江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学（文）试题

江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学（文）试题

— 文科数学（摸底）第 1页(共 8 页) — 2020 届高三摸底测试卷 文科数学 本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改 动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一．选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1．已知集合 3{ | 0}, { | 2 }1 xM x N x y xx      ，则 ( )M N R Ið A. (1,2] B. [1,2] C. (2,3] D. [2,3] 2．复数 z 满足1 i 1 iz    ，则| |z  A. 2i B. 2 C.i D.1 3．已知平面 内一条直线l 及平面  ，则“l  ”是“  ”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4．如图是某光纤电缆的截面图，其构成为七个大小相同的小圆 外切，且外侧六个小圆与大圆内切，现从大圆内任取一点，恰好 在小圆内的概率为 A. 7 9 B. 7 8 C. 2π 7 D. 7π 27 5．已知一组样本数据点 1 1 2 2 3 3 6 6( , ),( , ),( , ), ,( , )x y x y x y x y ，用最小二乘法求得其线性回归方程 为  2 4y x   .若 1 2 3 6, , , ,x x x x 的平均数为1，则 1 2 3 6y y y y     A.10 B.12 C.13 D.14 6．公比不为1的等比数列{ }na 中，若 1 5 m na a a a ，则 mn 不可能．．．为 A.5 B. 6 C.8 D.9 — 文科数学（摸底）第 2页(共 8 页) — 7．已知二元一次不等式组 2 0, 2 0 2 2 0 x y x y x y            表示的平面区域为 D ，命题 p ：点 (0,1) 在区域 D 内； 命题 q ：点 (1,1) 在区域 D 内. 则下列命题中，真命题是 A. p q B. ( )p q  C. ( )p q  D. ( ) ( )p q   8．已知 ABC 中， 4, 3AB AC  ， 3A   ， BC 的中点为 M ，则 AM AB  等于 A.15 2 B.11 C.12 D.15 9．已知圆 2 2: 10 21 0C x y y    与双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的渐近线相切，则该双曲 线的离心率是 A. 2 B. 5 3 C. 5 2 D. 5 10．已知正实数 ,a b 满足 2 1( ) log2 a a ， 2 1( ) log3 b b ，则 A. 1a b  B.1 b a  C. 1b a  D.1 a b  11．自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合 表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制．二进制以 2 为基数，只用 0 和1两个数 表示数，逢 2 进1，二进制数与十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如 10(521)  9 8 7 61 2 0 2 0 2 0 2       5 4 3 2 1 00 2 0 2 1 2 0 2 0 2 1 2             2(1000001001) ． 我国数学史上，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘 法口决： 8 8(7 7) (61)  ， 8 8(7 6) (52)  ， 8 8(7 5) (43)  ，，则八进制下 8(6 5) 等于 A. 8(36) B. 8(37) C. 8(40) D. 8(41) 12．若函数 ( ) ( 1)e xf x x ax   （ e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 A. 1( ,0)e  B. ( ,0) C. 1( , )e   D. (0, ) 二．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分. 13．已知 1sin 5   ，则 cos2 等于 ． 14．已知定义在 R 上的偶函数 ( )f x 满足 (2 ) ( ) 0f x f x   ， (0) 3f  ，则 (10)f 等于 ． 15．已知一个圆锥的轴截面是斜边长为 2 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 ． 16．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 33  nn Sa ，若对于任意 MSSNnm nm   ,, 恒成立， 则实数 M 的最小值为_______． — 文科数学（摸底）第 3页(共 8 页) — 三．解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17  21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17．(12 分)已知锐角 ABC 的内角 , ,A B C 的所对边分别为 , ,a b c ，其中 2 3c  ， 2sin(2 ) 33C   . （Ⅰ）若 2 2a  ，求角 A ； （Ⅱ）求 ABC 面积的最大值． — 文科数学（摸底）第 4页(共 8 页) — 18．(12 分)如图，已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，AB AC ， 1 2AB AC AA   ，E 是 BC 的中点， F 是 1A E 上一点，且 1 2A F FE . （Ⅰ）证明： AF  平面 1A BC ； （Ⅱ）求三棱锥 1 1C A FC 的体积． — 文科数学（摸底）第 5页(共 8 页) — 19．(12 分)某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一 等奖学金、专业二等奖学金及专业三等奖学金，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次. 图（1）是统计了该校 2018 年500 名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这500 名学生在 2018 年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图． （Ⅰ）求这500 名学生中获得专业三等奖学金的人数； （Ⅱ）若周课外平均学习时间超过 35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列 2 2 联表并判断是否有 99.9% 的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型” 学生有关？ 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d       0P k k 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 0k 2.71 3.84 6.64 7.88 10.83 — 文科数学（摸底）第 6页(共 8 页) — 20．(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知    1,2 , 1,0Q F ，动点 P 满足| | | |PQ OF PF    . （Ⅰ）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （Ⅱ）过点 F 的直线与 E 交于 ,A B 两点，记直线 ,QA QB 的斜率分别为 1 2,k k ，求证： 1 2k k 为 定值． — 文科数学（摸底）第 7页(共 8 页) — 21．(12 分)已知函数 ( ) exf x x a  （ Ra ， e 为自然对数的底数）， 21( ) ( 1)2g x x  ． （Ⅰ）若直线 1y x  是函数 ( )f x 图像的一条切线，求 a 的值； （Ⅱ）对于任意 3( , )2x   ， ( ) ( )f x g x 恒成立，求 a 的取值范围． — 文科数学（摸底）第 8页(共 8 页) — （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程] (10 分) 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 2cos , 2sin x y      （ [0,2 ),   为参数），在同一平面 直角坐标系中，经过伸缩变换 ' 2 , ' x x y y    得到曲线 1C ，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系（  为极径， 为极角）． （Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程和曲线 1C 的极坐标方程； （Ⅱ）若射线  : 0OA     与曲线 1C 交于点 A ，射线  : 02OB      与曲线 1C 交 于点 B ，求 2 2 1 1 OA OB  的值． 23．[选修 4—5：不等式选讲] (10 分) 已知函数 2 1( ) | | | 1| ( 0)af x x x aa      ， ( ) 4 | 1|g x x   ． （Ⅰ）当 1a  时，求不等式   3f x  的解集； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 ( ) ( )f x g x 的解集包含 1,2 ，求 a 的取值集合．