2019届二轮复习(文)2-2-4-2应用导数求参数的值或参数的范围课件（43张）

2019届二轮复习(文)2-2-4-2应用导数求参数的值或参数的范围课件（43张）

2.4.2 　应用导数求参数的值或参数的范围 - 2 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 求参数的值 例 1 (2018 全国卷 2, 理 21) 已知函数 f ( x ) = e x -ax 2 . (1) 若 a= 1, 证明 : 当 x ≥ 0 时 , f ( x ) ≥ 1; (2) 若 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 只有一个零点 , 求 a. 解 : (1) 当 a= 1 时 , f ( x ) ≥ 1 等价于 ( x 2 + 1)e -x - 1 ≤ 0 . 设函数 g ( x ) = ( x 2 + 1)e -x - 1, 则 g' ( x ) =- ( x 2 - 2 x+ 1)e -x =- ( x- 1) 2 e -x . 当 x ≠1 时 , g' ( x ) < 0, 所以 g ( x ) 在 (0, +∞ ) 单调递减 . 而 g (0) = 0, 故当 x ≥ 0 时 , g ( x ) ≤ 0, 即 f ( x ) ≥ 1 . - 3 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 ( 2) 设函数 h ( x ) = 1 -ax 2 e -x . f ( x ) 在 (0, +∞ ) 只有一个零点当且仅当 h ( x ) 在 (0, +∞ ) 只有一个零点 . ( ⅰ ) 当 a ≤ 0 时 , h ( x ) > 0, h ( x ) 没有零点 ;( ⅱ ) 当 a> 0 时 , h' ( x ) =ax ( x- 2)e -x . 当 x ∈ (0,2) 时 , h' ( x ) < 0; 当 x ∈ (2, +∞ ) 时 , h' ( x ) > 0 . 所以 h ( x ) 在 (0,2) 单 - 4 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得 求参数的值 , 方法因题而异 , 需要根据具体题目具体分析 , 将题目条件进行合理的等价转化 , 在转化过程中 , 构造新的函数 , 在研究函数中往往需要利用对导数的方法确定函数的单调性 . - 5 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练 1 (2018 辽宁凌源一模 , 文 21 节选 ) 已知函数 f ( x ) =x e x . (1) 略 ; (2) 若直线 y=x+ 2 与曲线 y=f ( x ) 的交点的横坐标为 t , 且 t ∈ [ m , m+ 1], 求整数 m 所有可能的值 . - 6 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 已知函数有极值求参数范围 例 2 (2018 山西吕梁一模 , 理 21) 已知函数 f ( x ) = - a ( x- ln x ) . (1) 当 a ≤ 0 时 , 试求 f ( x ) 的单调区间 ; (2) 若 f ( x ) 在 (0,1) 内有极值 , 试求 a 的取值范围 . 当 a ≤ 0 时 , 对于 ∀ x ∈ (0, +∞ ),e x -ax> 0 恒成立 , ∴ f' ( x ) > 0 ⇒ x> 1, f' ( x ) < 0 ⇒ 0 0, H (1) = e -a< 0, 所以 H ( x ) = e x -ax 在 x ∈ (0,1) 有唯一解 x 0 . 所以有 : 所以当 a> e 时 , f ( x ) 在 (0,1) 内有极值且唯一 . 当 a ≤ e 时 , 当 x ∈ (0,1) 时 , f' ( x ) ≥ 0 恒成立 , f ( x ) 单调递增 , f ( x ) 在 (0,1) 内无极值 . 综上 , a 的取值范围为 (e, +∞ ) . - 9 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得 f' ( x ) = 0 是 f ( x ) 有极值的必要不充分条件 , 例如函数 f ( x ) =x 3 , f' ( x ) = 3 x 2 , f' (0) = 0, 但 x= 0 不是函数 f ( x ) =x 3 的极值点 . 