北京市丰台区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 含解析

北京市丰台区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 含解析

丰台区2018—2019学年度第二学期期末练习 2019.07‎ 高一数学 第一部分 （选择题 共40分） ‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1.某学校A，B，C三个社团分别有学生人，人，人，若采用分层抽样的方法从三个社团中共抽取人参加某项活动，则从A社团中应抽取的学生人数为（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 分层抽样每部分占比一样，通过A，B，C三个社团为，易得A中的人数。‎ ‎【详解】A，B，C三个社团人数比为，所以12中A有人，B有人，C有人。‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查分层抽样原理，根据抽样前后每部分占比一样求解即可，属于简单题目。‎ ‎2.直线的倾斜角是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求斜率，即倾斜角的正切值，易得。‎ ‎【详解】，可知，即，‎ 故选：B ‎【点睛】一般直线方程求倾斜角将直线转换为斜截式直线方程易得斜率，然后再根据直线的斜率等于倾斜角的正切值易得倾斜角，属于简单题目。‎ ‎3.在△中，已知，，，则△的面积等于( )‎ A. 6 B. ‎12 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过A角的面积公式,代入数据易得面积。‎ ‎【详解】‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查三角形的面积公式，代入数据即可，属于简单题目。‎ ‎4.以点为圆心，且经过点的圆的方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过圆心设圆的标准方程，代入点即可。‎ ‎【详解】设圆的方程为：，又经过点，所以，即，所以圆的方程：。‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查圆的标准方程，记住标准方程的一般设法，代入数据即可求解，属于简单题目。‎ ‎5.在区间随机取一个实数，则的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用几何概型的定义区间长度之比可得答案，在区间的占比为，所以概率为。‎ ‎【详解】因为的长度为3，在区间的长度为9，所以概率为。‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查几何概型，概率即是在部分占总体的占比，属于简单题目。‎ ‎6.若直线：与直线：平行，则的值为( )‎ A. -1 B. ‎0 ‎C. 1 D. -1或1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两直线平行表示两直线斜率相等，写出斜率即可算出答案。‎ ‎【详解】显然，‎ ‎，。所以，解得，又时两直线重合，所以。‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查直线平行表示直线斜率相等，属于简单题。‎ ‎ ‎ ‎7.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知易得圆柱的高为，底面圆周长为，求出半径进而求得底面圆半径即可求出圆柱体积。‎ ‎【详解】底面圆周长， ，‎ 所以 故选：A ‎【点睛】此题考查圆柱的侧面展开为长方形，长为底面圆周长，宽为圆柱高，属于简单题目。‎ ‎8.已知两条直线，，两个平面，，下面说法正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 满足每个选项的条件时能否找到反例推翻结论即可。‎ ‎【详解】A：当m, n中至少有一条垂直交线才满足。‎ B：很明显m, n还可以异面直线不平行。‎ C: 只有当m垂直交线时，否则不成立。‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查直线和平面位置关系，一般通过反例排除法即可解决，属于较易题目。‎ ‎9.如果将直角三角形的三边都增加1个单位长度，那么新三角形( )‎ A. 一定锐角三角形 B. 一定是钝角三角形 C. 一定是直角三角形 D. 形状无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直角三角形满足勾股定理，，再比较，，大小关系即可。‎ ‎【详解】设直角三角形满足，‎ 则，‎ 又为新三角形最长边，所以 所以最大角为锐角，所以三角形为锐角三角形。‎ 故选：A ‎【点睛】判断三角形形状一般可通过余弦定理判断，若有一角的余弦值小于零则为钝角三角形，等于零则为直角三角形，最大角的余弦值大于零则为锐角三角形，属于较易题目。‎ ‎10.在正方体中，当点在线段（与，不重合）上运动时，总有：‎ ‎①； ②平面平面；③平面； ④．‎ 以上四个推断中正确的是( )‎ A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 每个结论可以通过是否能证伪排除即可。