【数学】河北省承德第一中学2019-2020学年高二下学期第4次月考试题（解析版）

【数学】河北省承德第一中学2019-2020学年高二下学期第4次月考试题（解析版）

河北省承德第一中学2019-2020学年 高二下学期第4次月考试题 一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.设i为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.给出下列两个命题：命题p：“，”是“函数为偶函数”的必要不充分条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5.若，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.已知是周期为2的奇函数，当时，，若，则等于（ ）‎ A. －1 B. 1 C.－2 D. 2‎ ‎7.若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. －1‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，若，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. (－∞,－2)∪(3,+∞) B. (－3,2) ‎ C. (－2,3) D. (－∞,－3)∪(2,+∞) ‎ ‎10.若函数有两个不同的零点，且，,则实数m的取值范围为( ) ‎ A.(－∞,－2) B. (－∞,－2)∪(6,+∞)‎ C. (7,+∞) D. (－∞,－3)‎ ‎11.直线分别与曲线，相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎12.设函数，若互不相等的实数a，b，c满足，则的取值范围是（　　）‎ A. (16,32) B. (18,34) C. (17,35) D.(6,7) ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.函数的单调增区间是______.‎ ‎14.已知函数在处有极小值10，则　 　．‎ ‎15.函数,若，则__________．‎ ‎16.若直线y＝kx+b是曲线y＝ex﹣2的切线，也是曲线y＝ex﹣1的切线，则b＝　　．‎ 三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分）‎ 17. 已知命题有两个不相等的负根，命题 无实根，若为假，为真，求实数m的取值范围.‎ 18. 已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数（是z的共轭复数）．‎ ‎（1）设复数，求；‎ ‎（2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．‎ ‎19.（1）证明：函数在区间上单调递增；‎ ‎（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎20.已知函数，当时，有极大值3；‎ ‎（1）求a，b的值；（2）求函数f(x)的极小值及单调区间.‎ ‎21.设函数是偶函数. ‎ ‎（1）若不等式对任意实数x成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）设函数，若在上有零点，求实数n的取值范围.‎ ‎22.设函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间及极值；‎ ‎（2）若函数在(0,+∞)上有唯一零点，证明：.‎ 参考答案 一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案及解析：‎ ‎1.A ‎【详解】由题 故，.‎ 故选A ‎2.设i为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案及解析：‎ ‎2.A ‎【详解】解：，‎ 故选：A．‎ ‎3.给出下列两个命题：命题p：“，”是“函数为偶函数”的必要不充分条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案及解析：‎ ‎3.C ‎【详解】对于命题，若函数为偶函数，则其对称轴为，得，‎ 则“，”是“函数为偶函数”的充分不必要条件，命题为假命题；‎ 对于命题，令，即，得，则函数的定义域为，‎ 关于原点对称，且，‎ 所以，函数为奇函数，命题为真命题，‎ 因此，、、均假命题，为真命题，故选：C.‎ ‎4.下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 答案及解析：‎ ‎4.A B中函数非奇非偶，D中函数是偶函数，C中函数是奇函数，但不在定义域内递增，只有A中函数符合题意．‎ ‎5.若，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案及解析：‎ ‎5.A ‎【详解】因为，，，‎ 所以.‎ 故选：A ‎6.已知是周期为2的奇函数，当时，，若，‎ 则等于（ ）‎ A. －1 B. 1 C.－2 D. 2‎ 答案及解析：‎ ‎6.B ‎【详解】由周期为2,则4也为周期 故，即 又，∴，，故.‎ 故选B ‎7.若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. －1‎ 答案及解析：‎ ‎7.C ‎【详解】设幂函数，图象过点，故 ‎ 故，，令，则，，‎ ‎∴时，.‎ 故选C ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案及解析：‎ ‎8.C ‎【详解】因为 ‎=，所以为奇函数图像关于原点对称，排除BD,因为，所以排除A答案，选择C ‎9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，若，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. (－∞,－2)∪(3,+∞) B. (－3,2) ‎ C. (－2,3) D. (－∞,－3)∪(2,+∞) ‎ 答案及解析：‎ ‎9.C ‎【详解】是奇函数，当时，‎ 设则，，故 ‎ 即 ，函数的图像如图所示：‎ 结合图像可知是上的增函数 由，得解得，‎ 故选：.