所以本例 f ( x ) 在 (0,1) 内有极值 , 则 f' ( x ) = 0 有解 , 由此得出 a 的范围 , 还必须由 a 的范围验证 f ( x ) 在 (0,1) 内有极值 . - 10 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练 2 (2018 北京丰台一模 , 理 20 节选 ) 已知函数 f ( x ) = e x -a (ln x+ 1)( a ∈ R ) . (1) 略 ; (2) 若函数 y=f ( x ) 在 上 有极值 , 求 a 的取值范围 . - 11 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 12 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 在函数不等式恒成立中求参数范围 例 3 设函数 f ( x ) = ln( x+ 1) +a ( x 2 -x ) . (1) 略 ; (2) 若 ∀ x> 0, f ( x ) ≥ 0 成立 , 求 a 的取值范围 . - 13 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 : (1) 略 . (2) ∵ f ( x ) = ln( x+ 1) +a ( x 2 -x ), 令 g ( x ) = 2 ax 2 +ax+ 1 -a ( x> 0), 当 a= 0 时 , g ( x ) = 1, 则 f' ( x ) > 0 在 (0, +∞ ) 上恒成立 , 则 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上单调递增 , ∵ f (0) = 0, ∴ x ∈ (0, +∞ ) 时 , f ( x ) > 0, 符合题意 . 当 a> 0 时 , 由 Δ=a (9 a- 8) ≤ 0, 得 0 0, 符合题意 . - 14 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 15 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 又 f (0) = 0, ∴ x ∈ (0, +∞ ) 时 , f ( x ) > 0, 符合题意 . 当 a> 1 时 , 由 g (0) = 1 -a< 0, 可得 x 2 > 0, ∴ x ∈ (0, x 2 ) 时 , f ( x ) 单调递减 , 又 f (0) = 0, ∴ x ∈ (0, x 2 ) 时 , f ( x ) < 0, 不符合题意 , 舍去 ; 当 a< 0 时 , 函数 g ( x ) 的图象是开口向下的抛物线 , g (0) = 1 -a> 0, 可知 x 2 > 0, x ∈ ( x 2 , +∞ ) 时 , g ( x ) < 0, 则 f' ( x ) < 0, f ( x ) 单调递减 , 当 x → +∞ 时 , f ( x )→ -∞ , ∴ x ∈ (0, +∞ ) 时 , f ( x ) > 0 不恒成立 , ∴ 当 a< 0 时不适合题意 . 当 a< 0 时 , 另一解法 : 利用结论由 ln( x+ 1) 1 - 时 , ax 2 + (1 -a ) x< 0, 此时 f ( x ) < 0, 不符合题意 , 舍去 . 综上所述 a 的取值范围为 [0,1] . - 16 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得 1 . 在 f ( x ) ≥ 0 的情况下 , 讨论 a 的取值范围 → 求 f ( x ) 导函数 → 确定 f ( x ) 的单调区间 → 求 f ( x ) 取最小值 → 解不等式 f ( x ) min ≥ 0 得 a 的范围 → 合并 a 的范围 . 2 . 若 ∀ x> 0, f ( x ) ≥ 0 成立 , 求 a 的取值范围 . 即求当 x> 0, f ( x ) ≥ 0 恒成立时的 a 的取值范围 , 即研究 a 取什么范围 , 当 x> 0, f ( x ) ≥ 0, 或者能够说明 a 取什么范围 f ( x ) < 0, 为此还是研究 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上的单调性 . - 17 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练 3 (2018 福建龙岩 4 月质检 , 理 21 节选 ) 已知函数 f ( x ) = ( x- 2)e x -a ( x+ 2) 2 . (1) 略 ; (2) 当 x ≥ 0 时 , 恒有 f (2 x ) + 4 a+ 2 ≥ 0 成立 , 求 a 的取值范围 . - 18 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 : (1) 略 . (2) 设 h ( x ) =f (2 x ) + 4 a+ 2 , 则 h ( x ) = (2 x- 2)e 2 x -a (2 x+ 2) 2 + 4 a+ 2, 且 h (0) = 0 . 因为 h' ( x ) = (4 x- 2)e 2 x - 8 ax- 8 a , 得 h ″ ( x ) = 8 x e 2 x - 8 a ( x ≥ 0), 且函数 h ″ ( x ) 在 [0, +∞ ) 上单调递增 . ( ⅰ ) 当 - 8 a ≥ 0, 即 a ≤ 0 时 , 有 h ″ ( x ) ≥ 0, 此时函数 h' ( x ) 在 [0, +∞ ) 上单调递增 , 则 h' ( x ) ≥ h' (0) =- 2 - 8 a , ① 若 - 2 - 8 a ≥ 0, 即 a ≤ - 时 , h ( x ) 在 [0, +∞ ) 上单调递增 , 则 h ( x ) ≥ h (0) = 0, 符合题意 ; ② 若 - 2 - 8 a< 0, 即 - < a< 0 时 , 存在 x 0 > 0 满足 h' ( x 0 ) = 0, x ∈ (0, x 0 ), h' ( x ) < 0, 此时函数 h ( x ) 在 (0, x 0 ) 上单调递减 , h ( x ) 0 时 , 有 h ″ (0) =- 8 a< 0, 存在 x 1 > 0 满足 h ″ ( x 1 ) = 0, x ∈ (0, x 1 ), h' ( x 1 ) < 0, 此时 h' ( x ) 在 (0, x 1 ) 上单调递减 , h' ( x ) a 恒成立 ⇔ |f ( x 1 ) -f ( x 2 ) | max =f ( x ) max -f ( x ) min >a 恒成立 . - 22 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练 4 (2018 吉林长春外国语学校二模 , 文 21 节选 ) 已知函数 f ( x ) =ax+ ln x ( a ∈ R ) . (1) 略 ; (2) 设 g ( x ) =x 2 - 2 x+ 2, 若对任意 x 1 ∈ (0, +∞ ), 均存在 x 2 ∈ [0,1], 使得 f ( x 1 ) x 2 · f ( x 2 ) -x 1 · f ( x 1 ) 恒成立 , 求实数 m 的取值范围 . - 25 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 26 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得 在含有两变量的函数不等式恒成立问题中求参数范围 , 其一般思路是通过已知条件或隐含的条件 , 将两个变量的函数不等式 , 转换成一个变量的函数不等式 , 即转换成了本节考向二中的已知函数不等式恒成立求参数范围 . - 27 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练 5 设函数 f ( x ) = e mx +x 2 -mx. (1) 证明 f ( x ) 在 ( -∞ ,0) 单调递减 , 在 (0, +∞ ) 单调递增 ; (2) 若对于任意 x 1 , x 2 ∈ [ - 1,1], 都有 |f ( x 1 ) -f ( x 2 ) | ≤ e - 1, 求 m 的取值范围 . - 28 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 : (1) f' ( x ) =m (e mx - 1) + 2 x. 若 m ≥ 0, 则当 x ∈ ( -∞ ,0) 时 ,e mx - 1 ≤ 0, f' ( x ) < 0; 当 x ∈ (0, +∞ ) 时 ,e mx - 1 ≥ 0, f' ( x ) > 0 . 若 m< 0, 则当 x ∈ ( -∞ ,0) 时 ,e mx - 1 > 0, f' ( x ) < 0; 当 x ∈ (0, +∞ ) 时 ,e mx - 1 < 0, f' ( x ) > 0 . 所以 , f ( x ) 在 ( -∞ ,0) 单调递减 , 在 (0, +∞ ) 单调递增 . (2) 由 (1) 知 , 对任意的 m , f ( x ) 在 [ - 1,0] 单调递减 , 在 [0,1] 单调递增 , 故 f ( x ) 在 x= 0 处取得最小值 . 所以对于任意 x 1 , x 2 ∈ [ - 1,1], |f ( x 1 ) -f ( x 2 ) | ≤ e - 1 的充要条件是 - 29 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 设函数 g ( t ) = e t -t- e + 1, 则 g' ( t ) = e t - 1 . 当 t< 0 时 , g' ( t ) < 0; 当 t> 0 时 , g' ( t ) > 0 . 故 g ( t ) 在 ( -∞ ,0) 单调递减 , 在 (0, +∞ ) 单调递增 . 又 g (1) = 0, g ( - 1) = e - 1 + 2 - e < 0, 故当 t ∈ [ - 1,1] 时 , g ( t ) ≤ 0 . 当 m ∈ [ - 1,1] 时 , g ( m ) ≤ 0, g ( -m ) ≤ 0, 即 ① 式成立 ; 当 m> 1 时 , 由 g ( t ) 的单调性 , g ( m ) > 0, 即 e m -m> e - 1; 当 m<- 1 时 , g ( -m ) > 0, 即 e -m +m> e - 1 . 综上 , m 的取值范围是 [ - 1,1] . - 30 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 已知函数零点求参数范围 ( 多维探究 ) 例 6 已知函数 f ( x ) =a e 2 x + ( a- 2)e x -x. (1) 讨论 f ( x ) 的单调性 ; (2) 若 f ( x ) 有两个零点 , 求 a 的取值范围 . 解 : (1) f ( x ) 的定义域为 ( -∞ , +∞ ), f' ( x ) = 2 a e 2 x + ( a- 2)e x - 1 = ( a e x - 1)(2e x + 1) . 