2017-2018学年河南省洛阳市名校高二上学期第二次联考数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年河南省洛阳市名校高二上学期第二次联考数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年河南省洛阳市名校高二（上）第二次联考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）下列选项正确的是（　　）‎ ‎①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2=0”；‎ ‎②若命题p：∀x∈R，∃n0∈N*，使得n0＞x2，则¬p：∃x0∈R，∀n∈N*，使得n≤x02；‎ ‎③“α=”是“cos2α=0”的充分不必要条件； ‎ ‎④若p∧q为假，p∨q为真，则p，q有且只有一个是真命题．‎ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④‎ ‎2．（5分）在△ABC中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎3．（5分）“x＞2或x＜0”是“”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n≥2），则a6等于（　　）‎ A．16 B．8 C． D．4‎ ‎5．（5分）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（　　）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．（5分）焦点为F（0，10），渐近线方程为4x±3y=0的双曲线的方程是（　　）‎ A．=1 B．=1‎ C．=1 D．=1‎ ‎7．（5分）已知椭圆，F是椭圆的右焦点，A为左顶点，点P在椭圆上，PF⊥x轴，若，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随m，n变化而变化 ‎10．（5分）已知正实数a，b满足a+b=3，则的最小值为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，b（1﹣cosC）=ccosA，b=2，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B．2 C． D．或2‎ ‎12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）若a＞0，b＞0，a+2b=ab，则3a+b的最小值为　 　．‎ ‎14．（5分）直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F1‎ 和一个顶点B，则椭圆的方程为　 　．‎ ‎15．（5分）若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m＜0”为假命题，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎16．（5分）已知数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*），若不等式++t•an≥0恒成立，则实数t的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）已知m＞0，p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：1﹣m≤x≤1+m．‎ ‎（1）若￢q是￢p的必要条件，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若m=7，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．‎ ‎18．（12分）在等比数列{an}中，公比q≠1，等差数列{bn}满足a1=b1=3，a2=b4，a3=b13．‎ ‎（1）求数列{an}的{bn}通项公式；‎ ‎（2）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．‎ ‎19．（12分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点P（，），左焦点为F（﹣，0）．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若A是椭圆E的右顶点，过点F且斜率为的直线交椭圆E于M，N两点，求△AMN的面积．‎ ‎20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎21．（12分）设正项数列{an}的前n项和Sn，且满足2Sn=an2+an．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列bn=+，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2n+．‎ ‎22．（12分）已知点M是椭圆C：=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|=4，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面积为 ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设N（0，2），过点p（﹣1，﹣2）作直线l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河南省洛阳市名校高二（上）第二次联考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）下列选项正确的是（　　）‎ ‎①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2=0”；‎ ‎②若命题p：∀x∈R，∃n0∈N*，使得n0＞x2，则¬p：∃x0∈R，∀n∈N*，使得n≤x02；‎ ‎③“α=”是“cos2α=0”的充分不必要条件； ‎ ‎④若p∧q为假，p∨q为真，则p，q有且只有一个是真命题．‎ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④‎ ‎【分析】①根据命题若p，则q”的逆否命题为“若￢q，则￢p”，判断即可；‎ ‎②根据全称命题p的否定是特称命题¬p，判断正误即可；‎ ‎③判断充分性与必要性是否成立即可； ‎ ‎④根据复合命题的真假性，判断即可．‎ ‎【解答】解：对于①，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为 ‎“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，∴①错误；‎ 对于②，命题p：∀x∈R，∃n0∈N*，使得n0＞x2，‎ 则¬p：∃x0∈R，∀n∈N*，使得n≤x02，∴②正确；‎ 对于③，α=时，cos2α=cos=0，充分性成立，‎ cos2α=0时，α=kπ+，k∈Z，必要性不成立，‎ 是充分不必要条件，③正确； ‎ 对于④，由p∧q为假，则p、q至少有一假命题；‎ 由p∨q为真，则p、q至少有一真命题，‎ ‎∴p，q有且只有一个是真命题，④正确．‎ 综上，正确的命题是②③④．