安徽省砀山县第二中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（理）试题

安徽省砀山县第二中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（理）试题

砀山二中2019-2020学年度第一学期第一次月考考试高二数学 ‎（理科）试题 一、选择题（共12小题）‎ ‎1.下列说法错误的是（ ）‎ A. 平面与平面相交，它们只有有限个公共点 B. 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 C. 经过两条相交直线，有且只有一个平面 D. 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项的正误，得到答案.‎ ‎【详解】A. 平面与平面相交，它们只有有限个公共点 平面与平面相交成一条直线，因此它们有无限个公共点.A错误.‎ B. 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 直线和直线外一点确定一个平面， B正确 C. 经过两条相交直线，有且只有一个平面 两条相交直线确定一个平面，C正确 D. 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合 不共线的三点确定一个平面，D正确 故答案选A．‎ ‎【点睛】本题考查了平面的性质，意在考查学生对于平面基础概念的掌握情况.‎ ‎2.已知一直线经过两点，，且倾斜角为，则的值为（ ）‎ A. -6 B. -4 C. 2 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据倾斜角为得到斜率，再根据两点斜率公式计算得到答案.‎ ‎【详解】一直线经过两点，，则直线的斜率为．‎ 直线的倾斜角为 ‎∴，即．‎ 故答案选C．‎ ‎【点睛】本题考查了直线的斜率，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形的面积为（ ）‎ A. 1 B. ‎ C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，‎ 还原回原图形后，‎ ‎，‎ 原图形的面积为 故选 ‎4.在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论和，三种情况，判断得到答案.‎ ‎【详解】直线经过原点．直线的斜率为1，在轴上的截距为．‎ 当，则，只有A符合.‎ 当，则，没有选项满足.‎ 当，则，没有选项满足.‎ 故答案选A．‎ ‎【点睛】本题考查了一次函数的图像问题，讨论法是一个常规方法，需要熟练掌握.‎ ‎5.若两直线3x+4y+3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两条直线平行列方程，求得的值，再根据两条平行线的距离公式求得两直线间的距离.‎ ‎【详解】由于两条直线平行，故，解得，即，也即，由两条平行线间的距离公式得.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两条直线平行的表示，考查两条平行线间的距离公式，属于基础题.‎ 对于直线和直线，如果两条直线平行，则有，如果两条直线垂直，则有.再使用两条平行线距离公式时，要注意将两条直线的化为相同的数值.‎ ‎6.点到圆上的点的距离的最小值是（ ）‎ A. 1 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以点在圆外，且，设圆上的任意点为，则有即，也就是，所以点与圆上的点的距离的最小值为4，此时点为线段与圆的交点，故选B.‎ 考点：点与圆的位置关系.‎ ‎7.已知直线与直线互相垂直，垂足为，则等于（ ）‎ A. 0 B. 4 C. 20 D. 24‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线垂直计算得到，垂足代入直线得到，再将垂足代入直线得到，得到答案.‎ ‎【详解】∵直线与互相垂直，‎ ‎∴，∴，‎ 直线即，‎ 垂足代入得，‎ ‎∴．‎ 把代入，‎ 可得，‎ ‎∴，‎ 故答案选A．‎ ‎【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力.‎ ‎8.如图，在长方体中，，，，分别是，的中点则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连结，由，可知异面直线与所成角，分别求出，然后利用余弦定理可求出答案.‎ ‎【详解】连结，因为，所以异面直线与所成角是，在中，，，，所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎9.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△CHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：解题时在图的右边放扇墙（心中有墙），图所示方向的侧视图，由于平面仍在平面上，故侧视图中仍然看到左侧的一条垂直下边线段的线段，可得答案A，故选A.‎ 考点：1、几何体的三视图；2、空间想象能力.‎ ‎10.已知空间不共面的四点，，，，则到这四点距离相等的平面有（ ）个．‎ A. 4 B. 6 C. 7 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分为一个点在平面一侧，另三个点在另一侧和二个点在平面一侧，另两个点在另一侧两种情况，分别计算个数相加得答案.‎ ‎【详解】一个点在平面一侧，另三个点在另一侧，这样满足条件平面有四个，都是中截面 如图：‎ 二个点在平面一侧，另两个点在另一侧，这样满足条件的平面有三个 如图：‎ 故到这四点距离相等的平面有7个 故答案选C．‎ ‎【点睛】本题考查了点到平面的距离问题，意在考查学生的空间想象能力.‎ ‎11.