2018届二轮复习（理）指导三 回扣溯源，查缺补漏，考前提醒学案（全国通用）
专题研读 解决“会而不对，对而不全”问题是决定高考成败的关键，高考数学考试中出现错误的原因很多，其中错解类型主要有：知识性错误，审题或忽视隐含条件错误，运算错误，数学思想、方法运用错误，逻辑性错误，忽视等价性变形错误等.下面我们分几个主要专题对易错的知识点和典型问题进行剖析，为你提个醒，力争做到“会而对，对而全”.
溯源回扣一 集合与常用逻辑用语
1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集.
[回扣问题1] 集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.
解析 A＝R，B表示直线x－y＝1上的点集，∴A∩B＝∅.
答案 ∅
2.遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况.
[回扣问题2] 设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是____________.
解析 由题意知集合A＝{2，3}，由A∩B＝B知B⊆A.①当B＝∅时，即方程mx－1＝0无解，此时m＝0符合已知条件；
②当B≠∅时，即方程mx－1＝0的解为2或3，代入得m＝或.
综上，满足条件的m组成的集合为.
答案
3.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值.
[回扣问题3] 已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁IA)∪B等于( )
A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)
C.[0，＋∞) D.(0，＋∞)
解析 A＝(－∞，1]，B＝[0，2]，∴∁IA＝(1，＋∞)，则(∁IA)∪B＝[0，＋∞).
答案 C
4.“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否命题p的结论.
[回扣问题4] 已知实数a，b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题是________，命题的否定是________.
答案 已知实数a，b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b
已知实数a，b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b
5.要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
[回扣问题5] (2017·天津卷)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 <⇔0<θ<⇒sin θ<.
但θ＝0，sin θ<，不满足<，所以是充分而不必要条件.
答案 A
6.含有量词的命题的否定，不仅是把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词.
[回扣问题6] 命题p：∀x∈R，ex－x－1>0，则綈p是________.
解析 “∀”变为“∃”，并将结论否定，∴綈p：∃x0∈R，ex0－x0－1≤0.
答案 ∃x0∈R，ex0－x0－1≤0
7.存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.
[回扣问题7] 若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围是________.
解析 “存在a∈[1，3]，使不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立”的否定是“对任意a∈[1，3]，不等式ax2＋(a－2)x－2≤0成立”，即(x2＋x)a－2x－2≤0对a∈[1，3]恒成立，设f(a)＝(x2＋x)a－2x－2，其中a∈[1，3].
故要使原不等式成立，则x>或x<－1.
答案 (－∞，－1)∪
溯源回扣二 函数与导数
1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.
[回扣问题1] 函数f(x)＝ln＋x的定义域为( )
A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(0，1) D.(0，1)∪(1，＋∞)
解析
解得x>1.
答案 B
2.求解与函数、不等式有关的问题(如求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等)，要注意定义域优先的原则.
[回扣问题2] (2017·全国Ⅱ卷改编)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调增区间是________.
解析 要使函数有意义，则x2－2x－8>0，解得x<－2或x>4，
结合二次函数、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则得函数的单调增区间为(4，＋∞).
答案 (4，＋∞)
3.定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.函数y＝f(x)为奇函数，但不一定有f(0)＝0成立.
[回扣问题3] 函数f(x)＝的奇偶性是________.
解析 由1－x2>0且|x－2|－2≠0，知f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称，则f(x)＝，
又f(－x)＝＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
答案 奇函数
4.理清函数奇偶性的性质.
(1)f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
(2)f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；
(3)定义域含0的奇函数满足f(0)＝0.
[回扣问题4] 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________.
解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|).
∵f(x)<0，f(2)＝0.所以f(|x|)
0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：
(1)函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期T＝2a的周期函数；
(2)若f(x＋a)＝(a≠0)成立，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－(a≠0)恒成立，则T＝2a；
(4)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)成立，则T＝2a.
[回扣问题5] 对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－，若当20，得x>1或x<－1.
答案 (－∞，－1)和(1，＋∞)
7.图象变换的几个注意点.
(1)混淆平移变换的方向与单位长度.
(2)区别翻折变换：f(x)→|f(x)|与f(x)→f(|x|).
(3)两个函数图象的对称.
①函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称.
②函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称.
[回扣问题7] (2016·全国Ⅲ卷)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移________个单位长度得到.