‎ ‎【详解】①因为，与相交，所以①错。‎ ‎②很明显不对，只有当E在中点时才满足条件。‎ ‎③易得平面平面，而AE平面，所以平面；‎ ‎④因为平面，而AE平面，所以。‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查空间图像位置关系，一般通过特殊位置排除即可，属于较易题目。‎ 第二部分 （非选择题 共60分）‎ 二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．‎ ‎11.如果事件A与事件B互斥，且，，则＝ ．‎ ‎【答案】0.5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表示事件A与事件B满足其中之一占整体的占比。所以根据互斥事件概率公式求解。‎ 详解】‎ ‎【点睛】此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单题目。‎ ‎12.过点，且与直线垂直的直线方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线垂直表示斜率乘积为-1，所以可得新直线斜率，代入点即可。‎ ‎【详解】直线的斜率等于-1，所以与之垂直直线斜率，再通过点斜式直线方程：，即。‎ ‎【点睛】此题考查直线垂直，直线垂直表示两直线斜率之积为-1，属于简单题目。‎ ‎13.某幼儿园对儿童记忆能力的量化评价值和识图能力的量化评价值进行统计分析，得到如下数据：‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 由表中数据，求得回归直线方程中的，则 ．‎ ‎【答案】-0.1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出和的均值，代入线性回归方程即可。‎ ‎【详解】由表中数据易得，，由在直线方程上，可得 ‎【点睛】此题考查线性回归方程形式，表示在回归直线上代入即可，属于简单题目。‎ ‎14.某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥最长棱的棱长为 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过拔高法还原三视图为一个四棱锥，再根据图像找到最长棱计算即可。‎ ‎【详解】根据拔高法还原三视图，可得斜棱长最长，所以斜棱长为。‎ ‎【点睛】此题考查简单三视图还原，关键点通过拔高法将三视图还原易求解，属于较易题目。‎ ‎15.如图，海岸线上有相距海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西，与A相距海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西方向，与B相距海里的C处，此时乙船与灯塔A之间的距离为 海里，两艘轮船之间的距离为 海里．‎ ‎【答案】5,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 为等边三角形，所以算出，,再在中根据余弦定理易得CD的长。‎ ‎【详解】因为为等边三角形，所以。‎ 在中根据余弦定理 解得。‎ ‎【点睛】此题考查余弦定理的实际应用，关键点通过已知条件转换为数学模型再通过余弦定理求解即可，属于较易题目。‎ ‎16.已知点，若圆上存在点使得，则的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用参数方程假设点坐标，表示出和，利用可得到，从而求得的最大值.‎ ‎【详解】设 ‎ ‎ 当时取等号 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查圆中参数范围求解的问题，关键是能够利用圆的参数方程，利用向量数量积及三角函数关系求得最值.‎ 三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎17.在△中，，，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）求的大小．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）通过正弦定理易得，代入即可。（Ⅱ）三边长知道通过余弦定理即可求得的大小。‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为，所以由正弦定理可得．因为 ‎， ‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理 ．‎ ‎ 因为三角形内角，所以．‎ ‎【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理，记住公式很容易求解，属于简单题目。‎ ‎18.为了评估A，B两家快递公司的服务质量，从两家公司的客户中各随机抽取100名客户作为样本，进行服务质量满意度调查，将A，B两公司的调查得分分别绘制成频率分布表和频率分布直方图．规定分以下为对该公司服务质量不满意．‎ 分组 频数 频率 ‎0.4‎ 合计 ‎（Ⅰ）求样本中对B公司的服务质量不满意的客户人数； ‎ ‎（Ⅱ）现从样本对A，B两个公司服务质量不满意的客户中，随机抽取2名进行走访，求这两名客户都来自于B公司的概率； ‎ ‎（Ⅲ）根据样本数据，试对两个公司的服务质量进行评价，并阐述理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）3人；（Ⅱ）0.3；（Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）对B公司的服务质量不满意的频率为，即概率为0.03，易求解。