【数学】安徽省芜湖市师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末考试试题

【数学】安徽省芜湖市师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末考试试题

安徽省芜湖市师范大学附属中学 2019-2020 学年 高一下学期期末考试试题 一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．数列 的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 2．现要完成下列 3 项抽样调查：①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查；②科技报告 厅有 32 排，每排有 40 个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意 见，需要请 32 名听众进行座谈；③某中学共有 160 名教职工，其中一般教师 120 名，行政 人员 16 名，后勤人员 24 名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容 量为 20 的样本．其中较为合理的抽样方法是（ ） A．简单随机抽样，系统抽样，分层抽样 B．简单随机抽样，分层抽样，系统抽样 C．系统抽样，简单随机抽样，分层抽样 D．分层抽样，系统抽样，简单随机抽样 3．下列命题中，正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ， ，则 4．设 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．具有线性相关关系的变量 x、y．一组数据如表所示，y 与 x 的回归直线方程为 ，则 a 的值为（ ） x 0 1 2 3 y -1 1 4 8 A．-1 B．-1.5 C．-2 D．1 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 值为（ ） 1,3, 5,7− −  2 1na n= − ( ) ( )11 2 1n na n+= − × − ( ) ( )1 2 1n na n= − × − ( ) ( )1 2 1n na n= − × + a b< 2 2ac bc< 0a b> > 1 1 a b < a b> 2 2a b> 0a b> > 0c d< < ac bd> 2 0 1 0 0 x y y x y − ≤ − ≤ − ≥   2z x y= −  3y x a= + A．3 B．7 C．15 D．12 7．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚 五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”，翻 译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进 一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇．这个问题体现了古代对数列 问题的研究，现将墙的厚度改为 130 尺，则在第几天墙才能被打穿？（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．设 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，则 的形状 一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 9．设 ，是等差数列 的前 n 项和，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 10．当 时，不等式 恒成立，则 k 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．如图，某景区欲在两山顶 A，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高 ， ，在水平面上 E 处测得山顶 A 的仰角为 30°，山顶 C 的 仰角为 45°， ，则两山顶 A、C 之间的距离为（ ） ABC 2 cosa B c= ABC nS { }na 4 8 1 3 S S = 8 16 S S = 3 5 3 10 1 2 1 5 x∈R 2 2 0kx kx− + > ( ] ( ),0 8,−∞ +∞ [ )0,+∞ ( )0,8 [ )0,8 ( )3 kmAB = ( )3 3 kmCD = 150BED∠ = ° A． B． C． D． 12．已知方程 ，在 上有两个不同的解，则 的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13．抛掷甲、乙两枚质地均匀且各面分别标有 1，2，3，4，5，6 的骰子，记正面向上的数 字分别为 x，y，则 的概率是__________． 14．函数 的最小值为__________． 15．已知数列 满足 且 ， 为数列 的前项和，则 __________． 16．在 中，已知 ， ，则 面积的最大值是 __________． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 48 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 8 分） 已知函数 ． （1）当 ， 时，解不等式 ； （2）当 时，解关于 x 的不等式 （结果用 a 表示）． ( )63 km ( )6 3 km ( )13 km ( )66 km 2 0x bx c+ + = ( )0,2 ( )2 2 2c b c+ + 20, 2       30, 4      ( )0,1 ( )0, 2 x y< ( )4 2 01y x xx = + + >+ { }na 1 4 2n n a a+ = − 1 4a = nS { }na 2020S = ABC 2 4cos 2 sina C c B= + 2 2b = ABC ( ) ( )2 3 1f x x a x b= − + + 1a = 5b = − ( ) 0f x > 22 2b a a= + ( ) 0f x < 18．（本小题满分 10 分） 某城市 200 户居民的月平均用电量（单位：度），以 ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如下： （1）求直方图中 x 的值； （2）在月平均用电量为 ， ， 的三组用户中，用分层抽样 的方法抽取 20 户居民，则月平均用电量在 的用户中应抽取多少户？ （3）求月平均用电量的中位数和平均数． 19．