数学（理）卷·2019届云南省玉溪市玉溪一中高二上学期期末考试（2018-01）

数学（理）卷·2019届云南省玉溪市玉溪一中高二上学期期末考试（2018-01）

玉溪一中2017—2018学年上学期高二年级期末考 理科数学试卷 命题人：飞超 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1、已知全集，集合，集合 ，则( )‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2、在等差数列中，若，，则　　　　( )‎ ‎ A． B．0 C．1 D．6‎ ‎3、抛物线的准线方程是( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4、已知直线分别在两个不同的平面内，则“”是“平面平面”的( )‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5、若满足 则的最大值为( )‎ ‎ A． B． C．5 D．9‎ ‎6、函数的零点所在的区间是( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7、函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )‎ ‎ A． ‎ ‎ B． ‎ ‎ C． ‎ ‎ D． ‎ ‎8、某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为( )‎ ‎ A． B． C． D．1‎ ‎9、双曲线的左右焦点分别为，点在上，为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10、要得到函数的图像，只需将函数的图像( )‎ ‎ A．先向右平移个单位，再关于轴对称 ‎ ‎ B．先向左平移个单位，再关于轴对称 ‎ C．先关于轴对称，再向右平移个单位 ‎ D．先关于轴对称，再向左平移个单位 ‎11、平行四边形中，，.若点满足，，则( )‎ ‎ A．20 B．15 C．9 D．6‎ ‎12、若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高是( )‎ ‎ A． B．3 ‎ ‎ C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13、5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率为 .‎ ‎14、执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和15，则输出的的值为________.‎ ‎15、曲线在点处的切线方程为 .‎ ‎16、已知函数函数，，，，使得，则实数 的取值范围是 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17、（本题满分10分）‎ 设函数.‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）若不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎18、（本题满分12分）‎ 已知分别为三个内角的对边，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎19、（本题满分12分）‎ 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（单位：吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎ （1）求直方图中的值；‎ ‎ （2）设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3‎ 吨的人数，并说明理由；‎ ‎ （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.（结果保留到小数点后三位）‎ ‎20、（本题满分12分）‎ 如图,在以为顶点的五面体中,面为正方形, ，,,且二面角与二面角都是．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎21、（本题满分12分）‎ 数列的前项和记为，，点在直线上，.‎ ‎（1）当实数为何值时，数列是等比数列；‎ ‎（2）在（1）的结论下，设，求数列的前项和.‎ ‎22、（本题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，，，，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，‎ 求证：为定值.‎ 玉溪一中2017—2018学年上学期高二年级期末考 理科数学试卷参考答案 一、选择题：ABCD CCDA BCCB 二、填空题：‎ ‎ 13、. 14、4. 15、. 16、 .‎ 三、解答题：‎ ‎17、解：（1）,,......2分 所以或或解得或或......4分 综上所述，不等式的解集为.....5分 ‎（2），所以，.....8分 解得或，所以实数的取值范围是.....10分 ‎18、解：（1）由正弦定理可得： ，.....4分 ‎，，所以，即，因为，所以..6分 ‎（2）， 所以，.8分 因为（当且仅当时取等号）....10分，所以，解得，又因为，所以的取值范围是....12分 ‎19、解：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在 中的频率为0.08×0.5=0.04，‎ 同理，在，，，，，，，中的频率分别为0.08，0.5×a ,0.20，0.26，0.5×a ,0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0. 26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30．.....4分 ‎（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．‎ 由以上样本的频率分布，可以估计全市50万居民中月均用水量不低于3吨的人数为50万×0.12=6 万．.....8分 ‎（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.80，‎ 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.80，‎ 所以2.5≤x<3．由0.3×(x–2.5)=0.80–0.73，解得．所以，估计月用水量标准为吨时，80%的居民每月的用水量不超过标准．.....12分 ‎20、解（1）由已知可得,,，所以平面．又平面,故平面平面．.....4分 ‎（2）过作,垂足为,由（1）知平面．‎ 以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系．.....5分 由（1）知为二面角的平面角,故,则,,，可得,,．.....7分 由,可得平面,所以为二面角的平面角,‎ ‎．又因为，所以四边形为等腰梯形，可求得，从而可得， , ．设是平面的法向量,则,即,所以可取．.....10分 设直线与平面所成角为，则 所以直线与平面所成角的正弦值为.....12分 ‎21、解：（1）① ② 当时，①—②可得，化简得， 所以从第二项起是等比数列. .....4分，，因为数列是等比数列，所以，，.....6分 ‎（2）由（1）可知：是首项为1，公比为3的等比数列，所以，.....8分 ，.....9分..12分 ‎22、解：（1），的面积为1，即，椭圆中列方程求解得，所以椭圆的方程为......4分 ‎（2）由（1）知，，设，则......5分 i）当时，直线的方程为.令，得.从而.......7分 直线的方程为.令，得.从而.......9分 所以 ‎.......11分 ii）当时，，‎ 所以.‎ 综上所述，为定值4. ......12分