；
(3)若过点A(1,0)的直线l1与圆C2相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M.l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，求证：|AM|·|AN|为定值．
解：(1)∵点G(5,4)在直线mx＋ny－1＝0上，∴5m＋4n＝1,5m＋4n≥2(当且仅当5m＝4n时取等号)，
∴1≥80mn，即mn≤，∴(mn)max＝.
(2)由已知得圆C1的圆心为(1,4)，半径为5，
设C(x，y)，则＝(x－1，y－4)，＝(5－x,4－y)，
由题设知·＝0，
∴(x－1)(5－x)＋(y－4)(4－y)＝0，
即(x－3)2＋(y－4)2＝4，
∴C2的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝4.
(3)证明：当直线l1的斜率不存在时，直线l1与圆C2相切，当直线l1的斜率为0时，直线l1与圆C2相离，故设直线l1的方程为kx－y－k＝0(k≠0)．
由直线l1与圆C2相交，得<2，解得k>.
由得N，
又直线C2M与l1垂直，
由得M，
∴|AM|·|AN|＝ · ＝
··＝6(定值)．
