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文档介绍
2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2018-2019 学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试 数学(文)试题 一、单选题 1.一支田径队有男运动员 560 人,女运动员 420 人,为了解运动员的健康情况,从 男运动员中任意抽取 16 人,从女生中任意抽取 12 人进行调查.这种抽样方法是( ) A.简单随机抽样法 B.抽签法 C.随机数表法 D.分层抽样法 【答案】D 【解析】若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样 【详解】 总体由男生和女生组成,比例为 560:420=4:3,所抽取的比例也是 16:12=4:3. 故选:D. 【点睛】 本小题主要考查抽样方法,当总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方 法进行抽样,属基本题. 2.已知 ,其中 是实数, 是虚数单位,则 的共轭复数为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵ ,∴x=2,y=1,∴复数 2+i 的共轭复数为 ,故 选 D 3.命题“若 , ,则 ”的逆否命题是 ( ) A.若 , ,则 B.若 , ,则 C.若 且 , ,则 D.若 或 , ,则 【答案】D 【解析】根据逆否命题的定义进行判断即可. 【详解】 根据逆否命题的定义可得命题的逆否命题为: 若 x≠0或 y≠0,x、y∈R,则 x2+y2≠0, 故选:D. 【点睛】 本题主要考查逆否命题的判断,根据逆否命题的定义是解决本题的关键.比较基础. 4.当 时,比较 和 的大小并猜想 A. 时, B. 时, C. 时, D. 时, 【答案】D 【解析】 当 时, ,即 ;当 时, ,即 ;当 时, ,即 ; 当 时, ,即 ;当 时, ,即 ;当 时, ,可猜 想 时, ,故选 D. 【方法点睛】本题通过观察几组不等式,归纳出一般规律来考察归纳推理,属于中档题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同 性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归 纳两类:(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳,解决此类问题时,需要细心观察, 寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列 等;(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 5.在正方形 ABCD 内随机生成 n 个点,其中在正方形 ABCD 内切圆内的点共有 m 个,利用随机模拟的方法,估计圆周率 的近似值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】按照几何概型来计算圆周率,先表示出两个图形的面积,求出豆子落在圆中的 概率,根据比例得出圆周率的近似值. 【详解】 由题意知,本题可以按照几何概型来计算出圆周率, 设正方形的边长为 2,正方形的面积是 2×2=4, 圆的面积是π×12=π, ∴ ,∴ 故选:C. 【点睛】 本题考查了模拟方法估计概率的应用问题,是利用面积比表示概率. 6.已知命题 p: 0x , 4 4x x ;命题 q: 0x R , 02 1x .则下列判断正 确的是( ) A. p是假命题 B.q是真命题 C. ( )p q 是真命题 D. ( )p q 是真命题 【答案】C 【解析】试题分析:由于命题 p: 0x , 4 42 4x x x x ,故命题 p是真命题; 由于 x R , 2 0x ,可知命题 q是假命题, q 所以是真命题,故选 C. 【考点】 复合命题的真值的判定和运用. 7.直线 与圆 相交于 , 两点,则“ ”是“ ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 直线 与圆 相交于 两点, 圆心到直线的距离 ,则 ,当 时, ,即充分 性成立,若 ,则 ,即 ,解得 或 ,即必要性不成立, 故“ ”是“ ”的充分不必要条件,故选 A. 8.从集合 中随机选取一个数记为 ,从集合 中随机选取一 个数记为 ,则直线 不经过第四象限的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】从集合 , 中随机选取后组合成的数对有 , , , , , , , , ,共 种,要使直线 不经过第四象限,则需 , ,共有 种满足, 所以所求概率 . 9.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n的值为 6,则输出 s的值为( ) A.105 B.16 C.15 D.1 【答案】C 【解析】试题分析:根据程序框图确定框图所要执行的运算,由输入的 依次进行运算 求 ,根据判断框中的条件判断运算是否执行,得到结果,故选 C. 