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了命题真假的判断与应用问题，是综合题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）在△ABC中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【分析】利用正弦定理和已知的两边和其中一边的对角求得sinB的值，进而求得B．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可知=‎ ‎∴sinB=•b=×=‎ ‎∵b＜a ‎∴B＜A ‎∴B=‎ 故选B ‎【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形问题中，利用正弦值来求角的值的时候，注意跟进边的问题对所求得的值进行取舍．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）“x＞2或x＜0”是“”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由，解得x＜0或x＞1，此时不等式x＞2或x＜0不成立，即必要性不成立，‎ 若x＞2或x＜0，则x＜0或x＞2成立，即充分性成立，‎ 故“x＞2或x＜0”是“”的充分不必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n≥2），则a6等于（　　）‎ A．16 B．8 C． D．4‎ ‎【分析】由题设知an+12﹣an2=an2﹣an﹣12，且数列{an2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，故an2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此能求出a6．‎ ‎【解答】解：∵正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n≥2），‎ ‎∴an+12﹣an2=an2﹣an﹣12，‎ ‎∴数列{an2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，‎ ‎∴an2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，‎ ‎∴=16，‎ ‎∴a6=4，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查数列的递推式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意等差数列的性质和应用．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（　　）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】考查四个选项知，可先证充分性，由，“A＞B”推导“sinA＞sinB”，分A是锐角与A不是锐角两类证明即可；再证必要性，由于在（0，π）上正弦函数不是单调函数，可分两类证明，当A是钝角时，与A不是钝角时，易证，再由充分条件必要条件的定义得出正确选项即可 ‎【解答】解：1°由题意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A 若A，B都是锐角，显然有“sinA＞sinB”成立，‎ 若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π﹣A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A≤，此时有sin（π﹣A）=sinA＞sinB 综上，△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充分条件 ‎2°研究sinA＞sinB，若A不是锐角，显然可得出A＞B，若A是锐角，亦可得出A＞B，‎ 综上在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要条件 综合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要条件，‎ 故选A ‎【点评】本题考查充要条件的判断，证明充要条件要分两步证明，先证充分性再证必要性，解题的关键是理解题意及充要条件证明的方法，本题考查到了分类讨论的思想，考查了推理判断的能力．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）焦点为F（0，10），渐近线方程为4x±3y=0的双曲线的方程是（　　）‎ A．=1 B．=1‎ C．=1 D．=1‎ ‎【分析】由题意可得可设双曲线的方程是=1，且c=10，==，求出b=6，a=8，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得可设双曲线的方程是 =1，且c=10，==，‎ ‎∴b=6，∴a=8，故双曲线的方程为=1，‎ 故选 A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出b=6，a=8，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知椭圆，F是椭圆的右焦点，A为左顶点，点P在椭圆上，PF⊥x轴，若，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意画出图形，求出椭圆半通径长，代入，化为关于e的方程求解．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵PF⊥x轴，∴|PF|=，而|AF|=a+c，‎ ‎∴由，得，‎ 即4（a2﹣c2）=a2+ac，∴4e2+e﹣3=0，解得e=﹣1（舍）或e=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，熟记椭圆通径是解题的关键，是中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，求三角形的顶点坐标，从而求出表示的平面区域的面积即可．‎ ‎【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 由得交点A的坐标为（1，1）．‎ 又B、C两点的坐标为（0，4），（0，）．‎ 故S△ABC=（4﹣）×1=．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求平面区域的面积，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随m，n变化而变化 ‎【分析】利用椭圆、双曲线的定义确定焦半径之间的关系，再利用两曲线有相同的焦点，确定m，n的关系，从而可确定△F1PF2的形状．‎ ‎【解答】解：由题意，不妨设P是双曲线右支上的一点，|PF1|=x，|PF2|=y，则x+y=2，x﹣y=2‎ ‎∴x2+y2=2（m+n）‎ ‎∵两曲线有相同的焦点 ‎∴m﹣1=n+1‎ ‎∴m=n+2‎ ‎∴x2+y2=4（n+1）‎ 即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，‎ ‎∴△F1PF2是直角三角形 故选B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆、双曲线的定义及几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知正实数a，b满足a+b=3，则的最小值为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【分析】由已知可得，代入，然后利用基本不等式求最值．