（本小题满分 10 分） 在 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 ． （1）求角 C 的大小； （2）若 ，且 AB 边上的中线长为 5，求 的面积． [ )160,180 [ )180,200 [ )200,220 [ )220,240 [ )240,280 [ )280,300 [ )220,240 [ )240,260 [ )260,280 [ )220,240 ABC sin sin sin A C a b B a c − −= + 4 3c = ABC 20．（本小题满分 10 分） 已知数列 满足 ， ． （1）证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 n 项和 ． 21．（本小题满分 10 分） 如图，芜湖市城乡规划局将龙窝湖定位为市级滨江湿地公园，现准备在湿地内建造一个观界 台 P，已知射线 AB，AC 为湿地两边夹角为 120°的公路且长度均超过 2 千米，在两条公路 AB，AC 上分别设立游客接送点 M，N，从观景台 P 到 M，N 建造两条观光线路 PM，PN， 测得 千米， 千米． （1）求线段 MN 的长度； （2）若 ，求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值． { }na 1 1a = ( )1 * 1 2 2 n n n n n aa n Na + + = ∈+ 2n na       { }na ( )1n nb n n a= + { }nb nS 2AM = 2AN = 60MPN∠ = ° 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B D B C C C B D B C 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 13． 14．5 15．2023 16． 三、解答题（本大题共 5 个小题，共 48 分） 17．（本小题满分 8 分） （1）当 ， 时 ， ∴ 的解集为 ． （2）当 时， ， 即 ， ①当 时， ，此时不等式的解集为 ， ②当 时， ，此时不等式的解集为 ， ③当 时， ，此时不等式的解集为 ． 18．（本小题满分 10 分） （1）由直方图的性质可得 ， 得： ，所以直方图中 x 的值是 0.0075． （2）月平均用电量比例为 ， 所以月平均用电量在 的用户中应抽取 （户）． （3）因为 ， 所以月平均用电量的中位数在 内，设中位数为 a， 由 ， 得： ． 5 12 ( )2 2 1+ 1a = 5b = − ( ) ( )( )2 4 5 1 5f x x x x x= − − = + − ( ) 0f x > ( ) ( ), 1 5,−∞ − +∞ 22 2b a a= + ( ) ( ) ( ) ( )2 23 1 2 2 2 1f x x a x a a x a x a= − + + + = − − +   ( ) 0f x < ( ) ( )2 1 0x a x a− − + <   1a > 2 1a a> + ( )1,2a a+ 1a = 2 1a a= + φ 1a < 2 1a a< + ( )2 , 1a a + ( )0.002 0.0095 0.011 0.0125 0.005 0.0025 20 1x+ + + + + + × = 0.0075x = 5:3: 2 [ )220,240 520 1010 × = ( )0.002 0.0095 0.011 20 0.45 0.5+ + × = < [ )220,240 ( ) ( )0.002 0.0095 0.011 20 0.0125 220 0.5a+ + × + × − = 224a = 平均数 ， ． 19．（本小题满分 10 分） （1）由正弦定理得 ，化简得 ． 由余弦定理得 ， 由 可得 ． （2）倍长 AB 边上的中线至 CD，连接 DA，在 中， 由 的余弦定理可得 ， 又由（1）知 即 ， 所以 ， 所以 ． 20．（本小题满分 10 分） （1）由已知可得 ， 所以 ，即 ， ∴数列 是公差为 1 的等差数列， ∴ ，∴ ． （2）由（1）知， ， 所以 ， ， 170 0.04 190 0.19 210 0.22 230 0.25 250 0.15 270 0.1 290 0.05x = × + × + × + × + × + × + × 225.6x = a c a b b a c − −= + 2 2 2a b c ab+ − = 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab + −= = ( )0,πC ∈ π 3C = DAC CAD∠ 2 2 2 2100 1cos 1002 2 a bCAD a b abab + −∠ = = − ⇒ + + = 2 2 2a b c ab+ − = 2 2 48a b ab+ − = 26ab = 1 1 3 13 3sin 262 2 2 2S ab C= = × × = 1 12 2 n n n n n a a a + + = + 1 1 2 2 1 n n n na a + + = + 1 1 2 2 1 n n n na a + + − = 2n na       ( ) 1 2 2 1 1 1 n n n na a = + − ⋅ = + 2 1 n na n = + 2n nb n= ⋅ 2 31 2 2 2 3 2 2n nS n= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ 2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 2n nS n += ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ 相减得 ， ∴ ． 21．（本小题满分 10 分） （1）在 中，由余弦定理得， ， 所以 千米． （2）设 ，因为 ， 所以 ， 在 中，由正弦定理得， ， 所以 ， ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以当 ，即 时， 取到最大值 ． 答：两条观光线路距离之和的最大值为 千米． 2 3 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2n n n n nS n n+ + +− = + + + + − ⋅ = − − ⋅ ( ) 11 2 2n nS n += − + AMN 2 2 2 2 cos120MN AM AN AM AN= + − ⋅ ° 2 2 12 2 2 2 2 122  = + − × × × − =   2 3MN = PMN α∠ = 60MPN∠ = ° 120PNM α∠ = °− PMN ( ) 4sin sin 120 sin MN PM PN MPN α α= = =∠ °− ( )4sin 120PM α= °− 4sinPN α= ( )4sin 120 4sinPM PN α α+ = °− + 3 14 cos sin 4sin2 2 α α α = + +    ( )6sin 2 3 cos 4 3sin 30α α α= + = + ° 0 120α° < < ° 30 30 150α° < + ° < ° 30 90α + ° = ° 60α = ° PM PN+ 4 3 4 3