若 a ≤ 0, 则 f' ( x ) < 0, 所以 f ( x ) 在 ( -∞ , +∞ ) 单调递减 . 若 a> 0, 则由 f' ( x ) = 0 得 x=- ln a. 当 x ∈ ( -∞ , - ln a ) 时 , f' ( x ) < 0; 当 x ∈ ( - ln a , +∞ ) 时 , f' ( x ) > 0, 所以 f ( x ) 在 ( -∞ , - ln a ) 单调递减 , 在 ( - ln a , +∞ ) 单调递增 . - 31 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 32 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 33 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 34 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1) 分类讨论法 : 分类讨论就是将所有可能出现的情况进行分类 , 然后逐个论证 , 它属于完全归纳 . (2) 分离参数法 : 先将参数分离 , 转化成求函数值域问题加以解决 ; (3) 数形结合法 : 先对解析式变形 , 在同一平面直角坐标系中 , 画出函数的图象 , 然后数形结合求解 . - 35 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练 6 已知函数 f ( x ) =ax 3 - 3 x 2 + 1, 若 f ( x ) 存在唯一的零点 x 0 , 且 x 0 > 0, 求 a 的取值范围 . - 36 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 37 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 38 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 例 7 已知函数 f ( x ) = ( x- 2)e x +a ( x- 1) 2 . (1) 讨论 f ( x ) 的单调性 ; (2) 若 f ( x ) 有两个零点 , 求 a 的取值范围 . 解 (1) f' ( x ) = ( x- 1)e x + 2 a ( x- 1) = ( x- 1)(e x + 2 a ) . ( ⅰ ) 设 a ≥ 0, 则当 x ∈ ( -∞ ,1) 时 , f' ( x ) < 0; 当 x ∈ (1, +∞ ) 时 , f' ( x ) > 0 . 所以 f ( x ) 在 ( -∞ ,1) 单调递减 , 在 (1, +∞ ) 单调递增 . ( ⅱ ) 设 a< 0, 由 f' ( x ) = 0 得 x= 1 或 x= ln( - 2 a ) . ① 若 a =- , 则 f' ( x ) = ( x- 1)(e x - e), 所以 f ( x ) 在 ( -∞ , +∞ ) 单调递增 . - 39 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 ② 若 a >- , 则 ln( - 2 a ) < 1, 故当 x ∈ ( -∞ ,ln( - 2 a )) ∪ (1, +∞ ) 时 , f' ( x ) > 0; 当 x ∈ (ln( - 2 a ),1) 时 , f' ( x ) < 0 . 所以 f ( x ) 在 ( -∞ ,ln( - 2 a )),(1, +∞ ) 单调递增 , 在 (ln( - 2 a ),1) 单调递减 . ③ 若 a <- , 则 ln( - 2 a ) > 1, 故当 x ∈ ( -∞ ,1) ∪ (ln( - 2 a ), +∞ ) 时 , f' ( x ) > 0; 当 x ∈ (1,ln( - 2 a )) 时 , f' ( x ) < 0, 所以 f ( x ) 在 ( -∞ ,1),(ln( - 2 a ), +∞ ) 单调递增 , 在 (1,ln( - 2 a )) 单调递减 . - 40 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 41 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得 对于已知函数零点个数求参数的范围的高考题 , 通常采用分类讨论法 , 依据题目中的函数解析式的构成 , 将参数分类 , 在参数的小范围内研究函数零点的个数是否符合题意 , 将满足题意的参数的各个小范围并在一起 , 即为所求参数范围 . - 42 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练 7 已知函数 f ( x ) = 2ln x-x 2 +ax ( a ∈ R ) . (1) 当 a= 2 时 , 求 f ( x ) 的图象在 x= 1 处的切线方程 ; (2) 若函数 g ( x ) =f ( x ) -ax+m 在 上 有两个零点 , 求实数 m 的取值范围 . - 43 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五