（Ⅱ）共有5名客服不满意，将每种情况都列出来即可算出全来自于B公司的概率。‎ ‎（Ⅲ）可通过频率对比，服务质量得分的众数，服务质量得70分（或80分）以上的频率几个方面进行对比。‎ ‎【详解】（Ⅰ）样本中对B公司的服务质量不满意的频率为，‎ ‎ 所以样本中对B公司的服务质量不满意的客户有人． ‎ ‎（Ⅱ）设“这两名客户都来自于B公司”为事件M． ‎ 对A公司的服务质量不满意的客户有2人，分别记为，；‎ 对B公司的服务质量不满意的客户有3人，分别记为，，．‎ 现从这5名客户中随机抽取2名客户，不同的抽取的方法有，，，，‎ ‎，，，，，共10个； ‎ 其中都来自于B公司的抽取方法有，，共3个，‎ 所以． 所以这两名客户都来自于B公司的概率为． ‎ ‎（Ⅲ）答案一：由样本数据可以估计客户对A公司的服务质量不满意的频率比对B公司服务质量不满意的频率小，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量好． ‎ 答案二：由样本数据可以估计A公司的服务质量得分的众数与B公司服务质量得分的众数相同，由此推断A公司的服务质量与B公司的服务质量相同．‎ 答案三：由样本数据可以估计A公司的服务质量得70分（或80分）以上的频率比B公司得70分（或80分）以上的频率小，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量差．‎ 答案四：由样本数据可以估计A公司的服务质量得分的平均分比B公司服务质量得分的平均分低，由此推断A公司的服务质量比B公司的服务质量差．‎ ‎【点睛】此题考查概率，关键理解清楚频率分布表和频率分布直方图表示的含有，简单数据可通过列表法求概率或者可以组合数求解，属于较易题目。‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面平面，，且，． ‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，求证：平面．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）线线垂直先求线面垂直，即平面，进而可得；‎ ‎（Ⅱ）连接D与PC的中点F，只需证明即可。‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为，所以．‎ 因为平面平面，且平面平面，所以平面． ‎ 因为平面，所以． ‎ ‎（Ⅱ）证明：取中点，连接，． 因为为中点，‎ 所以，且． 因为，且，‎ 所以，且，所以四边形为平行四边形． 所以．‎ 因为平面，平面，所以平面． ‎ ‎【点睛】此题考查立体几何证明，线线垂直一般通过线面垂直证明，线面平行只需在面内找到一个线与已知线平行即可，题目中出现中点一般也要在找其他中点连接，属于较易题目。‎ ‎20.已知圆：．‎ ‎（Ⅰ）求过点的圆的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆与轴相交于，两点，点为圆上异于，任意一点，直线，分别与直线交于，两点．‎ ‎（ⅰ）当点的坐标为时，求以为直径的圆的圆心坐标及半径；‎ ‎（ⅱ）当点在圆上运动时，以为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）（ⅰ）圆心为，半径；（ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先判断在圆外， 所以圆过点的切线有两条．再由斜率是否存在分别讨论。（Ⅱ）（ⅰ）设直线PA和PB把其与直线交于，两点表示出来，写出圆的方程化简即可。（ⅱ）先求出以为直径的圆被轴截得的弦长，在设出PA和PB的直线方程，分别求出与直线的交点，求出圆心，再根据勾股定理易求解。‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为点在圆外， 所以圆过点的切线有两条． ‎ 当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足条件． ‎ 当直线的斜率存在时，可设为，即． ‎ ‎ 由圆心到切线的距离，解得． 此时切线方程为． ‎ 综上，圆的切线方程为或．‎ ‎（Ⅱ）因为圆与轴相交于，两点，所以，．‎ ‎（ⅰ）当点坐标为时，直线的斜率为，直线的方程为．‎ 直线与直线的交点坐标为 ， ‎ 同理直线的斜率为，直线的方程为． ‎ 直线与直线的交点坐标为． 所以以为直径的圆的圆心为，半径．‎ ‎（ⅱ）以为直径的圆被轴截得的弦长为定值． ‎ 设点，则．‎ 直线的斜率为，直线的方程为．‎ 直线与直线的交点坐标为．‎ 同理直线的斜率为，直线的方程为．‎ 直线与直线的交点坐标为．‎ 所以圆的圆心，半径为．‎ 方法一：圆被轴截得的弦长为 ‎．‎ 所以以为直径的圆被轴截得的弦长为定值． ‎ 方法二：圆的方程为．‎ 令，解得． ‎ 所以．‎ 所以圆与轴的交点坐标分别为，．‎ 所以以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．‎ ‎【点睛】此题考查解析几何中关于圆的题目，一般做法是设而不求，将需要的信息表示出来再化简求值，属于一般性题目。‎ ‎ ‎