解析 y＝sin x－cos x＝2sin.
∴y＝2sin x的图象向右平移个单位，
得y＝2sin 的图象.
答案
8.不能准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视ax>0；对数函数y＝logax(a>0，a≠1)忽视真数与底数的限制条件.
[回扣问题8] 函数f(x)＝log4(7＋6x－x2)的单调增区间为________.
解析 由7＋6x－x2>0，得函数f(x)的定义域为{x|－10，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数.
注意 如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0，增函数亦如此.
[回扣问题12] 若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________.
解析 f(x)＝ax3－x2＋x－5的导函数f′(x)＝3ax2－2x＋1.
由f′(x)≥0在R上恒成立，
当a＝时，f′(x)＝(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，∴a≥.
答案
13.对于可导函数y＝f(x)，错以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件.
[回扣问题13] 若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b＝________.
解析 由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
经验证，当a＝4，b＝－11时，满足题意；当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2≥0恒成立，不满足题意，舍去.
答案 －7
14.运用微积分基本定理求定积分f(x)dx的值的关键是逆用求导公式求出f(x)的原函数，常记错基本初等函数的求导公式，忽视系数致误.
[回扣问题14] (1)定积分(2x＋ex)dx的值为________.
(2)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为________.
解析 (1) (2x＋ex)dx＝(x2＋ex) ＝e.
∴直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(4x－x3)dx＝＝4.
答案 (1)e (2)4
溯源回扣三 三角函数与平面向量
1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定.
[回扣问题1] 已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sin α＋cos α的值为________.
解析 由三角函数定义，sin α＝－，cos α＝，
∴sin α＋cos α＝－.
答案 －
2.求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号.若ω<0时，
应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间.
[回扣问题2] 函数y＝sin的递减区间是________.
解析 y＝－sin，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z.
答案 (k∈Z)
3.在三角函数求值中，忽视隐含条件的制约导致增解.
[回扣问题3] 已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，则cos β＝________.
解析 ∵0<α<且cos α＝B⇔sin A>sin B.
[回扣问题4] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a＝1，c＝.若C＝，则角A＝________.
解析 由正弦定理得＝，即sin A＝＝.
又a0，且a，b不同向；故a·b>0是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，a·b<0，且a，b不反向，故a·b<0是θ为钝角的必要不充分条件.
[回扣问题5] 已知向量a＝(2，1)，b＝(λ，1)，λ∈R，设a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是____________.
解析 因为θ为锐角，
所以00时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论.
[回扣问题5] 若不等式x2＋x－10对x∈R恒成立.
(1)当m2－1＝0且m＋1＝0，不等式恒成立，∴m＝－1.
综合(1)(2)知，m的取值范围为(－∞，－1]∪.
答案 (－∞，－1]∪
6.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解最值.
[回扣问题6] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则y＝＋的最小值是________.
解析 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴y＝·(a＋b)＝5＋＋≥9，当且仅当b＝2a时等号成立.
答案 9
7.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1，1)的距离的平方等.
[回扣问题7] (2016·江苏卷)已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________.
解析 作满足条件的可行域如图中阴影部分所示.
d＝可以看作坐标原点O与可行域内的点(x，y)之间的距离.数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线2x＋y－2＝0的距离.
∴dmax＝|OA|＝＝，dmin＝＝.
则d2的最小值为，最大值为13，
∴x2＋y2的取值范围是.
答案
8.对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或＝q(n≥2)，求{an}的通项公式，要注意分n的奇偶性讨论.
[回扣问题8] (2015·山东卷改编)若an＝2n－1，且bn＝(－1)n－1，则数列{bn}的前n项和Tn＝________.
解析 bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1.
当n为偶数时，Tn＝－＋－…＋－，
∴Tn＝1－＝.
当n为奇数时，Tn＝－＋－…－＋，
∴Tn＝1＋＝，
答案
9.求解不等式、函数的定义域、值域时，其结果一定要用集合或区间表示，另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次项系数符号的影响.
[回扣问题9] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________.
解析 ∵ax2＋bx＋c<0的解集为，
∴a<0，且＝1，－＝－，
因为b＝a，c＝a，故ax2－bx＋c>0化为ax2－ax＋a>0，
由于a<0，得x2－x＋1<0，解之得0，b>0)的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆的位置关系为________.
解析 (1)以原点O为圆心的圆过点P(1，2)，∴圆的方程为x2＋y2＝5.
