【数学】河北省承德第一中学2019-2020学年高二下学期第4次月考试题(解析版)

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【数学】河北省承德第一中学2019-2020学年高二下学期第4次月考试题(解析版)

河北省承德第一中学2019-2020学年 高二下学期第4次月考试题 一、 选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)‎ ‎1.已知集合,,则等于( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.设i为虚数单位,则复数的共轭复数( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.给出下列两个命题:命题p:“,”是“函数为偶函数”的必要不充分条件;命题q:函数是奇函数,则下列命题是真命题的是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.下列函数中,既是奇函数又在定义域内递增的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5.若,,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.已知是周期为2的奇函数,当时,,若,则等于( )‎ A. -1 B. 1 C.-2 D. 2‎ ‎7.若幂函数的图象过点,则函数的最大值为( )‎ A. B. C. D. -1‎ ‎8.函数的图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当时,,若,则实数a的取值范围是( )‎ A. (-∞,-2)∪(3,+∞) B. (-3,2) ‎ C. (-2,3) D. (-∞,-3)∪(2,+∞) ‎ ‎10.若函数有两个不同的零点,且,,则实数m的取值范围为( ) ‎ A.(-∞,-2) B. (-∞,-2)∪(6,+∞)‎ C. (7,+∞) D. (-∞,-3)‎ ‎11.直线分别与曲线,相交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎12.设函数,若互不相等的实数a,b,c满足,则的取值范围是(  )‎ A. (16,32) B. (18,34) C. (17,35) D.(6,7) ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)‎ ‎13.函数的单调增区间是______.‎ ‎14.已知函数在处有极小值10,则   .‎ ‎15.函数,若,则__________.‎ ‎16.若直线y=kx+b是曲线y=ex﹣2的切线,也是曲线y=ex﹣1的切线,则b=  .‎ 三、解答题(本大题共6小题,17题10分,其余每题12分,共70分)‎ 17. 已知命题有两个不相等的负根,命题 无实根,若为假,为真,求实数m的取值范围.‎ 18. 已知复数(i是虚数单位,),且为纯虚数(是z的共轭复数).‎ ‎(1)设复数,求;‎ ‎(2)设复数,且复数所对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.‎ ‎19.(1)证明:函数在区间上单调递增;‎ ‎(2)若当时,不等式恒成立,求的取值范围.‎ ‎20.已知函数,当时,有极大值3;‎ ‎(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的极小值及单调区间.‎ ‎21.设函数是偶函数. ‎ ‎(1)若不等式对任意实数x成立,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)设函数,若在上有零点,求实数n的取值范围.‎ ‎22.设函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间及极值;‎ ‎(2)若函数在(0,+∞)上有唯一零点,证明:.‎ 参考答案 一、 选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)‎ ‎1.已知集合,,则等于( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案及解析:‎ ‎1.A ‎【详解】由题 故,.‎ 故选A ‎2.设i为虚数单位,则复数的共轭复数( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案及解析:‎ ‎2.A ‎【详解】解:,‎ 故选:A.‎ ‎3.给出下列两个命题:命题p:“,”是“函数为偶函数”的必要不充分条件;命题q:函数是奇函数,则下列命题是真命题的是(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案及解析:‎ ‎3.C ‎【详解】对于命题,若函数为偶函数,则其对称轴为,得,‎ 则“,”是“函数为偶函数”的充分不必要条件,命题为假命题;‎ 对于命题,令,即,得,则函数的定义域为,‎ 关于原点对称,且,‎ 所以,函数为奇函数,命题为真命题,‎ 因此,、、均假命题,为真命题,故选:C.‎ ‎4.下列函数中,既是奇函数又在定义域内递增的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案及解析:‎ ‎4.A B中函数非奇非偶,D中函数是偶函数,C中函数是奇函数,但不在定义域内递增,只有A中函数符合题意.‎ ‎5.若,,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案及解析:‎ ‎5.A ‎【详解】因为,,,‎ 所以.‎ 故选:A ‎6.已知是周期为2的奇函数,当时,,若,‎ 则等于( )‎ A. -1 B. 1 C.-2 D. 2‎ 答案及解析:‎ ‎6.B ‎【详解】由周期为2,则4也为周期 故,即 又,∴,,故.‎ 故选B ‎7.若幂函数的图象过点,则函数的最大值为( )‎ A. B. C. D. -1‎ 答案及解析:‎ ‎7.C ‎【详解】设幂函数,图象过点,故 ‎ 故,,令,则,,‎ ‎∴时,.‎ 故选C ‎8.函数的图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案及解析:‎ ‎8.C ‎【详解】因为 ‎=,所以为奇函数图像关于原点对称,排除BD,因为,所以排除A答案,选择C ‎9.