当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像计算直线过时和相切时的斜率，计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：‎ ‎∵曲线，直线，‎ ‎∴，，，‎ 圆心，直线过定点，‎ 直线过时，有两个交点，此时，，‎ 直线与下半圆相切时，，，‎ ‎∴.‎ 故答案选D．‎ ‎【点睛】本题考查了直线的半圆的交点问题，忽略掉的取值范围是容易犯的错误.‎ ‎12.已知直线方程为，和分别为直线上和外的点，则方程表示（ ）‎ A. 过点且与垂直的直线 B. 与重合的直线 C. 过点且与平行的直线 D. 不过点，但与平行的直线 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断直线与平行，再判断直线过点，得到答案.‎ ‎【详解】由题意直线方程为，则方程 两条直线平行，‎ 为直线上的点，，，‎ 化为，‎ 显然满足方程，‎ 所以表示过点且与平行的直线．‎ 故答案选C．‎ ‎【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生对于直线方程的理解情况.‎ 二、填空题（共6小题）‎ ‎13.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________.‎ ‎【答案】x+y=3或y=2x ‎【解析】‎ 试题分析：：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，‎ 把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0；‎ ‎②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，‎ 把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x-y=0．‎ 综上，所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0‎ 考点：直线方程 ‎14.过点的直线被曲线截得的弦长为2，则直线的方程为_____.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑斜率存在和不存在两种情况，利用垂径定理计算得到答案.‎ ‎【详解】圆的方程可化为．圆心，半径为；‎ ‎∵直线过点且被圆截得的弦长为2，‎ 的斜率不存在时，直线，‎ ‎∴圆心到的距离为．弦长为：满足题意；‎ 的斜率存在时，设：，即，‎ ‎ 圆心到的距离，‎ ‎∴，∴：．‎ 综上所述，直线的方程或；‎ 故答案为：或．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆相交问题，忽略掉斜率不存在的情况是容易发生的错误.‎ ‎15.关于如图所示几何体的正确说法为_____．①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体；⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱．‎ ‎【答案】①③④⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项的正误得到答案.‎ ‎【详解】①因为有六个面，属于六面体的范围，‎ ‎②这是一个很明显的四棱柱，因为侧棱的延长线不能交与一点，所以不正确．‎ ‎③如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱，‎ ‎④可以由四棱柱和三棱柱组成，‎ ‎⑤和④的想法一样，割补方法就可以得到．‎ 故答案为：①③④⑤．‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体，意在考查学生的空间想象能力.‎ ‎16.三个互不重合的平面把空间分成部分，则所有可能值为__________．‎ ‎【答案】，，或 ‎【解析】‎ 若三个平面互相平行，则可将空间分为部分；‎ 若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为部分；‎ 若三个平面交于一线，则可将空间分成部分；‎ 若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分成部分；‎ 若三个平面两两相交且三条交线交于一点（如墙角三个墙面的关系），则可将空间分成部分．故的所有可能值为，，或，故答案为，，或．‎ ‎17.已知两点，（），如果在直线上存在点，使得，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：设，则，因为，所以，所以在以圆心为原点，半径为的圆上，又在直线上，所以原点到直线的距离，即．‎ 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎18.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①；②与是异面直线；③与所成的角为；④．其中正确命题的序号是_____．‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，依次判断每个选项的正误得到答案.‎ ‎【详解】把正方体平面展开图还原成原来的正方体如图所示，则 ‎①∵，，∴，故①不正确；‎ ‎②∵四边形是平行四边形，∴，故②不正确；‎ ‎③根据为正三角形，，可知与所成的角为，故③正确；‎ ‎④根据，可知．故④正确 故正确的结论为③④．‎ 故答案为：③④.‎ ‎【点睛】本题考查了线线平行，异面直线夹角，线线垂直，意在考查学生的空间想象能力.‎ 三、解答题（共6小题）‎ ‎19.如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.‎ 求证：（1）四点共面；‎ ‎（2）三线共点.‎ ‎【答案】（1）见证明 （2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，结合平面几何知识可证得，于是可得结论成立．