2018-2019学年湖南省益阳市第六中学高二下学期期中考试数学(理)试题

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2018-2019学年湖南省益阳市第六中学高二下学期期中考试数学(理)试题

湖南省益阳市第六中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷(理)‎ 时量:120分钟 总分:150分 ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 设全集,集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知i是虚数单位,复数z满足,则z的虚部是( )‎ A.1 B.i C.-1 D.-i ‎3. 函数的图象与函数的图象的交点个数是( )‎ A.2 B.‎3 C.4 D.5 ‎ ‎4. 若向量的夹角为,且,则向量与向量的夹角为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 已知,,若不等式恒成立,则m的最大值为( )‎ A.9 B.‎12 ‎C.18 D.24‎ ‎6.已知,且,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1,AB⊥BC,AB=BC=AA1=2,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 已知定义在 上的函数 (为实数)为偶函数,记, ‎ 则 的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.直线分别与交于两点,点在圆上,则面积的取值范围是( )‎ 输出 开始 否 结束 是 A. B. C. D.‎ ‎10. 执行如图所示的程序框图,则输出的值为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知函数是定义在R上的偶函数,设函数的导数为,若对任意的都有成立,则( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎12.设双曲线的左、右焦点分别为、。若直线与双曲线C交于两点,且四边形为矩形,则双曲线的离心率为( ) ‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.若实数满足则的最大值是 .‎ ‎14. 的展开式中,的系数是 。(用数字填写答案)‎ ‎15.来自甲,乙,丙3个班级的5名同学站成一排照相,其中甲班有2名同学,乙班有2名同学,丙班有1名同学,则仅有一个班级的同学相邻的站法种数有 。(用数字作答)‎ ‎16. 已知,若存在实数,使函数有两个零点,则的取值范围是 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (10分) 若数列的前项和为,且 .‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若 ,令,求数列的前项和.‎ ‎18. (12分)已知函数 ‎(1)求函数在上的单调递减区间;‎ ‎(2)在锐角中,内角的对边分别为,已知,‎ ‎,求的面积.‎ ‎19. (12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入(单位:千元)的数据如下表:‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入 ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎(1)求关于t的线性回归方程.‎ ‎(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:‎ ‎.‎ ‎20.(12分) 如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,‎ ‎,平面,点E在上,。‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)设,若所成的二面角为,求的长.‎ B E A C D ‎21.(12分) 已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,线段的中点为。‎ ‎(1)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;‎ ‎(2)若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形?若能,求此时的斜率;若不能,说明理由。‎ ‎22. (12分)已知函数 ‎(1)若函数处取得极值,求实数的值,并求此时上的最大值;‎ ‎(2)若函数不存在零点,求实数的取值范围。‎ ‎2019年益阳市六中高二期中考试试题参考答案 数学(理科)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 设全集,集合,则( A )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知i是虚数单位,复数z满足,则z的虚部是( A )‎ A.1 B.i C.-1 D.-i ‎3. 函数的图象与函数的图象的交点个数是( B )‎ A.2 B.3 C.4 D.5 ‎ ‎4. 若向量的夹角为,且,则向量与向量的夹角为( B )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 已知, ,若不等式恒成立,则m的最大值为( B )‎ A.9 B.12 C.18 D.24‎ ‎6.已知,且,则等于( D )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1,AB⊥BC,AB=BC=AA1=2,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( C )‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 已知定义在 上的函数 (为实数)为偶函数,记, ‎ 则 的大小关系为( C )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.直线分别与交于两点,点在圆上,则面积的取值范围是( A )‎ A. B. C. D.‎ 输出 开始 否 结束 是 ‎10. 执行如图所示的程序框图,则输出的值为( D ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知函数是定义域在R上的偶函数,设函数的导数为,若对任意的都有成立,则( A )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎12.设双曲线的左、右焦点分别为、。若直线与双曲线C交于两点,且四边形为矩形,则双曲线的离心率为( D ) ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.若实数满足则的最大值是 2 .‎ ‎14. 的展开式中,的系数是 10 。(用数字填写答案)‎ ‎15.来自甲,乙,丙3个班级的5名同学站成一排照相,其中甲班有2名同学,乙班有2名同学,丙班有1名同学,则仅有一个班的同学相邻的站法种数有 48 。(用数字作答)‎ ‎16. 已知,若存在实数,使函数有两个零点,则的取值范围是 .‎ 三、解答题(本题共7道题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,第7题12分)‎ ‎17.若数列的前项和为,首项且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,令,求数列的前项和.‎ 解:(1)或;(2).‎ 解析:(1)当时,,则 ‎ ‎ 当时,,‎ 即或 或 ‎ ‎(2)由,,‎ ‎ ‎ ‎18. 已知函数 ‎(1)求函数在上的单调递减区间;‎ ‎(2)在锐角中,内角的对边分别为,已知,‎ ‎,求的面积.‎ 答:(1) ‎ ‎(2)‎ ‎19. 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎(1)求y关于t的线性回归方程.‎ ‎(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:‎ ‎.‎ ‎【解析】(1)因为==4,‎ ‎==4.3,‎ 设回归方程为y=bt+a,代入公式,经计算得 b===,‎ a=-b=4.3-×4=2.3,‎ 所以,y关于t的回归方程为y=0.5t+2.3.‎ ‎(2)因为b=>0,所以2007年至2013年该地区人均纯收入稳步增长,预计到2015年,‎ 该地区人均纯收入y=0.5×9+2.3=6.8(千元),‎ 所以,预计到2015年,该地区人均纯收入约6800元左右.‎
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