天津市北辰区2020届高三第一次诊断测试数学试题

天津市北辰区2020届高三第一次诊断测试数学试题

‎2020年高考数学一诊测试试卷 一、选择题（共9小题）‎ ‎1．若集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．设函数，则下列结论中错误的是（ ）‎ A．的一个周期为 B．的最大值为2‎ C．在区间上单调递减 D．的一个零点为 ‎4．函数的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知等差数列的公差，前项和为，若成等比数列，则（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎6．已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别是，若点是抛物线的准线与的渐近线的一个交点，且满足，则双曲线的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．函数，若方程恰有两个不等的实根，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若，，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（共6小题）‎ ‎10．是虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为______．‎ ‎11．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为_____．‎ ‎12．在的展开式中，含项的系数为_______．（用数字填写答案）‎ ‎13．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为______．‎ ‎14．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围_____．‎ ‎15．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，‎ ‎，，则______．‎ 三、解答题（共5小题）‎ ‎16．在中，内角所对的边分别为，，，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎17．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）已知点在棱上，且异面直线与成角的余弦值为，求线段的长．‎ ‎18．已知椭圆的离心率为，分别为左右焦点，为短轴的一个端点，的面积为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程 ‎（Ⅱ）若是椭圆上异于顶点且不重合的四个点，于相交于点，且，求的取值范围．‎ ‎19．已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，数列的前项和，，且．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎（3）设，，的前项和，求证：．‎ ‎20．设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，试判断零点的个数；‎ ‎（Ⅲ）当时，若对，都有成立，求的最大值．‎ 参考答案 一、选择题（共9个小题）‎ ‎1．解：集合，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：D．‎ ‎2．解：，解得：．‎ 由，解得：．‎ ‎“”是“”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎3．解：．‎ 的一个周期为，故A正确；的最大值为2，故B正确；‎ 由，得，在区间上单调递减，故C正确；‎ ‎，取时，函数值为，故D错误．‎ 故选：D．‎ ‎4．解：函数的单调递增区间，‎ 即函数在满足的条件下，的减区间．‎ 再利用二次函数的性质可得，函数在满足的条件下，的减区间为，‎ 故选：D．‎ ‎5．解：等差数列的公差，若成等比数列，‎ 可得，即，‎ 化为，‎ 由，可得，，‎ ‎，则，‎ 故选：B．‎ ‎6．解：离心率为的双曲线可得，则，‎ 双曲线的一条渐近线方程为：，抛物线的准线：，可得，‎ 双曲线的左、右焦点分别是，，‎ 满足，，解得，则；；‎ 舍去的双曲线方程为：．‎ 故选：C．‎ ‎7．解：当时，，则，‎ 又为偶函数，故，‎ ‎①当，即时，不等式等价为，解得，此时﹣2≤x＜3；;‎ ‎②当，即时，不等式等价为，解得，此时；‎ 综上，不等式的解集为．‎ 故选：C．‎ ‎8．解：由函数，‎ 可得的图象和函数有两个不同的交点，‎ 如图所示：故有，‎ 故选：C．‎ ‎9．解：函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，‎ 函数为上的偶函数．‎ 当时，（其中是的导函数），‎ ‎，‎ 令，则，‎ ‎，‎ 当时，，．．‎ 当时，，．．‎ 时，．‎ 函数在时单调递增．‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 即．‎ 故选：D．‎ 二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）‎ ‎10．解：是纯虚数，‎ ‎，即．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎11．解：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，‎ 抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，‎ 设这批米内夹谷约为石，‎ 则，解得（石）．‎ 这批米内夹谷约为108石．‎ 故答案为：108石．‎ ‎12．解：由于的展开式的通项公式为，‎ 令，解得，故展开式中的系数是，‎ 故答案为：20．‎ ‎13．解：等边三角形的边长为2，‎ 将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径，‎ 以1为高的两个圆锥的组合体，‎ 将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为：‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎14．解：由，可得，‎ 而恒成立，‎ 所以恒成立，‎ 即恒成立，‎ 解得．‎ 故答案为：．‎ ‎15．解：由，，可得点为线段的中点，点为线段的三等分点靠近点处，‎ 由菱形的边长为2，，得：，，‎ 则，‎ 故答案为：．‎ 三、解答题（共5个小题，每小题15分，共75分）‎ ‎16．解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得：‎ ‎，‎ 又，，，‎ ‎，‎ 解得；‎ ‎（Ⅱ）由，‎ 所以，‎ 由正弦定理得：‎ ‎，‎ 得，‎ 又，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 故答案为：．‎ ‎17．【解答】证明：（Ⅰ）四边形是正方形，，‎ 四边形是梯形，，，，‎ 平面平面，‎ 平面，平面．‎ 解：（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ 设二面角的大小为，由图形得为钝角，‎ 则，‎ ‎，‎ 二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，‎ 设，则，，，，‎ ‎，‎ 解得，线段的长为．‎ ‎18．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率，则，，‎ 的面积的面积，则，‎ 解得：，，，‎ 椭圆的标准方程：；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，由函数的对称性，直线的斜率存在且不为0，‎ 设直线，且，，，‎ ‎，整理得：，‎ ‎，，‎ 则，‎ 将代入上式可得，‎ 则，，‎ 由，则，‎ 的取值范围．‎ ‎19．解：（1）等比数列的各项均为正数，设公比为，，‎ 由成等差数列，可得，即，即，解得（舍去），‎ 由，可得，即，‎ 解得，则；‎ 数列的前项和，，且，‎ 可得时，，又，两式相减可得，‎ 化为，则，‎ 上式对也成立，则，；‎ ‎（2），‎ 当为偶数时，前项和；‎ 当为奇数时，；‎ ‎（3）证明：，‎ 则前项和，‎ 即有．‎ ‎20．解：（Ⅰ），．‎ 时，，函数在上单调递增．‎ 时，，．‎ 则在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（Ⅱ）时，．‎ ‎，．‎ 则在上单调递减，在上单调递增．‎ 时，函数取得极小值即最小值，．‎ 时，；时，．‎ 函数存在两个零点．‎ ‎（Ⅲ）当时，对，都有成立，‎ 化为：，‎ ‎．‎ 令，，‎ ‎，‎ 函数在调递增，‎ ‎，，‎ 存在唯一的，使得，即，‎ 函数在内单调递减，在单调递增．‎ ‎，‎ ‎，．‎ 的最大值为0．‎