数学理卷·2017届黑龙江省富锦第一中学高三一模反馈测试（2017

数学理卷·2017届黑龙江省富锦第一中学高三一模反馈测试（2017

（第 4 题图） 富锦一中 2016-2017 学年度第二学期高三一模反馈测试 数学试卷 理科 第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题意要求的. 1．已知全集 U=R，集合    01|A x xx ，  1|  xxB ，则集合 0| xx 等于 A． A B B． A B C. UC A B（ ） D． UC A B（ ） 2. 在复平面内，复数 32 i1 i  对应的点位于 ( ) （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3．在正项等比数列{ }na 中， 1a 和 19a 为方程 016102  xx 的两根，则 8 10 12a a a  等于（ ） A．16 B．32 C．64 D．256 4．在右图的算法中，如果输入 A=138， B=22，则输出的结果是（ ） A． 2 B．4 C．128 D．0 5. 有下列说法：（1）“ p q ”为真是“ p q ”为真的充分不必要条件；（2）“ p q ”为 假是“ p q ”为真的充分不必要条件；（3）“ p q ”为真是“ p ”为假的必要不充分条 件；（4）“ p ”为真是“ p q ”为假的必要不充分条件。其中正确的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.若 nS 是等差数列 na 的前n 项和，且 8 3 10S S  ，则 11S 的值为（ ） A．12 B．18 C．22 D．44 7.若 n x x ) 2 1( 3  展开式中第三项与第四项的二项式系数相等且为最大，则展开式中常数 项为( ) A． 6 B. 6 C. 4 5 D. 4 5 8．若三角形 ABC 中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 9. 点 A、B、C、D 在同一球面上，AB=BC= 2 ，AC=2，若四面体 ABCD 的 体积的最大值为 3 2 ，则这个球的表面积为 ( ) A．  6 125 B. 8 C.  4 25 D.  16 25 10．已知抛物线 2 2y x 上一点 A 到焦点 F 的距离与其到对称轴的距离之比为 5:4，且 2AF  ，则 A 点到原点的距离为（ ） A． 41 B． 2 2 C．4 D．8 11. 若实数 x 、 y 满足       1 0 0 y yx yx ，则 3 x ·9 y 的最大值是( ) A．3 B. 9 C. 18 D. 27 12．已知函数       0, 0,0 )( xe x xf x ，则使函数 mxxfxg  )()( 有零点的实数 m 的取值范 围是（ ） A. )1,0[ B. )1,( C. ),1(]0,(  D. ),2(]1,(  二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上.） 13．已知向量 a  ，b  夹角为 45°，且| a  |＝1，|2 a  －b  |＝ 10，则|b  |＝________. 14．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为错误！未找到引用源。，一个内角 为 60 的菱形，俯视图为正方形，的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为 __________. 15．已知 2( )y f x x  是奇函数，且 (1) 1f  。若 ( ) ( ) 2g x f x  ，则 ( 1)g   ________． 16. 过双曲线 12 2 2 2  b y a x )0,0(  ba 的右顶点 A 作斜率为 1 的直线，该直线与双曲 线 的 两 条 渐 近 线 的 交 点 分 别 为 B ， C ． 若 BCAB 2 ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 是 。 三、解答题（本大题共 6 小题，其中 17-21 每题各 12 分，22-23 二选一 10 分，共 70 分） 17．（ 12 分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ． （1）求角 的值； （2）若 ， 边上中线 ，求 的面积． 18． （本大题满分 12 分） 已知正方形 ABCD 的边长为 1， AC BD O ．将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使 1AC  ，得到三棱锥 A—BCD，如图所示． （I）求证： AO BCD 平面 ； （II）求二面角 A BC D  的余弦值． （19）（本小题共 12 分） “你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话. 活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10,20)，[20,30)， ，[50,60) 的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数； （Ⅱ）从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8 人，求[50,60) 年龄段抽 取的人数； （Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8 人中再抽取 3 人作为本次活动的获奖者，记 X 为年龄在 [50,60) 年龄段的人数，求 X 的分布列及数学期望． 20．（ 12 分）设 F1、F2 分别是椭圆 14 2 2  yx 的左、右焦点。 （1）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 21 PFPF  的最大值和最小值； （2）设过定点 M（0，2）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B，且∠AOB 为锐角（其中 O 为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 21．（ 12 分）设函数 )0(ln)( 2  xbxxaxf 。 （1）若函数 )(xf 在 x=1 处的切线为 2 1y 。 ①求实数 a，b 的值；②求函数 ],1[)( eexf 在 上的最大值。 0.020 0.025 10 20 30 40 50 60 0.015 0.005 频率 组距 （2）当 b=0 时，若不等式 xmxf )( 对所有的 a [0， 2 3 ]， x （1， 2e ]都成立， 求实数 m 的取值范围。 请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔 在答题纸卡上把所选的题目对应的标号涂黑。 22.（本小题满分 10 分）选修 4—4: 坐标系与参数方程． 