2019届二轮复习函数与方程思想、数形结合思想学案（全国通用）
函数与方程思想、数形结合思想
一、函数与方程思想在不等式中的应用
函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.
1.若0
x1
解析 设g(x)＝(0g(x2)，
∴x2>x1.
2.(2018·宿州调研)已知定义在R上的偶函数满足f(x)＝x3＋4x(x≥0)，若f(1－2m)≥f(m)，则实数m的取值范围是______________.
答案 ∪[1，＋∞)
解析 由题意可知，定义在R上的偶函数f(x)＝x3＋4x(x≥0)，因为y＝x3，y＝4x在x≥0时都是单调递增的函数，故函数f(x)＝x3＋4x在x≥0时为增函数，又函数f(x)为偶函数，故图象关于y轴对称，所以f(1－2m)≥f(m)，只需|1－2m|≥|m|，即m∈∪[1，＋∞).
3.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满足g′(x)－g(x)<0，若函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(4)＝1，则不等式>1的解集为________.
答案 (－∞，0)
解析 ∵函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴g(0)＝g(4)＝1.
设f(x)＝，
则f′(x)＝＝.
又g′(x)－g(x)<0，∴f′(x)<0，
∴f(x)在R上单调递减.
又f(0)＝＝1，∴f(x)>f(0)，∴x<0.
4.若 x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是 _________.
答案 [－6，－2]
解析 当－2≤x<0时，不等式转化为a≤.
令f(x)＝(－2≤x<0)，
则f′(x)＝＝，
故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1,0)上单调递增，
此时有a≤f(x)min＝f(－1)＝＝－2.
当x＝0时，不等式恒成立.
当00,
设Sn＝f(n)，则f(n)为二次函数，
又由f(7)＝f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n＝12对称，
故Sn取最小值时n的值为12.
7.(2018·江苏海安高级中学月考)已知等比数列{an}的公比q>1，其前n项和为Sn，若S4＝2S2＋1，则S6的最小值为________.
答案 2＋3
解析 ∵S4＝2S2＋1，∴＝2＋1⇒a1(1＋q)(q2－1)＝1，∵q>1，∴S6＝＝×(1＋q＋q2)(1－q＋q2)(1＋q)＝q2－1＋＋3≥2＋3，当且仅当q2＝1＋(q>1)时取等号，
∴S6的最小值为2＋3.
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－2，S5＝0，S6＝3，则nSn的最小值为________.
答案 －9
解析 由已知得Sn＝ ，故nSn＝.
令f(x)＝，则f′(x)＝x2－5x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，
∴ f(x)在上单调递减，在上单调递增.
又∵n是正整数，当n＝3时，nSn＝－9，当n＝4时，nSn＝－8，
故当n＝3时，nSn取得最小值－9.
三、函数与方程思想在解析几何中的应用
解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率、几何量等经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.
9.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知AB＝4，DE＝2，则C的焦点到准线的距离为________.
答案 4
解析 不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，
又可设A(x0,2)，
D，
点A(x0,2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0， ①
点A(x0,2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2， ②
点D在圆x2＋y2＝r2上，
∴5＋2＝r2， ③
联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4.
10.如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若∠PAQ＝60°，且＝3，则双曲线C的离心率为________.
答案
解析 因为∠PAQ＝60°，AP＝AQ，
所以AP＝AQ＝PQ，设AQ＝2R，
又＝3，则OP＝PQ＝R.
双曲线C的渐近线方程是y＝x，A(a,0)，
所以点A到直线y＝x的距离
d＝＝，
所以2＝(2R)2－R2＝3R2，
即a2b2＝3R2(a2＋b2)，
在△OQA中，由余弦定理得，
OA2＝OQ2＋QA2－2OQ·QAcos 60°
＝(3R)2＋(2R)2－2×3R×2R×
＝7R2＝a2.
由得
所以双曲线C的离心率为
e＝＝＝＝＝＝.
11.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.若＝6，则k的值为________.
答案 或
解析 依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0).如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1.
所以k的取值范围为.
3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为________.
答案 －7
解析 因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2.
又当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1＝f(x)与y2＝|cos πx|的图象如图所示.
由图象知关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的实数解有7个.
不妨设x10，所以m＝－1，故m的取值范围是[－1，＋∞).
7.若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案
解析 作出y1＝|x－2a|和y2＝x＋a－1的简图，如图所示.
依题意得2a≤2－2a，
故a≤.
8.已知函数f(x)＝若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围为________.
答案 [0，＋∞)
解析 根据题意知f(x)是一个分段函数，当x≥1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为x＝a；当x<1时，是一个一次函数.当a>1时，如图(1)所示，符合题意；当0≤a≤1时，如图(2)所示，符合题意；当a<0时，如图(3)所示，此时函数在R上单调递减，不满足题意.综上所述，可得a≥0.
三、数形结合思想在解析几何中的应用
在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
9.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则 m的最大值为________.
答案 6
解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且AB＝2m，因为∠APB＝90°，连结OP，可知OP＝AB＝m.
要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为OC＝5，所以(OP)max＝OC＋r＝6，即m的最大值为6.
10.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为________.
答案
解析 如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连结OQ，
则OQ⊥PF2.
又PF1⊥PF2，
O为F1F2的中点，
所以PF1＝2OQ＝2a.