∵kOP＝2，∴切线的斜率k＝－.
∴切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
(2)设线段PF1的中点为P0，双曲线的右焦点为F2，则|OP0|＝|PF2|，
由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|OP0|＝|PF1|－a＝R－r，因此两圆内切.
答案 (1)x＋2y－5＝0 (2)内切
5.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误.
[回扣问题5] (2015·广东卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 ∵e＝＝，F2(5，0)，
∴c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，
∴双曲线C的标准方程为－＝1.
答案 C
6.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.
[问题回扣6] 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.
解析 设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离比到C1的距离大)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8，故点M的轨迹方程为x2－＝1(x<0).
答案 x2－＝1(x<0)
7.由圆锥曲线方程讨论几何性质时，易忽视讨论焦点所在的坐标轴导致漏解.
[回扣问题7] 已知椭圆＋＝1的离心率等于，则m＝________.
解析 当焦点在x轴上，则a＝2，c＝，
∴＝，则m＝1.
当焦点在y轴上，则a＝，c＝，
∴＝，则m＝16.
答案 1或16
8.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题都应在“Δ>0”下进行.
[回扣问题8] (2017·西安调研)已知椭圆W：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为－1，O为坐标原点.
(1)求椭圆W的方程；
(2)设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为Sk，证明：S1＝S2.
(1)解 由题意，得W的半焦距c＝1，右焦点F(1，0)，上顶点M(0，b).
∴直线MF的斜率kMF＝＝－1，解得b＝1.
由a2＝b2＋c2，得a2＝2.
∴椭圆W的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设直线l的方程为y＝kx＋m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
∴Δ＝16k2－8m2＋8>0.①
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|AB|＝
＝，
∵原点O到直线y＝kx＋m的距离d＝，
∴S△AOB＝|AB|d＝，当k＝1时，S△AOB＝，
∴当m2＝时，S△AOB有最大值S1＝，验证满足①式，当k＝2时，S△AOB＝，
∴当m2＝时，S△AOB的最大值S2＝，验证①式成立.因此S1＝S2.
溯源回扣七 概率与统计
1.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.
[回扣问题1] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生检验表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示.若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为________.
解析 该班学生视力在0.9以上的频率为(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝0.40，所以能报A专业的人数为50×0.40＝20.
答案 20
2.在独立性检验中，K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)所给出的检验随机变量K2的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X与Y有关系”的可信程度.
[回扣问题2] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：
分类
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示).
附：K2＝
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解析 由列联表，k＝≈8.333.
又P(K2≥7.879)＝0.005，且8.333>7.879，
∴至少有99.5%的把握认为喜爱篮球与性别有关.
答案 99.5%
3.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意确定各事件是否彼此互斥，并且注意对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
[回扣问题3] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B
为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，求出现奇数点或2点的概率之和为________.
解析 由互斥事件概率加法公式，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.
答案
4.二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分.还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同.
[回扣问题4] 设的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则A∶B＝________.
解析 Tr＋1＝Cx6－r(－1)r＝C(－1)r2rx6－r，由6－r＝3，得r＝2，系数A＝60，二项式系数B＝C＝15，所以A∶B＝4∶1.
答案 4∶1
5.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生.
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB).
[回扣问题5] 设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________.
解析 由条件概率P(B|A)＝＝，
∴P(A)＝2P(AB)＝2×＝.
答案
6.正态密度曲线具有对称性，注意X～N(μ，σ2)时，P(X≥μ)＝0.5的灵活应用.
[回扣问题6] 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则
P(0<ξ<2)等于( )
A.0.6 B.0.4
C.0.3 D.0.2
解析 由P(ξ<4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.
由题意知图象的对称轴为直线x＝2，
P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.
答案 C
7.混淆直线方程y＝ax＋b与回归直线＝x＋系数的含义，导致回归分析中致误.
[回扣问题7] (2017·西安调研)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A.11.4万元 B.11.8万元
C.12.0万元 D.12.2万元
解析 由统计表，易得＝10，＝8，∴＝8－0.76×10＝0.4.因此回归直线方程为＝0.76x＋0.4，∴当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元).
答案 B
8.几何概型的概率计算中，几何“测度”确定不准而导致计算错误.
[回扣问题8] 在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.
解析 由直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，得<3，∴16k2<9，解得－
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