已知直线 1 : 3 x t l y t   （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标 系,圆 1C ： 2 2 3 cos 4 sin 6 0        . （1）求圆 1C 的直角坐标方程，直线 1l 的极坐标方程； （2）设 1l 与 1C 的交点为 ,M N ，求 1C MN 的面积. 23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知 ( ) | 1| ( )f x ax a R   ，不等式 3)( xf 的解集为 }12{  xx 。 (Ⅰ)求 a 的值； (Ⅱ)若 kxfxf  )2(2)( 恒成立，求 k 的取值范围。 高三第一次测试答案 一、1. D 2. A 3． C 4． A 5. B 6. C 7. C 8．B 9. C 10． B 11. D 12． C 二、13． 3 2 14． 4 15． -1 16. 5 三、 17.（1） ， （2） ， ， 可知 为等腰三角形． 在 中，由余弦定理， 得 ， 即 ， 解得 ． 的面积 ． （12 分） 18．（I）证明：在 AOC 中， 1AC  ， 2 2AO CO  ，  2 2 2AC AO CO  ， AO CO . 又  AC BD、 是 正 方 形 ABCD 的 对 角 线 ，  AO BD ， 又 BD CO O  AO BCD 平面 . （II）由（II）知 AO BCD 平面 ，则 OC，OA，OD 两两互相垂直，如图，以 O 为原点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O xyz . 则 2 2 2 2(0,0,0), (0,0, ), ( ,0,0), (0, ,0), (0, ,0)2 2 2 2O A C B D ， 2(0,0, )2OA  是平面 BCD的一个法向量. 2 2( ,0, )2 2AC   ， 2 2( , ,0)2 2BC  ， 设平面 ABC 的法向量 ( , , )x y z n ,则 0BC   n ， 0AC   n . 即 2 2( , , ) ( , ,0) 02 2 2 2( , , ) ( ,0, ) 02 2 x y z x y z        ， 所以 ,y x  且 ,z x 令 1,x  则 1y   ， 1z  ，解得 (1, 1,1)  n . 从而 3cos , 3| || | OAOA OA         nn n ，二面角 A BC D  的余弦值为 3 3 . 19.解：（Ⅰ）1 10 (0.020 0.025 0.015 0.005) 0.35      ， 100 0.35 35  ， 即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为35． （Ⅱ）100 0.15 15  ，100 0.05 5  ， 所以 85 220   ，即抽取的8 人中[50,60) 年龄段抽取的人数为 2 ． （Ⅲ） X 的所有可能取值为 0 ，1， 2 ． 3 6 3 8 5( 0) 14 CP X C    ； 1 2 2 6 3 8 15( 1) 28 C CP X C    ； 2 1 2 6 3 8 3( 2) 28 C CP X C    ． 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 5 14 15 28 3 28 X 的数学期望为 5 15 3 30 1 214 28 28 4EX        ． 20．（1）易知 2a ， 1b ， 3c 所以 )0 3(F1 ， ， )0 3(F2 ， ，设P )( yx， ，则 )3()3(PFPF 21 yxyx  ，， )83(4 13413 2 2 222  xxxyx 因为 ]2 2[ ，x ， 故当 0x ，即点P为椭圆短轴端点时， 21 PFPF  有最小值－2； 当 2x ，即点P为椭圆长轴端点时， 21 PFPF  有最大值1。 （2）显然直线 0x 不满足题设条件。 可设直线 l ： 2 kxy ，A（ 11 yx ， ），B（ 22 yx ， ） 联立      14 2 2 2 yx kxy ，消去 y ，整理得： 034)4 1( 22  kxxk ∴ 4 1 3, 4 1 4 221221     k xx k xx k ， 由 0343)4 1(4)4( 222  kkk 得： 2 3k 或 2 3k ① 又 0OBOA0AOBcos90AOB0  ∴ 0OBOA 2121  yyxx 又 4)(2)2)(2( 2121 2 2121  xxkxxkkxkxyy 4 1 14 4 1 8 4 1 3 2 2 2 2 2 2       k k k k k k ∵ 0 4 1 1 4 1 3 2 2 2     k k k ，即 42 k ，∴ 22  k ② 故由①②得 2 32  k 或 22 3  k 。 21．解：（1）① '( ) 2af x bxx   ∵函数 ( )f x 在 1x  处与直线 1 2y   相切 '(1) 2 0 ,1(1) 2 f a b f b        解得 1 1 2 a b   ………3 分 ② 2 21 1 1( ) ln , '( )2 xf x x x f x xx x      当 1 x ee   时，令 '( ) 0f x  得 11  xe ；．．．．．．．．．．．５分 令 '( ) 0f x  ，得 ex 1     1,1)( exf 在 上单调递增，在[1，e]上单调递减， max 1( ) (1) 2f x f    。。。。。。。。7 分 （2）当 b=0 时， ( ) lnf x a x 若不等式 ( )f x m x  对所有的  230, , 1,2a x e       都 成立，则 lna x m x  对所有的  230, , 1,2a x e       都成立， 即 ,ln xxam  对所有的  2,1],2 3,0[ exa  都成立，。。。．．．．．．．．．8 分 令 )(,ln)( ahxxaah 则 为一次函数， min( )m h a 。  21, , ln 0,x e x   3( ) [0, ]2h a a 在 上单调递增， min( ) (0)h a h x    ， m x   对所有的  21,x e   都成立。。。。。。．．．．．．．．．11 分 2 21 , 1,x e e x       2 min( )m x e     。。．。。。。。。12 分 （注：也可令 ( ) ln , ( )h x a x x m h x  则 所有的  21,x e   都成立，分类讨论得 2 min( ) 2m h x a e   对所有的 3[0, ]2a 都成立， 2 2 min(2 )m a e e     22．解：（1）因为 cos sin x y        ，将其代入 1C 得： 0643222  yxyx ， ∴圆 1C 的直角坐标方程为： 2 2 1 :( 3) ( 2) 1C x y    .3 分 1l 消参得 tan 3 3     （ R  ） ∴直线 1l 的极坐标方程为： 3   （ R  ）.5 分 （2） 2 3 2 3 cos 4 sin 6 0               06332    1 2 3   ， ∴ 1 1 1 332 2 4C MNS     .10 分