【考点】程序框图. 10.设 F 为抛物线 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若 ,则 = ( ) A.9 B.6 C.4 D.3 【答案】B 【解析】先设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),根据抛物线方程求得焦点坐标和 准线方程,再依据 0,判断点 F是△ABC重心,进而可求 x1+x2+x3的值.最 后根据抛物线的定义求得答案. 【详解】 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 抛物线焦点坐标 F(1,0),准线方程:x=﹣1 ∵ , ∴点 F是△ABC重心 则 x1+x2+x3=3 y1+y2+y3=0 而|FA|=x1﹣(﹣1)=x1+1 |FB|=x2﹣(﹣1)=x2+1 |FC|=x3﹣(﹣1)=x3+1 ∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=(x1+x2+x3)+3=3+3=6 故选:B. 【点睛】 本题主要考查了抛物线的简单性质.解本题的关键是判断出 F点为三角形的重心. 11.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手, 甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获 奖.”四位歌手的话只有两位是对的,则获奖的歌手是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】C 【解析】若甲是获奖的歌手,则四句全是假话,不合题意;若乙是获奖的歌手,则甲、 乙、丁都说真话,丙说假话,与题意不符;若丁是获奖的歌手,则甲、丁、丙都说假话, 乙说真话,与题意不符;当丙是获奖的歌手,甲、丙说了真话,乙、丁说了假话,与题 意相符. 故选 C. 点睛:本题主要考查的是简单的合情推理题,解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分 别是获奖歌手时的,甲乙丙丁说法的正确性即可. 12.已知点 分别为双曲线 的左、右焦点, 为双曲线左 支上的任意一点,若 的最小值为 ,则双曲线的离心率为 A.2 B.5 C.3 D.2 或 5 【答案】B 【解析】首先利用双曲线的定义求出关系式,进一步利用 的最小值为 9a,确定 m =a或 4a,此时 c=2a或 5a,即可求出双曲线的离心率. 【详解】 设 ,根据双曲线定义: , 所以 , 因为 的最小值为 , 所以(提示:根据“对勾函数”的特征) (不合题意舍去)或 , 此时 ,所以双曲线的离心率为 5. 故选:B 【点睛】 本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,其中根据条件转化为圆锥曲线的离心 率的方程,得到 a,c的关系式是解得的关键,对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围), 常见有两种方法:①求出 a,c,代入公式 ;②只需要根据一个条件得到关于 a,b,c的 齐次式,转化为 a,c的齐次式,然后转化为关于 e的方程(不等式),解方程(不等式),即 可得 e (e的取值范围). 二、填空题 13.用反证法证明命题:“若 , 且 ,则 和 中至少有一个 小于 2”时,应假设___. 【答案】假设 两者都大于或等于 2 【解析】由于“ , 中至少有一个小于 ”的反面是: “ , 都大 于或等于 ”,故用反证法证明命题: “若 且 ,则 , 中至 少有一个小于 ”时,应假设 , 都大于或等于 ,故答案为 和 都 大于或等于 . 14.类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形 ABC 中的两边 AB,AC 互相垂直,则 三角形三边长之间满足关系: .若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC,ACD, ADB 两两互相垂直,则三棱锥的三个侧面积 , , 与底面积 S 之间满足的关系 为__. 【答案】 【解析】斜边的平方等于两个直角边的平方和,可类比到空间就是斜面面积的平方等于 三个直角面的面积的平方和,边对应着面. 【详解】 由边对应着面,边长对应着面积, 由类比可得 , 故答案为 . 【点睛】 本题考查了从平面类比到空间,属于基本类比推理. 15.若关于 x 的不等式 对任意 恒成立,则实数 a 的取值 范围是 ___. 【答案】 或 【解析】利用绝对值三角不等式可得|x+3|﹣|x﹣1|≤|(x+3)﹣(x﹣1)|=4,于是解不等 式 a2﹣3a≥4即可求得答案. 【详解】 ∵|x+3|﹣|x﹣1|≤|(x+3)﹣(x﹣1)|=4, 不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a,对任意实数 x恒成立, ∴a2﹣3a≥4,即(a﹣4)(a+1)≥0, 解得: 或 , ∴实数 a的取值范围为 或 , 故答案为: 或 . 【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法,着重考查绝对值三角不等式|x+a|﹣|x+b|≤|a﹣b|的应用, 考查等价转化思想与恒成立问题,属于中档题. 