数学理卷·2017届湖南省娄底市高三上学期期末教学质量检测（2017

数学理卷·2017届湖南省娄底市高三上学期期末教学质量检测（2017

‎】娄底市2016年下学期高三年级教学质量检测 数学（理科）试题卷 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.设复数，其中i是虚数单位，则的模为 A. B. C. D. 1‎ ‎2.下列说法正确的是 ‎ A. “若，则”的否命题是“若，则” ‎ ‎ B. 在中，“” 是“”必要不充分条件 ‎ C. “若，则”是真命题 ‎ D.使得成立 ‎3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果 ‎ A. 4 B. 5 C. 2 D. 3‎ ‎4.下列四个图中，函数的图象可能是 ‎5.设实数满足，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S为（注：圆台侧面积公式为）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知函数的图象关于直线对称，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知函数是定义在上的偶函数,为奇函数，,当时，，则在区间内满足方程的实数为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1,）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是 ‎ A. 12 B. 13 C. 15 D. 16‎ ‎12.已知函数在处取得最大值，以下各式中：①②③④⑤‎ 正确的序号是 ‎ A. ②④ B. ②⑤ C. ①④ D. ③⑤‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.设函数，则满足的取值范围为 .‎ ‎14.多项式的展开式中的系数为 .（用数字作答）‎ ‎15.有一个电动玩具，它有一个的长方形（单位：cm）和一个半径为1cm的小圆盘（盘中娃娃脸），他们的连接点为A,E,打开电源，小圆盘沿着长方形内壁，从点A出发不停地滚动（无滑动），如图所示，若此时某人向该长方形盘投掷一枚飞镖，则能射中小圆盘运行区域内的概率为 .‎ ‎16.设数列满足，且，若表示不超过的最大整数，则 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 已知函数 ‎ （1）若关于的方程只有一个实数解，求实数a的取值范围；‎ ‎ （2）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ ‎ 函数的部分图像如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.‎ ‎ （1）求函数的解析式；‎ ‎ （2）在中，角A,B,C满足，且其外接圆的半径R=2，求的面积的最大值.‎ ‎19.（本题满分12分）‎ ‎ 已知数列的前项和，n为正整数.‎ ‎ （1）令，求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎ （2）令，求.‎ ‎20.（本题满分12分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如下表：‎ 从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一个月的用水量，得到右边的茎叶图： ‎ ‎（1）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和数学期望；‎ ‎ （2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n户月用水用量为第二阶梯水量的可能性最大，求出n的值.‎ ‎21.（本题满分12分）如图，在各棱长均为2的三棱柱中，侧面底面，‎ ‎ （1）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；‎ ‎ （2）已知点D满足，在直线上是否存在点P,使DP//平面？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由.‎ ‎22.（本题满分12分）已知函数在定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎ （1）求实数a的取值范围；‎ ‎ （2）记两个极值点为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围.‎ www.ks5u.com【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 一、选择题 1-12 DCACB DBDDB CA 二、填空题： 13. 14. -6480 15. 16.2016 ‎ 三：解答题 17.解：（Ⅰ）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，∴a＜0．…………5分 ‎（Ⅱ）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，‎ ‎①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；‎ ‎②当x≠1时，（*）可变形为a≤，‎ 令φ（x）==‎ 因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．‎ 综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…………10分 ‎ 18.（Ⅰ）由图知，解得 ‎∵‎ ‎∴，即 由于，因此……………………3分 ‎∴‎ ‎∴‎ 即函数的解析式为………………6分 ‎（Ⅱ）∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎，即，所以或1（舍），……8分 由正弦定理得，解得 由余弦定理得 ‎∴，（当且仅当a=b等号成立）‎ ‎∴‎ ‎∴的面积最大值为.……………………12分 ‎19.解：（I）在中，令n=1，可得，即 当时，，‎ ‎.‎ 又数列是首项和公差均为1的等差数列.‎ 于是.……6分 ‎(II)由（I）得，所以 由①-②得 ‎……12分 ‎20.解：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，‎ 三阶的有2户。‎ 第二阶梯水量的户数X的可能取值为0,1,2,3 ………………1分 ‎，‎ ‎，‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎………………………5分 EX=……………………………6分 ‎(2)设Y为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得Y～B,‎ 所以，其中………………8分 设 …………………10分 若，则，；‎ 若，则，。‎ 所以当或，可能最大，‎ 所以的取值为6。………………12分 ‎21.解：（1)∵侧面底面，作于点，∴平面．‎ 又，且各棱长都相等，‎ ‎∴，，．…2分 故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎，，，，‎ ‎∴，，．……4分 设平面的法向量为，‎ 则 ,解得．由． ‎ 而侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角，‎ ‎∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为…………………6分 ‎（2）∵，而 ‎∴又∵，∴点的坐标为． ‎ 假设存在点符合题意，则点的坐标可设为，∴．‎ ‎∵，为平面的法向量，‎ ‎∴由，得． ……………10分 又平面，故存在点，使，其坐标为，‎ 即恰好为点．………12分 ‎22.解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根； 即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根； （解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点， 如右图． 可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k． 令切点A（x0，lnx0）， 故，又，故，解得，x0=e， 故， 故．……4分 ‎（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点． 又， 即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0， 故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减． 故g（x）极大=g（e）=； 又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0， ‎ 故g（x）的草图如右图， 可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点， 只须． ……4分 ‎（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点， 而（x＞0）， 若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增， 此时g（x）不可能有两个不同零点． 若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0， 所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=， 又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞， 于是只须：g（x）极大＞0，即，所以． 综上所述，． ……4分 ‎（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2． 由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根， 即lnx1=ax1，lnx2=ax2 所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2， 所以原式等价于． 又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即． ‎ 所以原式等价于， 因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立． 令，t∈（0，1）， 则不等式在t∈（0，1）上恒成立． ……8分 令， 又=， 当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0， 所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意． 当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0， 所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0， 所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1． …12分