‎ ‎10.若函数有两个不同的零点，且，,则实数m的取值范围为( ) ‎ A.(－∞,－2) B. (－∞,－2)∪(6,+∞)‎ C. (7,+∞) D. (－∞,－3)‎ 答案及解析：‎ ‎10.C ‎【详解】设t＝2x，函数f（t）＝t2﹣mt+m+3有两个不同的零点，，,‎ ‎∴，即，解得：‎ 故选：C ‎11.直线分别与曲线，相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ 答案及解析：‎ ‎11.B ‎【详解】设A（a，2a+1），B（a，a+lna），‎ ‎∴|AB|＝，‎ 令y，则y′1，‎ ‎∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴x＝1时，函数y的最小值为，∴|AB|＝，其最小值为2.‎ 故选：B．‎ ‎12.设函数，若互不相等的实数a，b，c满足，则的取值范围是（　　）‎ A. (16,32) B. (18,34) C. (17,35) D.(6,7) ‎ 答案及解析：‎ ‎12.B ‎【详解】画出函数的图象如图所示．‎ 不妨令，则，则．‎ 结合图象可得，故．‎ ‎∴．选B．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.函数的单调增区间是______.‎ 答案及解析：‎ ‎13.(1,+∞)‎ ‎【详解】由题意，函数满足，解得或，‎ 即函数的定义域为，‎ 令，则函数在单调递减，在区间单调递增，‎ 再根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.‎ 故答案为：.‎ ‎14.已知函数在处有极小值10，则　 　．‎ 答案及解析：‎ ‎14.15‎ 解：，‎ 函数在处有极小值10，‎ ‎（1），（1），‎ ‎，，‎ 解得，或，，‎ 当，时，‎ ‎，‎ 此时是极小值点；‎ 当，时，‎ ‎，‎ 此时不是极小值点．‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故答案：15．‎ ‎15.函数,若，则__________．‎ 答案及解析：‎ ‎15.2‎ ‎【详解】由时是减函数可知，若，则，∴，由得，解得，则.‎ 故答案为：2.‎ ‎16.若直线y＝kx+b是曲线y＝ex﹣2的切线，也是曲线y＝ex﹣1的切线，则b＝　　．‎ 答案及解析：‎ ‎16.‎ 解：设直线y＝kx+b与y＝ex﹣2和y＝ex﹣1的切点分别为（）和（），‎ 则切线分别为，，‎ 化简得：，，‎ 依题意有：，‎ ‎∴x1﹣2＝x2，x2＝﹣ln2，‎ 则b＝＝．‎ 故答案为：．‎ 三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分）‎ ‎17.已知命题有两个不相等的负根，命题 无实根，若为假，为真，求实数m的取值范围.‎ 答案及解析：‎ ‎17. ‎ ‎18.已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数（是z的共轭复数）．‎ ‎（1）设复数，求；‎ ‎（2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．‎ 答案及解析：‎ ‎18.（1）；（2）‎ ‎【详解】∵，∴.∴.‎ 又∵为纯虚数，∴，解得．∴.‎ ‎（1），∴；‎ ‎（2）∵，∴，‎ 又∵复数所对应的点在第一象限，‎ ‎∴，解得：．‎ ‎19.（1）证明：函数在区间上单调递增；‎ ‎（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ 答案及解析：‎ ‎19.（1）证明见解析；（2）‎ ‎【详解】（1）设 ‎ ，又 ‎ 在区间上单调递增 ‎（2）当时，等价于 在上单调递减，在上单调递增 又， ‎ 的取值范围为 ‎20.已知函数，当时，有极大值3；‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）求函数f(x)的极小值及单调区间.‎ 答案及解析：‎ ‎20.（1）；‎ ‎（2）极小值为0，递减区间为：，递增区间为(0,1).‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，则，‎ 由当时，有极大值，则，解得.‎ ‎（2）由（1）可得函数的解析式为，‎ 则，‎ 令，即，解得，‎ 令，即，解得或，‎ 所以函数的单调减区间为，递增区间为，‎ 当时，函数取得极小值，极小值为.当时，有极大值3.‎ ‎21.设函数是偶函数. ‎ ‎（1）若不等式对任意实数x成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）设函数，若在上有零点，求实数n的取值范围.‎ 答案及解析：‎ ‎21.（1）(－∞,3)；（2）[4,+∞) ‎ ‎【详解】‎ ‎（1）不等式即为，即，‎ 因为，当且仅当时，取等号.所以，‎ 由函数在上是增函数知的最小值为3，‎ 所以，故实数的取值范围是.‎ ‎（2） ‎ 在上有零点，‎ 即为在上有解，‎ 因为，所以，‎ 所以条件等价于在上有解.‎ 令，则，令，则在上单调递增，‎ 因此，，.‎ 设，任取，则，‎ ‎ .‎ 若，则，所以，即在上单调递增；‎ 若，则，所以，即在上单调递减.‎ 所以函数时取得最小值，且最小值，‎ 所以，‎ 从而，满足条件的实数的取值范围是.‎ ‎22.设函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间及极值；‎ ‎（2）若函数在(0,+∞)上有唯一零点，证明：.‎ 答案及解析：‎ ‎22.（1）的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值（2）见解析 ‎【详解】（1）的定义域为，∵，‎ 当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数，‎ ‎∴有极小值，无极大值，‎ 故的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值；‎ ‎（2）函数在上有唯一零点，即当时，方程有唯一解，‎ ‎∴有唯一解，令，则 令，则，‎ 当时，，故函数增函数，‎ 又，，‎ ‎∴在上存在唯一零点，则，且，‎ 当时，，‎ 当时，，∴在上有最小值，∴.‎