2020届二轮复习函数的极值和最值（理）学案（全国通用）

2020届二轮复习函数的极值和最值（理）学案（全国通用）

函数的极值和最值 ‎【考纲要求】‎ ‎1.掌握函数极值的定义。‎ ‎2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. ‎ ‎3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 ‎4.会求给定闭区间上函数的最值。‎ ‎【知识网络】‎ 函数极值的定义 函数极值点条件 函数的极值 求函数极值 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 ‎【考点梳理】‎ 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数在点及其附近有定义，‎ ‎（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作 ‎；‎ ‎（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.‎ 极大值与极小值统称极值.‎ 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.‎ 要点诠释：‎ 求函数极值的的基本步骤：‎ ‎①确定函数的定义域；‎ ‎②求导数；‎ ‎③求方程的根；‎ ‎④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)‎ 要点二、函数的最值 ‎1.函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间 内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.‎ 要点诠释：‎ ‎①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。‎ ‎②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。‎ ‎2.通过导数求函数最值的的基本步骤：‎ 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：‎ ‎（1）求函数在内的导数；‎ ‎（2）求方程在内的根；‎ ‎（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；‎ ‎（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 函数的极值和最值394579 ‎ 例1.已知函数若函数处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；‎ ‎【解析】‎ 因为处取得极值 所以 所以。‎ 又 所以在点处的切线方程 即.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】设为实数，函数．‎ ‎(1)求的单调区间与极值；‎ ‎(2)求证：当且时，．‎ ‎ 【解析】（1）由知．‎ 令，得．于是当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 单调递增 故的单调递减区间是，单调递增区间是，‎ 处取得极小值，极小值为 ‎(2)证明：设，‎ 于是，‎ 由(1)知当时，最小值为 于是对任意，都有，所以在R内单调递增．‎ 于是当时，对任意，都有．‎ 而，从而对任意．‎ 即，故．‎ ‎【变式2】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（　　　）‎ A．1个 　　　　 B．2个 　　　C．3个 　　　　 D．4个 ‎【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。‎ 类型二：利用导数解决函数的最值问题 函数的极值和最值394579 典型例题三】‎ 例2.已知函数其中。‎ ‎ （1）若函数存在零点，求实数的取值范围；‎ ‎ （2）当时，求函数的单调区间；并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。‎ ‎【解析】（1）因为函数存在零点，则有实根，‎ ‎，即 ‎（2）当时，函数定义域为 由，则 由，则 由，则 列表如下：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 所以在，上单调增，在上单调减。‎ 又知当时，；时，；‎ 而，所以存在最小值.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知函数(),.‎ ‎(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;‎ ‎(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.‎ ‎【解析】(1)由为公共切点可得:,‎ 则,, ‎ ‎,则,,‎ ‎① ‎ 又,,‎ ‎,即,‎ 代入①式可得:. ‎ ‎(2),‎ 设 ‎ 则,令,‎ 解得:,; ‎ ‎,, ‎ 原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增 ‎ ‎①若,即时,最大值为; ‎ ‎②若,即时,最大值为 ‎ ‎③若时,即时,最大值为. ‎ 综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为. ‎ 例3（2017 东城区模拟）已知函数，．‎ ‎(Ⅰ)若在处取得极值，求的值；‎ ‎(Ⅱ)求在区间上的最小值；‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若，求证：当时，恒有成立． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，定义域为，得．‎ 因为函数在处取得极值，所以，即，解得．‎ 经检验，满足题意，所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为．‎ 当时，有，在区间上单调递增，最小值为；‎ 当，由得，且．‎ 当时，，单调递减，当时，，单调递增，‎ 所以在区间上单调递增，最小值为；‎ 当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，‎ 所以函数在取得最小值．‎ 综上当时，在区间上的最小值为；‎ 当时，在区间上的最小值为．‎ ‎（Ⅲ）由得．‎ 当时，，，‎ 欲证，只需证， ‎ 即证，即．‎ 设，‎ 则．‎ 当时，，所以在区间上单调递增．‎ 所以当时，，即，‎ 故．‎ 所以当时，恒成立．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】设函数求的最小值;‎ ‎【解析】函数f（x）的定义域为（0，1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令 当时，, ∴在区间是减函数；‎ 当时，, ∴在区间是增函数.‎ ‎∴在时取得最小值且最小值为.‎ ‎【变式2】(2018 江苏高考) 已知函数.‎ ‎ (1)试讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若b＝c-a(实数c是a与无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值.‎ ‎【解析】(1)f′(x)＝3x2+2ax，令f′(x)＝0，解得．‎ 当a＝0时，因为f′(x)＝3x2＞0，(x≠0)，所以函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递增；‎ 当a＞0时，时，f′(x)＞0，时，f′(x) ＜0，所以函数f(x)在，(0，+∞)上单调递增，在上单调递减；‎ 当a＜0时，时，时，f′(x)＜0，‎ 所以函数f(x)在(-∞，0)，上单调递增，在上单调递减．‎ ‎(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b，，‎ 则函数f(x)有三个零点等价于，‎ 从而或．‎ 又b＝c-a，所以当a＞0时，或当a＜0时，．‎ 设，因为函数f(x)有三个零点时，‎ a的取值范围恰好是，‎ 则在(-∞，-3)上g(a)＜0，且在上g(a) ＞0均恒成立，‎ 从而g(-3)＝c-1≤0，且，因此c＝1．‎ 此时，，‎ 因函数有三个零点，则有两个异于-1的不等实根，‎ 所以，且，‎ 解得．‎ 综上c＝1．‎ 类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用 例4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元．设该容器的建造费用为千元．‎ ‎ ‎ ‎(1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎(2)求该容器的建造费用最小时的．‎ ‎【解析】(1)设容器的容积为V，‎ ‎ 由题意知，又，‎ ‎ 故．‎ ‎ 由于，因此．‎ ‎ 所以建造费用，‎ 因此，．‎ ‎(2)由(1)得，．‎ ‎ 由于，所以，‎ ‎ 当时，．‎ ‎ 令，则m＞0，‎ 所以．‎ ‎①当即时，‎ ‎ 当时，；‎ ‎ 当时，；‎ ‎ 当时，，‎ 所以是函数y的极小值点，也是最小值点．‎ ‎②当即时，当时，函数单调递减，‎ ‎ 所以r=2是函数y的最小值点，‎ ‎ 综上所述，当时，建造费用最小时，‎ 当时，建造费用最小时．‎