16.已知 A 为椭圆 上的动点,MN 为圆 的一条直径,则 的最大值为_____. 【答案】15 【解析】由题意画出图形,得到椭圆上离圆心最远的点 A,在设出圆的直径两端点的坐 标,由平面向量数量积运算求得答案. 【详解】 作出椭圆和圆对应的图象如图, • 圆(x﹣1)2+y2=1在椭圆内,椭圆上的所有点只有左顶点到圆心(1,0)距离最远, 由题意可设圆的直径的两个端点为 M(1+cosθ,sinθ),N(1﹣cosθ,﹣sinθ), 又 A(﹣3,0), ∴ (4+cosθ,sinθ), (4﹣cosθ,﹣sinθ), 则 • 16﹣cos2θ﹣sin2θ=15. ∴AM•AN的最大值为 15. 故答案为:15. 【点睛】 本题考查椭圆的简单性质,考查了平面向量的数量积运算,考查了数形结合的解题思想 方法,是中档题. 三、解答题 17.用综合法或分析法证明: (1)如果 ,则 ; (2) . 【答案】(1)见证明;(2)见证明 【解析】(1)利用基本不等式,结合 y=lgx 在(0,+∞)上增函数即可证明; (2)用分析法证明不等式成立,就是寻找使不等式成立的充分条件,直到使不等式成 立的充分条件显然成立为止. 【详解】 证明:(1)当 a,b>0 时,有 ≥ >0, ∴lg ≥lg , ∴lg ≥ lg (ab)= . ∴lg ≥ ; (2)要证 + >2 +2, 只要证( + )2>(2 +2)2, 即 2 >2 ,显然成立的, 所以,原不等式成立. 【点睛】 本题考查综合法或分析法,考查对数函数的单调性和定义域,基本不等式的应用,掌握 这两种方法证明不等式是关键,属于中档题. 18.已知复数 ,试求:当实数 a 取什么值时,复数 z 为: (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? 【答案】(1) (2) (3)不存在实数 a 【解析】(1)当 z为实数时,则有 a2﹣5a﹣6=0,a2﹣1≠0,解出即可得出. (2)当 z为虚数时,则有 ,解出即可得出. (3)当 z为纯虚数时,则有 .解出即可得出. 【详解】 (1) 当复数 z 为实数时, 所以 所以 . 所以当 时,复数 z 为实数. (2) 当复数 z 为虚数时, 所以 所以 且 . 所以当 时,复数 z 为虚数. (3) 当复数 为纯虚数时, 所以 所以不存在实数 a,使复数 z 为纯虚数. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则及其有关知识、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计 算能力,属于基础题. 19.某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于 120 分为 优秀,120 分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的 列联表,且已知在甲、乙 两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 . (1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,是否有 99.9% 的把握认为“成绩与班级有关系”. 参考公式与临界值表: . 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【解析】(1)根据题意填写列联表即可; (2)由表中数据计算观测值,对照临界值得出结论. 【详解】 (1) (2) ,没有 99.9% 的把握认为成绩与班级有关. 【点睛】 独立性检验的一般步骤:(1)根据样本数据制成 列联表;(2)根据公式 计算 的值;(3) 查表比较 与临界值的大小关系,作统计 判断.(注意:在实际问题中,独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系,得到的结论 也可能犯错误.) 20.某公司经营一批进价为每件 4 百元的商品,在市场调查时发现,此商品的销售单 价 x(百元)与日销售量 y(件)之间有如下关系: 相关公式: , . (1)求 y 关于 x 的回归直线方程; (2)借助回归直线方程请你预测,销售单价为多少百元(精确到个位数)时,日利润 最大? 【答案】(1) (2)见解析 【解析】(1)求求出回归系数,即可 y关于 x的回归直线方程; (2)销售价为 x时的利润为(x﹣4)(﹣2x+20.8)=﹣2x2+28.8x﹣83.2,即可得出结论. 【详解】 (1) 因为 , ,所以, . 于是得到 y 关于 x 的回归直线方程 . (2) 销售价为 x 时的利润为 . 当 时,日利润最大. 【点睛】 求回归直线方程的步骤:①依据样本数据画出散点图,确定两个变量具有线性相关关系; ②计算 的值;③计算回归系数 ;④写出回归直线方程为 ; 回 归直线过样本点中心 是一条重要性质,利用线性回归方程可以估计总体,帮助我们 分析两个变量的变化趋势. 21.已知抛物线 ,直线 与 E 交于 A,B 两点,且 , 其中 O 为原点. (1)求抛物线 E 的方程; (2)点 C 坐标为 (0,-2),记直线 CA,CB 的斜率分别为 , ,证明: 为 定值. 