数学（理）卷·2017届新疆哈密地区二中高三上学期第三次月考（2016

数学（理）卷·2017届新疆哈密地区二中高三上学期第三次月考（2016

‎2016-2017学年第一学期高三（17届）理科数学第三次月考试卷 ‎ ‎ 一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）‎ ‎1．已知集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|y=lg（x﹣2）}，则下列结论正确的是（　　）‎ A．﹣1∈A B．3B C．A∪B=B D．A∩B=B ‎2．复数的虚部是（　　）‎ A．i B．﹣i C．1 D．﹣1‎ ‎3．下列说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”‎ B．若命题p：任意x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题￢p：存在x∈R，x2﹣2x﹣1＜0‎ C．命题“若α＞β，则2α＞2β”的逆否命题为真命题 D．“x=﹣1”是x2﹣5x﹣6=0的必要不充分条件 ‎4．如图，在△ABC中，已知，则=（　　）‎ A． ‎ B．‎ C． D．‎ ‎5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎6．按如程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为（　　）‎ A．i＞5 B．i≥7 C．i＞9 D．i≥9‎ ‎7．已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列，则数列{an}的通项公式为（　　）‎ A．2n﹣3 B．2n﹣2 C．2n﹣1 D．2n﹣2+1‎ ‎8．在直角坐标系中，P点的坐标为，Q是第三象限内一点，|OQ|=1且，则Q点的横坐标为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为（　　）‎ A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0‎ ‎10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，‎ f（x）=，‎ 则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（　　）‎ A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1‎ ‎11．点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中心的距离为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＜e，f（0）=e+2（其中e为自然对数的底数），则不等式exf（x）＞ex+1+2的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，e+2） C．（﹣∞，0）∪（e+2，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）‎ ‎13．由曲线以及直线y=1所围成的封闭图形的面积是　　．‎ ‎14．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为　　．‎ ‎15．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值为　　．‎ ‎16．设函数f（x）=x2+x﹣alnx，则a＜3是函数f（x）在[1，+∞）上单调递增的　　条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且．‎ ‎①求角A的大小．②若．‎ ‎18．（12分）已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=anlogan，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．‎ ‎（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；‎ ‎（2）若PA=1，AB=2，BC=，在直线AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．‎ ‎（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程；‎ ‎（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎21．（12分）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程是（φ为参数，a＞0），直线l的参数方程是（t为参数），曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若点在曲线C上，‎ 求的值．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）．‎ ‎（1）若a=，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年第一学期高三（17届）理科数学第三次月考参考答案与试题解析 ‎　‎ ‎1.D．2.C， 3C．4C，5A，6D．7 B，8A．9A．10A．11B．12A．‎ ‎　‎ ‎13． 14．16 15．2 16．充分不必要 ‎17【解答】①∵cosA（sinA﹣cosA）=，‎ ‎∴sinAcosA﹣cos2A=sin2A﹣（1+cos2A）=sin2A﹣cos2A﹣=，‎ 即sin（2A﹣）=1，又A为三角形的内角，∴2A﹣=，解得：A=；‎ ‎②∵a=2，S△ABC=2，sinA=，∴bcsinA=2，即bc=8①，‎ 由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，‎ 即8=（b+c）2﹣24，解得：b+c=4②，联立①②，解得：b=c=2．‎ ‎　‎ ‎18【解答】解：（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q ‎∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8‎ ‎∴a2+a4=20∴∴或∵数列{an}单调递增 ‎∴an=2n ‎（II）∵an=2n∴bn==﹣n•2n∴﹣sn=1×2+2×22+…+n×2n ①‎ ‎∴﹣2sn=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1 ②∴①﹣②得，‎ sn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣2‎ ‎19【解答】证明：（1）∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC．‎ ‎∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC．…（1分）‎ ‎∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA．…（3分）‎ ‎∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA．∵PA∩CA=A，∴BC⊥平面PAC．…（5分）‎ ‎∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．