2019届二轮复习（理）专题49随机抽样学案（全国通用）

2019届二轮复习（理）专题49随机抽样学案（全国通用）

‎1.理解随机抽样的必要性和重要性；‎ ‎2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；‎ ‎3.了解分层抽样和系统抽样方法.‎ ‎4.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题. ‎ 一 、简单随机抽样 ‎1．定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．‎ ‎2．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．‎ ‎3．抽签法与随机数法的区别与联系 抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法，但是抽签法适合在总体和样本都较少，容易搅拌均匀时使用，而随机数法除了适合总体和样本都较少的情况外，还适用于总体较多但是需要的样本较少的情况，这时利用随机数法能够快速地完成抽样． ‎ 二 、系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．‎ ‎1．先将总体的N个个体编号．‎ ‎2．确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取k＝.‎ ‎3．在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．‎ ‎4．按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．‎ 三、分层抽样 ‎1．定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．‎ ‎2．分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成的，往往选用分层抽样．‎ ‎【必会结论】‎ ‎1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．‎ ‎2．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差的整数倍．‎ ‎3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．‎ 高频考点一 随机抽样方法 例1.某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是(　　)‎ A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B．这次抽样一定没有采用系统抽样 C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 答案　A ‎【特别提醒】应用简单随机抽样应注意的问题 ‎(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．‎ ‎(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．‎ ‎【变式探究】用随机数表法对一个容量为500编号为000,001,002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数(下面摘取了随机数表中的第11行至第15行)，根据下图，读出的第三个数是(　　)‎ ‎18 18 07 92 4544 17 16 58 0979 83 86 19 6206 76 50 03 1055 23 64 05 05‎ ‎26 62 38 97 7584 16 07 44 9983 11 46 32 2420 14 85 88 4510 93 72 88 71‎ ‎23 42 40 64 7482 97 77 77 8107 45 32 14 0832 98 94 07 7293 85 79 10 75‎ ‎52 36 28 19 9550 92 26 11 9700 56 76 31 3880 22 02 53 5386 60 42 04 53‎ ‎37 85 94 35 1283 39 50 08 3042 34 07 96 8854 42 06 87 9835 85 29 48 39‎ A．841 B．114 C．014 D．146‎ 答案　B 解析　从第12行第5列的数开始向右读数，第一个的编号为389，下一个775,775大于499，故舍去，再下一个841(舍去)，再下一个607(舍去)，再下一个449，再下一个983(舍去)，再下一个114，读出的第三个数是114. ‎ 高频考点二 分层抽样 例　2.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．‎ 答案　18‎ ‎【方法技巧】分层抽样的步骤 ‎(1)将总体按一定标准分层；‎ ‎(2)计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量；‎ ‎(3)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)．‎ ‎【变式探究】某大学为了解在校本 生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本 生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本 生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本 生中抽取 名学生．‎ 答案　60‎ 解析　由分层抽样的特点可得应该从一年级本 生中抽取×300＝60名学生．‎ 高频考点三 系统抽样 例3、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)‎ A．7 B．9 C．10 D．15‎ 答案　C 解析　抽样间隔为30，所以第k组被抽中的号码为9＋30(k－1)．令451≤9＋30(k－1)≤750,15≤‎ k≤25，k∈N ，∴做B卷的人数为10人．‎ ‎【方法技巧】系统抽样的特点及抽样技巧 ‎(1)系统抽样的特点——机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．‎ ‎(2)系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．‎ ‎【变式探究】　将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 (　　)‎ A．26,16,8 B．25,17,8 ]‎ C．25,16,9 D．24,17,9‎ 答案　B 高频考点 分层抽样与概率相结合问题 某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：‎ 学历 ‎35岁以下 ‎35 50岁 ‎50岁以上 本 ‎ ‎80‎ ‎30‎ ‎20‎ 研究生 x ‎20‎ y ‎(1)用分层抽样的方法在35 50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；‎ ‎(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x，y的值．‎ ‎(2)由题意，得＝，解得N＝78.‎ ‎∴35 50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20， | ]‎ ‎∴＝＝，解得x＝40，y＝5.‎ 即x，y的值分别为40,5.‎ ‎【规律总结】系统抽样和分层抽样中的注意事项 ‎(1)系统抽样最大的特点是“等距”，利用此特点可以很方便地判断一种抽样方法是否是系统抽样．‎ ‎(2)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.‎ ‎【变式探究】最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：‎ 赞成改革 不赞成改革 无所谓 ‎ 教师 ‎120‎ y ‎40‎ 学生 x ‎ ‎ ‎130‎ 在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且 ＝2y.‎ ‎(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？‎ ‎(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率．‎ 解　(1)由题意知＝0.3，所以x＝150，所以y＋ ＝60，‎ 因为 ＝2y，所以y＝20， ＝40，‎ 则应抽取“不赞成改革”的教师人数为×20＝2，‎ 应抽取“不赞成改革”的学生人数为×40＝4.‎ ‎(2)从抽取的“不赞成改革”的2名教师，4名学生中，随机选出3人的不同选法有C种，‎ 其中有1名教师的选法有CC种，有2名教师的选法有CC种，‎ 故至少有1名教师被选出的概率P＝＝.学 . ‎ ‎1. （2018年江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为 . ]‎ ‎1．(2017·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．‎ 答案：18‎ ‎1．[2015·四川高考]某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)‎ A．抽签法 B．系统抽样法 ]‎ C．分层抽样法 D．随机数法 答案　C 解析　最合理的抽样方法是分层抽样法．选C项．‎ ‎2．[2015·天津高考]设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．‎ ‎(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；‎ ‎(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．‎ ‎①用所给编号列出所有可能的结果；‎ ‎②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．‎ 解　(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.‎ ‎②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为CC＋C种，因此，事件A发生的概率P(A)＝＝. ‎