又PF2－PF1＝2a，
所以PF2＝4a.在Rt△F1PF2中，由PF＋PF＝F1F，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝＝.
11.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________.
答案
解析 因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，
如图，设抛物线的准线为l，
过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连结AQ，
由抛物线的定义可知，△APF的周长为
PF＋PA＋AF＝PQ＋PA＋AF≥AQ＋AF≥AB＋AF，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即AB＋AF.
因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，
代入x2＝8y，得y0＝.
故使△APF的周长最小的点P的坐标为.
12.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.
答案 2
解析 连结PC，由题意知圆的圆心C(1,1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直
线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt△PAC的面积S△PAC＝PA·AC＝PA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB有唯一的最小值，此时PC＝＝3，从而PA＝＝2，所以(S四边形PACB)min＝2××PA×AC＝2.
1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是减函数，则f ，f ，f 的大小关系为________.
答案 f 0，b>0)的右焦点F作直线y＝－x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若＝2，则该双曲线的离心率为________.
答案
解析 设F(c,0)，则直线AB的方程为y＝(x－c)，代入双曲线渐近线方程y＝－x，得A.由＝2，可得B，把B点坐标代入－＝1，得－＝1，∴c2＝5a2，
∴离心率e＝＝.
5.记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值为________.
答案 8
解析 在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的图象如图.
由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3,13－x}为y＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC与直线y＝13－x在点C下方的部分的组合体.显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3,13－x}取得最大值.
解方程组得点C(5,8).
所以f(x)max＝8.
6.已知函数f(x)＝|lg(x－1)|，若1＜a＜b且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围为________.
答案 (6，＋∞)
解析 由图象可知b＞2,1＜a＜2，
∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，
则a＝，
则a＋2b＝＋2b＝＝＝2(b－1)＋＋3，
由对勾函数的性质知，
当b∈时，f(b)＝2(b－1)＋＋3单调递增，
∵b＞2，
∴a＋2b＝＋2b＞6.
7.已知函数f(x)＝若不等式f(x)≥mx恒成立，则实数m的取值范围为________.
答案 [－3－2，0]
解析 函数f(x)及y＝mx的图象如图所示，由图象可知，当m>0时，不等式f(x)≥mx不恒成立，设过原点的直线与函数f(x)＝x2－3x＋2(x<1)相切于点A(x0，x－3x0＋2)，因为f′(x0)＝2x0－3，所以该切线方程为y－(x－3x0＋2)＝(2x0－3)(x－x0)，因为该切线过原点，所以－(x－3x0＋2)＝－x0(2x0－3)，解得x0＝－，即该切线的斜率k＝－2－3.由图象得－2－3≤m≤0.
8.已知函数f(x)＝＋x＋sin x，若存在x∈[－2,1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)<0成立，则实数k的取值范围是________.
答案 (－1，＋∞)
解析 由题意知函数f(x)＝＋x＋sin x的定义域为R，f(－x)＝＋(－x)＋sin(－x)＝－＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，且f′(x)＝＋1＋cos x>0在R上恒成立，即函数f(x)在R上单调递增.若∃x∈[－2，1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)<0成立，
即f(x2＋x)<－f(x－k)，
所以f(x2＋x)x2＋2x，
令g(x)＝x2＋2x，x∈[－2,1].
则k>g(x)min＝g(－1)＝－1，
故实数k的取值范围是(－1，＋∞).
9.已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.
答案 2
解析 如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积V＝a2h＝，
故a2h＝32，即a2＝.
则其侧棱长为l＝＝.
令f(h)＝＋h2，则f′(h)＝－＋2h＝，
令f′(h)＝0，解得h＝2.
当h∈(0,2)时，f′(h)<0，f(h)单调递减；
当h∈(2，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)单调递增，
所以当h＝2时，f(h)取得最小值f(2)＝＋22＝12，
故lmin＝＝2.
10.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
答案 (0,2)
解析 由f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，
可得|2x－2|＝b有两个不等的实根，
从而可得函数y1＝|2x－2|的图象与函数y2＝b的图象有两个交点，如图所示.
结合函数的图象，可得00)，若两条曲线没有公共点，则r的取值范围是______________.
答案 (0,1)∪
解析 方法一 联立C1和C2的方程，消去x，
得到关于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0， ①
方程①可变形为r2＝－y2＋2y＋10，
把r2＝－y2＋2y＋10看作关于y的函数.
由椭圆C1可知，－2≤y≤2，
因此，求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合，等价于在定义域为y∈[－2,2]的情况下，求函数r2＝f(y)＝－y2＋2y＋10的值域.
由f(－2)＝1，f(2)＝9，f ＝，
可得f(y)的值域为，即r∈，
它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合，因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0,1)∪.
方法二 联立C1和C2的方程消去x，得到关于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0. ①
两条曲线没有公共点，等价于方程－y2＋2y＋10－r2＝0要么没有实数根，要么有两个根y1，y2∉[－2,2].
若没有实数根，则Δ＝4－4××(10－r2)<0，
解得r>或r<－
.
若两个根y1，y2∉[－2,2]，设φ(y)＝－y2＋2y＋10－r2，其图象的对称轴方程为y＝∈[－2,2].
则又r>0，解得00，
故φ(x)在上单调递增，
所以φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，故g(x)在上单调递增，
则g(x)≥g＝＝2－，
所以a－＝2－，解得a＝2，
所以a的取值集合为{2}.