‎ ‎【解答】解：∵a+b=3，‎ ‎∴==‎ ‎=‎ ‎=．‎ 当且仅当，即a=，b=时等号成立．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查利用基本不等式求最值，关键是掌握该类问题的求解方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，b（1﹣cosC）=ccosA，b=2，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B．2 C． D．或2‎ ‎【分析】由已知等式利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可得sinBcosC=sinAcosC，可得cosC=0，或sinB=sinA，分类讨论，分别利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，b（1﹣cosC）=ccosA，可得：b=ccosA+bcosC，‎ ‎∴sinB=sinCcosA+sinBcosC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，可得：sinBcosC=sinAcosC，‎ ‎∴cosC=0，或sinB=sinA，‎ ‎∵A=，b=2，‎ ‎∴当cosC=0时，C=，a==2，S△ABC=ab==2，‎ 当sinB=sinA时，可得A=B=C=，a=b=c=2，S△ABC=absinC==．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据是a、m的等比中项可得c2=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2﹣b2=m2+n2=c2，根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n2=2m2+c2，联立方程即可求得a和c的关系，进而求得离心率e．‎ ‎【解答】解：由题意：‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴a2=4c2，‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的性质，属基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）若a＞0，b＞0，a+2b=ab，则3a+b的最小值为　7+2　．‎ ‎【分析】变形已知式子可得+=1，整体代入可得3a+b=（3a+b）（+）=7++，由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+2b=ab，‎ ‎∴=1，即+=1，‎ ‎∴3a+b=（3a+b）（+）‎ ‎=7++≥7+2=7+2‎ 当且仅当=时取等号，‎ 结合=1可解得a=且b=+1，‎ 故答案为：7+2．‎ ‎【点评】本题考查基本不等式求最值，得出+=1并整体代入是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为　　．‎ ‎【分析】先设左焦点坐标为：（﹣c，0），顶点（0，b），由这两个点都在直线l：x﹣2y+2=0上，可解得b，c，进而解得a，从而求得椭圆方程．‎ ‎【解答】解：设左焦点坐标为：（﹣c，0），顶点（0，b）‎ 根据题意：‎ ‎∴‎ ‎∴a=‎ ‎∴椭圆的方程为 ‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查点与直线的位置关系以及椭圆方程的求法．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m＜0”为假命题，则实数m的取值范围是　[0，8]　．‎ ‎【分析】把命题“存在x0∈R，使得x02+mx0+2m＜0”为假命题化为其否定命题：“任意x∈R，都有x2+mx+2m≥0”为真命题，求出对应m的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：命题“存在x0∈R，使得x02+mx0+2m＜0”的否定为：‎ ‎“任意x∈R，都有x2+mx+2m≥0”，‎ 由于命题“存在x0∈R，使得x02+mx0+2m＜0”为假命题，‎ 则其否定为：“任意x∈R，都有x2+mx+2m≥0”为真命题，‎ 应满足△=m2﹣8m≤0，解得0≤m≤8；‎ 综上，实数m的取值范围是[0，8]．‎ 故答案为：[0，8]．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的恒成立问题，解决此类问题要结合函数的图象与性质进行处理，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*），若不等式++t•an≥0恒成立，则实数t的取值范围是　[﹣9，+∞）　．‎ ‎【分析】由数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*），两边取倒数可得：﹣=1．利用等差数列的通项公式即可得出an．不等式++t•an≥0化为：t≥﹣．再利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：由数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*），‎ 两边取倒数可得：﹣=1．‎ ‎∴数列是等差数列，公差为1，首项为2．‎ ‎∴=2+（n﹣1）=n+1，‎ ‎∴an=．‎ 不等式++t•an≥0化为：t≥﹣．‎ ‎∵+5≥2=4，当且仅当n=2时取等号．‎ ‎∵﹣≤﹣9．‎ ‎∵实数t的取值范围若不等式++t•an≥0恒成立，‎ ‎∴t≥﹣9．‎ 则实数t的取值范围[﹣9，+∞）．‎ 故答案为：[﹣9，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）已知m＞0，p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：1﹣m≤x≤1+m．‎ ‎（1）若￢q是￢p的必要条件，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若m=7，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）m＞0，p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：1﹣m≤x≤1+m，分别求出命题p和q，根据￢q是￢p的必要条件，可得q⇒p，从而求出m的范围；‎ ‎（2）m=7，代入命题q，求出m的范围，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，可知p与q一真一假，分类讨论进行求解．‎ ‎【解答】解：（1）m＞0，p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：1﹣m≤x≤1+m，‎ ‎∴p：﹣2≤x≤3，q：1﹣m≤x≤1+m，‎ ‎∵￢q是￢p的必要条件，q⇒p，‎ ‎∴，解得m≤2，‎ 当m=2时，q：﹣1≤x≤3，满足题意；‎ 综上：0＜m≤2；‎ ‎（2）若m=7，可得q：﹣6≤x≤8，‎ ‎∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，‎ ‎∴p与q有一个为真，一个为假，∵p：﹣2≤x≤3，‎ 若p真q假可得，x为空集；‎ 若p假q真可得，﹣6≤x＜﹣2或3＜x≤8；‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）在等比数列{an}中，公比q≠1，等差数列{bn}满足a1=b1=3，a2=b4，a3=b13．