【答案】(1) ;(2)证明过程详见解析. 【解析】试题分析:本题考查抛物线的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的数量 积等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力、综合分析和 解决问题的能力.第一问,将直线与抛物线方程联立,消去参数 ,得到关于 的方程,得 到两根之和两根之积,设出点 的坐标,代入到 中,化简表达式,再将上述 两根之和两根之积代入得出 的值,从而得到抛物线的标准方程;第二问,先利用点 的坐标得出直线 的斜率,再根据抛物线方程转化参数 ,得到 和 的关系式, 代入到所求证的式子中,将上一问中的两根之和两根之积代入,化简表达式得出常数即 可. 试题解析:(Ⅰ)将 代入 ,得 . 2 分 其中 设 , ,则 , . 4 分 . 由已知, , . 所以抛物线 的方程 . 6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, , . ,同理 , 10 分 所以 . 12 分 【考点】1.抛物线的标准方程;2.韦达定理;3.向量的数量积;4.直线的斜率公式. 22.(本小题满分 12 分)已知椭圆 : 2 2 2 2 1x y a b ( 0a b )的半焦距为 c,原点 到经过两点 ,0c , 0,b 的直线的距离为 1 2 c. (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)如图,是圆 : 2 2 52 1 2 x y 的一条直径,若椭圆经过,两 点,求椭圆的方程. 【答案】(Ⅰ) 3 2 ;(Ⅱ) 2 2 1 12 3 x y . 【解析】试题分析:(Ⅰ)先写过点 ,0c , 0,b 的直线方程,再计算原点到该直线 的距离,进而可得椭圆的离心率;(Ⅱ)先由(Ⅰ)知椭圆的方程,设的方程, 联立 2 2 2 2 1 4 4 y k x x y b ,消去 y ,可得 1 2x x 和 1 2x x 的值,进而可得 k ,再利用 10 可得 2b 的值,进而可得椭圆的方程. 试题解析:(Ⅰ)过点 ,0c , 0,b 的直线方程为 0bx cy bc+ - = , 则原点到直线的距离 2 2 bc bcd ab c , 由 1 2 d c= ,得 2 22 2a b a c= = - ,解得离心率 3 2 c a = . (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,椭圆的方程为 2 2 24 4x y b+ = . (1) 依题意,圆心 2,1 是线段的中点,且 | AB | 10= . 易知,不与 x轴垂直,设其直线方程为 ( 2) 1y k x= + + ,代入(1)得 2 2 2 2(1 4 ) 8 (2 1) 4(2 1) 4 0k x k k x k b+ + + + + - = 设 1 1 2 2( , y ),B( , y ),A x x 则 2 2 1 2 1 22 2 8 (2 1) 4(2 1) 4, . 1 4 1 4 k k k bx x x x k k + + - + = - = - + + 由 1 2 4x x+ = - ,得 2 8 (2 1) 4, 1 4 k k k + - = - + 解得 1 2 k = . 从而 2 1 2 8 2x x b= - . 于是 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 5| AB | 1 | | 4 10( 2) 2 2 x x x x x x b . 由 | AB | 10= ,得 210( 2) 10b - = ,解得 2 3b = . 故椭圆的方程为 2 2 1 12 3 x y + = . 解法二:由(Ⅰ)知,椭圆的方程为 2 2 24 4x y b+ = . (2) 依题意,点,关于圆心 2,1 对称,且 | AB | 10= . 设 1 1 2 2( , y ),B( , y ),A x x 则 2 2 2 1 14 4x y b+ = , 2 2 2 2 24 4x y b+ = , 两式相减并结合 1 2 1 24, y 2,x x y+ = - + = 得 ( )1 2 1 2-4( ) 8 0x x y y- + - = . 易知,不与 x轴垂直,则 1 2x x ,所以的斜率 1 2 1 2 1k . 2AB y y x x - = = - 因此直线方程为 1 ( 2) 1 2 y x= + + ,代入(2)得 2 24 8 2 0.x x b+ + - = 所以 1 2 4x x+ = - , 2 1 2 8 2x x b= - . 于是 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 5| AB | 1 | | 4 10( 2) 2 2 x x x x x x b . 由 | AB | 10= ,得 210( 2) 10b - = ,解得 2 3b = . 故椭圆的方程为 2 2 1 12 3 x y + = . 【考点】1、直线方程;2、点到直线的距离公式;3、椭圆的简单几何性质;4、椭圆的 方程;5、圆的方程;6、直线与圆的位置关系;7、直线与圆锥曲线的位置.查看更多