（2）由题意可得直线与必相交，设交点为，然后再证明点在平面与平面的交线上，进而得到结论成立．‎ ‎【详解】证明：（1）连接.‎ ‎∵分别是和的中点，‎ ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴与确定一个平面，‎ ‎∴四点共面．‎ ‎（2）由（1）知，，且，‎ ‎∴直线与必相交，设.‎ ‎∵平面，，‎ ‎∴平面.‎ 又平面，，‎ ‎∴平面，即是平面与平面的公共点，‎ 又平面平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴三线共点．‎ ‎【点睛】（1）要证明“线共面”或“点共面”，可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内．‎ ‎（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此可得点共线．‎ ‎20.已知平面内两点。‎ ‎（1）求的垂直平分线方程；‎ ‎（2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程。‎ ‎【答案】（1）；（2）和 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出中点坐标为，计算出MN两点的斜率，根据两直线垂直斜率乘积等于-1计算出中垂线的斜率，再利用点斜式写出中垂线即可。‎ ‎(2)点和点到直线的距离相等等价于直线与直线MN平行或直线过的中点。‎ ‎【详解】（1）易求得中点坐标为。又，‎ 所以的中垂线的斜率为，‎ 的中垂线的方程为即。‎ ‎（2）由（1）知，，所以直线的方程为，‎ 直线经过点得，综上：为和 ‎【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，属于基础题。‎ ‎21.已知圆经过两点，且圆心在直线上，直线方程为。‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）证明：直线与圆恒相交；‎ ‎（3）求直线被圆截得的弦长的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设圆的一般方程，将PQ点代入方程，将圆心代入直线，解方程组，即可。‎ ‎（2）求出直线：过定点，说明点M在圆内，即可。‎ ‎（3）当直线过圆心时弦长有最大值10,‎ 当直线与过圆心与定点的直线垂直时有最小值。‎ ‎【详解】（1）设圆的方程为，‎ 由条件得，解得 ‎∴圆的方程为；‎ ‎（2）由，得，‎ 令，‎ 得，即直线过定点，‎ 由，知点在圆内，‎ ‎∴直线与圆恒相交。‎ ‎（3）圆心，半径为5，由题意知，当点满足垂直于直线时，弦长最短，‎ 直线被圆心截得的最短弦长为，‎ 直径最长10，弦长的取值范围为。‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题。‎ ‎22.如果实数，满足，求：‎ ‎（1）的最大值与最小值；‎ ‎（2）的最大值与最小值；‎ ‎（3）的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）最大值为，最小值为，（2），最大值为，最小值为； （3）最大值为，最小值为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，利用圆心到直线的距离小于等于半径，计算得到答案.‎ ‎（2）设，利用圆心到直线的距离小于等于半径，计算得到答案.‎ ‎（3）的表示的是，原点到圆上的任意点的距离的平方，利用原点到圆心距离加上减去半径，平方得到最大最小值.‎ ‎【详解】（1）实数，满足，‎ 则设整理得，所以圆心到直线距离，‎ 整理得，即，‎ 所以的最大值为，最小值为．‎ ‎（2）设，所以整理直线为，‎ 圆心到直线的距离，‎ 整理得，解得，‎ 所以的最大值为，最小值为．‎ ‎（3）由于的表示的是，原点到圆上的任意点的距离的平方 所以利用最大距离为圆心到原点的距离与半径的和，‎ 即的平方，故最大值为．‎ 最小距离为的平方，故最小值为．‎ ‎【点睛】本题考查了与圆相关的取值范围的计算，转化为圆心到直线的距离和点到点的距离是解题的关键.‎ ‎23.定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比.‎ ‎（1）设圆求过（2,0）的直线关于圆的距离比的直线方程；‎ ‎（2）若圆与轴相切于点（0,3）且直线=关于圆的距离比，求此圆的的方程；‎ ‎（3）是否存在点，使过的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等？若存在，求出相应的点点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ；（3）存在.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由题意可知斜率不存在时不满足题意，所以设过的直线方程为，求得已知圆的圆心和半径，由新定义，可得方程，求得，即可得到所求直线方程；（2）设圆的方程为，由题意可得，解方程可得，，，进而得到所求圆的方程；（3）假设存在点，设过的两直线为和 ‎，求得两圆的圆心和半径，由新定义可得方程，化简整理可得或，再由恒成立思想可得，的方程，解方程可得的坐标．‎ 试题解析：（1）设过的直线方程为 ∵圆的圆心为，半径为 ∴根据题意可得 ∴，即所求直线为; （2）设圆的方程为 根据题意可得 ∴解方程可得或，则有圆的方程为或 （3）假设存在点，设过的两直线为和 又∵的圆心为，半径为，的圆心为，半径为 ∴根据题意可得，即或 ∴或, ∴或，则存在这样的点和，使得使过 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等.‎ 点睛：本题考查新定义的理解和运用，考查直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查恒成立问题的解法，属于中档题．‎