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当时,,若,则实数a的取值范围是( )‎ A. (-∞,-2)∪(3,+∞) B. (-3,2) ‎ C. (-2,3) D. (-∞,-3)∪(2,+∞) ‎ 答案及解析:‎ ‎9.C ‎【详解】是奇函数,当时,‎ 设则,,故 ‎ 即 ,函数的图像如图所示:‎ 结合图像可知是上的增函数 由,得解得,‎ 故选:.‎ ‎10.若函数有两个不同的零点,且,,则实数m的取值范围为( ) ‎ A.(-∞,-2) B. (-∞,-2)∪(6,+∞)‎ C. (7,+∞) D. (-∞,-3)‎ 答案及解析:‎ ‎10.C ‎【详解】设t=2x,函数f(t)=t2﹣mt+m+3有两个不同的零点,,,‎ ‎∴,即,解得:‎ 故选:C ‎11.直线分别与曲线,相交于A,B两点,则|AB|的最小值为()‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ 答案及解析:‎ ‎11.B ‎【详解】设A(a,2a+1),B(a,a+lna),‎ ‎∴|AB|=,‎ 令y,则y′1,‎ ‎∴函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,‎ ‎∴x=1时,函数y的最小值为,∴|AB|=,其最小值为2.‎ 故选:B.‎ ‎12.设函数,若互不相等的实数a,b,c满足,则的取值范围是(  )‎ A. (16,32) B. (18,34) C. (17,35) D.(6,7) ‎ 答案及解析:‎ ‎12.B ‎【详解】画出函数的图象如图所示.‎ 不妨令,则,则.‎ 结合图象可得,故.‎ ‎∴.选B.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)‎ ‎13.函数的单调增区间是______.‎ 答案及解析:‎ ‎13.(1,+∞)‎ ‎【详解】由题意,函数满足,解得或,‎ 即函数的定义域为,‎ 令,则函数在单调递减,在区间单调递增,‎ 再根据复合函数的单调性,可得函数的单调递增区间为.‎ 故答案为:.‎ ‎14.已知函数在处有极小值10,则   .‎ 答案及解析:‎ ‎14.15‎ 解:,‎ 函数在处有极小值10,‎ ‎(1),(1),‎ ‎,,‎ 解得,或,,‎ 当,时,‎ ‎,‎ 此时是极小值点;‎ 当,时,‎ ‎,‎ 此时不是极小值点.‎ ‎,,‎ ‎.‎ 故答案:15.‎ ‎15.函数,若,则__________.‎ 答案及解析:‎ ‎15.2‎ ‎【详解】由时是减函数可知,若,则,∴,由得,解得,则.‎ 故答案为:2.‎ ‎16.若直线y=kx+b是曲线y=ex﹣2的切线,也是曲线y=ex﹣1的切线,则b=  .‎ 答案及解析:‎ ‎16.‎ 解:设直线y=kx+b与y=ex﹣2和y=ex﹣1的切点分别为()和(),‎ 则切线分别为,,‎ 化简得:,,‎ 依题意有:,‎ ‎∴x1﹣2=x2,x2=﹣ln2,‎ 则b==.‎ 故答案为:.‎ 三、解答题(本大题共6小题,17题10分,其余每题12分,共70分)‎ ‎17.已知命题有两个不相等的负根,命题 无实根,若为假,为真,求实数m的取值范围.‎ 答案及解析:‎ ‎17. ‎ ‎18.已知复数(i是虚数单位,),且为纯虚数(是z的共轭复数).‎ ‎(1)设复数,求;‎ ‎(2)设复数,且复数所对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.‎ 答案及解析:‎ ‎18.(1);(2)‎ ‎【详解】∵,∴.∴.‎ 又∵为纯虚数,∴,解得.∴.‎ ‎(1),∴;‎ ‎(2)∵,∴,‎ 又∵复数所对应的点在第一象限,‎ ‎∴,解得:.‎ ‎19.(1)证明:函数在区间上单调递增;‎ ‎(2)若当时,不等式恒成立,求的取值范围.‎ 答案及解析:‎ ‎19.(1)证明见解析;(2)‎ ‎【详解】(1)设 ‎ ,又 ‎ 在区间上单调递增 ‎(2)当时,等价于 在上单调递减,在上单调递增 又, ‎ 的取值范围为 ‎20.已知函数,当时,有极大值3;‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的极小值及单调区间.‎ 答案及解析:‎ ‎20.(1);‎ ‎(2)极小值为0,递减区间为:,递增区间为(0,1).‎ ‎【详解】(1)由题意,函数,则,‎ 由当时,有极大值,则,解得.‎ ‎(2)由(1)可得函数的解析式为,‎ 则,‎ 令,即,解得,‎ 令,即,解得或,‎ 所以函数的单调减区间为,递增区间为,‎ 当时,函数取得极小值,极小值为.当时,有极大值3.‎ ‎21.设函数是偶函数. ‎ ‎(1)若不等式对任意实数x成立,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)设函数,若在上有零点,求实数n的取值范围.‎ 答案及解析:‎ ‎21.(1)(-∞,3);(2)[4,+∞) ‎ ‎【详解】‎ ‎(1)不等式即为,即,‎ 因为,当且仅当时,取等号.所以,‎ 由函数在上是增函数知的最小值为3,‎ 所以,故实数的取值范围是.‎ ‎(2) ‎ 在上有零点,‎ 即为在上有解,‎ 因为,所以,‎ 所以条件等价于在上有解.‎ 令,则,令,则在上单调递增,‎ 因此,,.‎ 设,任取,则,‎ ‎ .‎ 若,则,所以,即在上单调递增;‎ 若,则,所以,即在上单调递减.‎ 所以函数时取得最小值,且最小值,‎ 所以,‎ 从而,满足条件的实数的取值范围是.‎ ‎22.设函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间及极值;‎ ‎(2)若函数在(0,+∞)上有唯一零点,证明:.‎ 答案及解析:‎ ‎22.(1)的减区间为,增区间为,极小值为,无极大值(2)见解析 ‎【详解】(1)的定义域为,∵,‎ 当时,,为减函数;‎ 当时,,为增函数,‎ ‎∴有极小值,无极大值,‎ 故的减区间为,增区间为,极小值为,无极大值;‎ ‎(2)函数在上有唯一零点,即当时,方程有唯一解,‎ ‎∴有唯一解,令,则 令,则,‎ 当时,,故函数增函数,‎ 又,,‎ ‎∴在上存在唯一零点,则,且,‎ 当时,,‎ 当时,,∴在上有最小值,∴.‎
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