‎ ‎（1）求数列{an}的{bn}通项公式；‎ ‎（2）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）cn=（2n+1）•3n，利用“错位相减法”与等比数列求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得：，即，‎ 解得（ 舍），∴d=2，．‎ ‎（2）cn=（2n+1）•3n，‎ Sn=3×3+5×32+…+（2n+1）•3n，‎ ‎3Sn=3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n+（2n+1）•3n+1，‎ ‎∴﹣2Sn=3×3+2×（32+33+…+3n）﹣（2n+1）•3n+1=2×+3﹣（2n+‎ ‎1）•3n+1，‎ 化为：Sn=n•3n+1．‎ ‎【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点P（，），左焦点为F（﹣，0）．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若A是椭圆E的右顶点，过点F且斜率为的直线交椭圆E于M，N两点，求△AMN的面积．‎ ‎【分析】（1）根据椭圆的定义求出a的值，再求出b的值，从而求出椭圆的方程即可；‎ ‎（2）求出过F的方程，联立直线和椭圆，设出M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理求出三角形的面积即可．‎ ‎【解答】解：（1）由椭圆的定义得：+=2a，解得：a=2，‎ 又c=，故b2=a2﹣c2=1，‎ ‎∴椭圆E的方程为：+y2=1；‎ ‎（2）过F（﹣，0）的直线方程为y=（x+），‎ ‎|AF|=2+，联立，‎ 故8y2﹣4y﹣1=0，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则，故|y1﹣y2|=，‎ ‎∴△AMN的面积是：‎ ‎|AF|•|y1﹣y2|‎ ‎=（2+）•‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的定义，考查直线和椭圆的关系，考查韦达定理以及求三角形的面积，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【分析】（1）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得﹣2sinCcosB=sinC，结合sinC＞0，可得，进而可求B的值．‎ ‎（2）利用三角形面积公式可求ac=4，利用余弦定理可求a+c的值，进而可求周长．‎ ‎【解答】解：（1）∵bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），‎ ‎∴bcosA=（2c+a）（﹣cosB）．‎ 由正弦定理可得，sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB，‎ 即sin（A+B）=﹣2sinCcosB=sinC，‎ 又角C为△ABC内角，sinC＞0，‎ ‎∴，‎ 又B∈（0，π），‎ ‎∴．‎ ‎（2）有，得ac=4．‎ 又b2=a2+c2+ac=（a+c）2﹣ac=16，‎ ‎∴，‎ ‎∴△ABC周长为．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设正项数列{an}的前n项和Sn，且满足2Sn=an2+an．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列bn=+，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2n+．‎ ‎【分析】（1）利用递推关系可得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，又数列{an}为正项数列，可得an﹣an﹣1=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）由（1）知：，再利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得，两式相减得，，‎ ‎∴，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，‎ 又∵数列{an}为正项数列，∴an﹣an﹣1=1．因此数列{an}为等差数列．‎ 又n=1时，，∴a1=1，an=1+n﹣1=n．‎ ‎（2）证明：由（1）知，又，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知点M是椭圆C：=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|=4，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面积为 ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设N（0，2），过点p（﹣1，﹣2）作直线l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值．‎ ‎【分析】（I）由余弦定理可得=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°，结合|F1F2|=2c=4，|MF1|+|MF2|=2a，求出a2，b2的值，可得椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1），与出椭圆方程联立后，利用韦达定理，化简k1+k2可得定值；当直线l斜率不存在时，求出A，B两点坐标，进而求出k1、k2，综合讨论结果，可得结论．‎ ‎【解答】解：（I）在△F1MF2中，由|MF1||MF2|sin60°=，得|MF1||MF2|=．‎ 由余弦定理，得=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°=（|MF1|+|MF2|）2﹣2|MF1||MF2|（1+cos60°）‎ 又∵|F1F2|=2c=4，|MF1|+|MF2|=2a 故16=4a2﹣16，‎ 解得a2=8，故b2=a2﹣c2=4‎ 故椭圆C的方程为 ‎（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1）‎ 由，得（1+2k2）x2+4k（k﹣2）x+2k2﹣8k=0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=，x1x2=，‎ 从而k1+k2=+==2k﹣（k﹣4）=4． 11分 当直线l斜率不存在时，得A（﹣1，），B（﹣1，﹣）‎ 此时k1+k2=4‎ 综上，恒有k1+k2=4．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义、余弦定理及韦达定理的应用．第一问是利用三角形面积公式、余弦定理、椭圆的定义，三个方程联立，解出a，再根据a，b，c的关系求出b，本问分析已知条件是解题的关键；第二问是直线与椭圆相交于A，B两点，先设出A，B两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用．‎ ‎　‎