…6分 解：（2）由已知及（1）所证可知，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，‎ ‎∵PA=1，AB=2，BC=．‎ ‎∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图的空间直角坐标系C﹣xyz，则C（0，0，0），B（0，，0），P（），‎ ‎，设=（x，y，z）是平面PBC的法向量，‎ 则，则取x=1，得=（1，0，﹣），…（9分）‎ 设直线AC上的点D满足，则，‎ ‎∴，‎ ‎∵直线BD与平面PBC所成角为30°，∴，‎ 解得，…（11分）‎ ‎∴在直线AC上存在点，使得直线BD与平面PBC所成角为30°．…（12分）‎ ‎　‎ ‎20．【解答】解：（I）g′（x）=3x2+2ax﹣1由题意3x2+2ax﹣1＜0的解集是 即3x2+2ax﹣1=0的两根分别是．将x=1或代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1．‎ ‎∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2．（4分）‎ ‎（II）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x2﹣2x﹣1，∴g′（﹣1）=4，‎ ‎∴点p（﹣1，1）处的切线斜率k=g′（﹣1）=4，‎ ‎∴函数y=g（x）的图象在点p（﹣1，1）处的切线方程为：‎ y﹣1=4（x+1），即4x﹣y+5=0．（8分）‎ ‎（III）∵2f（x）≤g′（x）+2‎ 即：2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立 可得对x∈（0，+∞）上恒成立 设，则 令h′（x）=0，得（舍）‎ 当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0‎ ‎∴当x=1时，h（x）取得最大值﹣2∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎21．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得x+y=2，令y=0，得x=2．‎ ‎∵曲线C的参数方程是（φ为参数，a＞0），消去参数φ得，‎ 把点（2，0）代入上述方程得a=2．∴曲线C普通方程为．‎ ‎（Ⅱ）∵点在曲线C上，即A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），，在曲线C上，‎ ‎∴==‎ ‎=‎ ‎=+=．‎ ‎　‎ ‎22．【解答】解：（1）若a=，f（x）=（x2+bx+1）e﹣x，‎ 则f′（x）=（2x+b）e﹣x﹣（x2+bx+1）e﹣x=﹣[x2+（b﹣2）x+1﹣b]e﹣x=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x，‎ 由f′（x）=0得﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]=0，即x=1或x=1﹣b，‎ ‎①若1﹣b=1，即b=0时，f′（x）=﹣（x﹣1）2e﹣x≤0，此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣∞，+∞）．‎ ‎②若1﹣b＞1，即b＜0时，由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＞0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＜0，即1＜x＜1﹣b，‎ 此时函数单调递增，单调递增区间为（1，1﹣b），‎ 由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＜0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＞0，即x＜1，或x＞1﹣b，‎ 此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣∞，1），（1﹣b，+∞），‎ ‎③若1﹣b＜1，即b＞0时，由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＞0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＜0，即1﹣b＜x＜1，‎ 此时函数单调递增，单调递增区间为（1﹣b，1），‎ 由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＜0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＞0，即x＜1﹣b，或x＞1，‎ 此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣∞，1﹣b），（1，+∞）．‎ ‎（2）若f（1）=1，则f（1）=（2a+b+1）e﹣1=1，‎ 即2a+b+1=e，则b=e﹣1﹣2a，若方程f（x）=1在（0，1）内有解，‎ 即方程f（x）=（2ax2+bx+1）e﹣x=1在（0，1）内有解，即2ax2+bx+1=ex在（0，1）内有解，‎ 即ex﹣2ax2﹣bx﹣1=0，设g（x）=ex﹣2ax2﹣bx﹣1，则g（x）在（0，1）内有零点，‎ 设x0是g（x）在（0，1）内的一个零点，则g（0）=0，g（1）=0，知函数g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能单调递增，也不可能单调递减，‎ 设h（x）=g′（x），则h（x）在（0，x0）和（x0，1）上存在零点，‎ 即h（x）在（0，1）上至少有两个零点，g′（x）=ex﹣4ax﹣b，h′（x）=ex﹣4a，‎ 当a≤时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上递增，h（x）不可能有两个及以上零点，‎ 当a≥时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上递减，h（x）不可能有两个及以上零点，‎ 当＜a＜时，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），‎ 则h（x）在（0，ln（4a））上递减，在（ln（4a），1）上递增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．‎ 若h（x）有两个零点，则有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，‎ h（ln（4a））=4a﹣4aln（4a）﹣b=6a﹣4aln（4a）+1﹣e，＜a＜，‎ 设φ（x）=x﹣xlnx+1﹣x，（1＜x＜e），则φ′（x）=﹣lnx，‎ 令φ′（x）=﹣lnx=0，得x=，‎ 当1＜x＜时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）递增，‎ 当＜x＜e时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）递减，‎ 则φ（x）max=φ（）=+1﹣e＜0，则h（ln（4a））＜0恒成立，‎ 由h（0）=1﹣b=2a﹣e+2＞0，h（1）=e﹣4a﹣b＞0，得＜a＜，‎ 当＜a＜时，设h（x）的两个零点为x1，x2，则g（x）在（0，x1）递增，‎ 在（x1，x2）上递减，在（x2，1）递增，则g（x1）＞g（0）=0，‎ g（x2）＜g（1）=0，则g（x）在（x1，x2）内有零点，‎ 综上，实数a的取值范围是（，）．‎ ‎　‎