2013年高考数学（文科）真题分类汇编E单元 不等式

2013年高考数学（文科）真题分类汇编E单元 不等式

E单元　不等式 ‎ E1　不等式的概念与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．E1[2013·北京卷] 设a，b，c∈R，且a>b，则(　　)‎ A．ac>bc B.< C．a2>b2 D．a3>b3‎ ‎2．D　[解析] ∵函数y＝x3在R上是增函数，a>b，‎ ‎∴a3>b3.‎ ‎8．B7，E1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)‎ A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b ‎8．D　[解析] a－b＝log32－log52＝－＝>0a>b，c＝log23>1，a<1，b<1，所以c>a>b，答案为D.‎ ‎15．C6、E1和E3[2013·重庆卷] 设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．‎ ‎15.∪　[解析] 根据二次函数的图像可得Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin2 α－cos 2α≤0，转化为2sin2 α－(1－2sin2 α)≤0，即4sin2α≤1，即－≤sin α≤.因为0≤α≤π，故α∈∪.‎ ‎10．E1、H6和H8[2013·重庆卷] 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎10．A　[解析] 设双曲线的焦点在x轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足<≤，所以<≤3，<1＋≤4，即有 <≤2.又双曲线的离心率为e＝＝，所以 0，区间I＝{x|f(x)>0}．‎ ‎(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；‎ ‎(2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．‎ ‎20．解：(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝，‎ 故f(x)>0的解集为{x|x10，d(a)单调递增；‎ 当10且1－x2≥0.不等式1＋>0，即>0，解得x>0或x<－1；不等式1－x2≥0的解为－1≤x≤1.故所求函数的定义域是(0，1]．‎ ‎15．C6、E1和E3[2013·重庆卷] 设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．‎ ‎15.∪　[解析] 根据二次函数的图像可得Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin2 α－cos 2α≤0，转化为2sin2 α－(1－2sin2 α)≤0，即4sin2α≤1，即－≤sin α≤.因为0≤α≤π，故α∈∪.‎ ‎7．E3[2013·重庆卷] 关于x的不等式x2－2ax－‎8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1‎ ‎＝15，则a＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎7．A　[解析] 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－‎8a2＝0的两根，则x1＋x2＝‎2a，x1x2＝－‎8a2，由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(‎2a)2－4×(－‎8a2)＝‎36a2＝152，解得a＝(负值舍去)，故选A.‎ E4　简单的一元高次不等式的解法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎13．E4[2013·湖南卷] 若变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为________．‎ ‎13．6　[解析] 根据题意，画出x，y满足的可行域，如图，‎ 可知在点B(4，2)处x＋y取最大值为6.‎ ‎6．E4[2013·江西卷] 下列选项中，使不等式x<0x<0或x>1，求交集得x<－1，故选A.‎ ‎14．E4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为________．‎ ‎14．3　[解析] 点(x，y)是平面内平行线x＝1，x＝3与平行线x－y＝－1，x－y＝0围成的平行四边形区域，区域的四个顶点坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，4)，(3，3)，分别代入得z＝0，1，2，3，所以z＝2x－y的最大值为3.‎ E5　简单的线性规划问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．E5[2013·天津卷] 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为(　　)‎ A．－7 B．－4‎ C．1 D．2‎ ‎2．A　[解析] 可行域如图：‎ 联立得A(5，3)，当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值z＝3－2×5＝－7.‎ ‎8．E5[2013·四川卷] 若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是(　　)‎ A．48 B．30‎ C．24 D．16‎ ‎8．C　[解析] 画出约束条件表示的可行域，如图，‎ 由于目标函数z＝5y－x的斜率为，可知在点A(8，0)处，z取得最小值b＝－8，在点B(4，4)处，z取得最大值a＝16.故a－b＝24.‎ ‎7．E5[2013·陕西卷] 若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是(　　)‎ A．－6 B．－‎2 C．0 D．2‎ ‎7．A　[解析] 结合题目可以作出y＝∣x∣与y＝2所表示的平面区域，令2x－y＝z，即y＝2x－z，作出直线y＝2x，在封闭区域内平移直线y＝2x，当经过点A(－2，2)时，z取最小值，为2×(－2)－2＝－6.‎ ‎14．E5[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．‎ ‎14.　[解析] 可行域如图，当OM垂直于直线x＋y－2＝0时，|OM|最小，故|OM|＝＝.‎ 图1－5‎ ‎3．E5[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设x，y满足约束条件则z＝2x－3y的最小值是(　　)‎ A．－7 B．－‎6 C．－5 D．－3‎ ‎3．B　[解析] 画出可行域如图△ABC，易得A(3，－2)，B(3，4)，C(0，1)，作出直线y＝x，平移易知直线过B点时直线在y轴上的截距最大，此时z最小．故选B.‎ 图1－1‎ ‎7．E5[2013·新课标全国卷Ⅱ] 执行右面的程序框图1－2，如果输入的N＝4，那么输出的S＝(　　)‎ A．1＋＋＋ B．1＋＋＋ C．1＋＋＋＋ D．1＋＋＋＋ 图1－2‎ ‎7．B　[解析] k＝1，T＝1，S＝1；k＝2，T＝，S＝1＋；k＝3，T＝，S＝1＋＋；k＝4，T＝，S＝1＋＋＋，k＝5>4成立，输出S，答案为B.‎ ‎9．E5[2013·江苏卷] 抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．‎ ‎9.　[解析] 由y＝x2得y′＝2x，则在点x＝1处的切线斜率k＝2×1＝2，切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A(0，－1)，B.‎ 作直线l0：x＋2y＝0.‎ 当平移直线l0至点A时，zmin＝0＋2(－1)＝－2；‎ 当平移直线l0至点B时，zmax＝＋2×0＝.‎ 故x＋2y的取值范围是.‎ ‎9．E5[2013·湖北卷] 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为(　　)‎ A．31 200元 B．36 000元 ‎ C．36 800元 D．38 400元 ‎9．C　[解析] 由题意知其可行域如图中阴影部分，令z＝1 ‎600A＋2‎ ‎ 400BB＝－A＋，过点M(5，12)时，zmin＝1 600×5＋2 400×12＝36 800.‎ ‎13．E5[2013·广东卷] 已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．‎ ‎13．5　[解析] 根据图知，线性目标函数z＝x＋y在点C处取得最大值，易求点C(1，4)，故zmax＝5.‎ ‎6．E5[2013·福建卷] 若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为(　　)‎ A．4和3 B．4和2‎ C．3和2 D．2和0‎ ‎6．B　[解析] 可行域如图所示，直线z＝2x＋y过点A(1，0)时，zmin＝2，过点B(2，0)时，zmax＝4，故选B.‎ ‎12．E5[2013·北京卷] 设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．‎ ‎12.‎ 　[解析] 在平面直角坐标系中画出可行域，如图所示．根据可行域可知，区域D内的点到点(1，0)的距离最小值为点(1，0)到直线2x－y＝0的距离，即d＝＝.‎ ‎12．E5[2013·安徽卷] 若非负变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为________．‎ ‎12．4　[解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分，设z＝x＋y，则z的几何意义是直线y＝－x＋z在y轴上的截距，结合图形，可知当直线y＝－x＋z通过点A(4，0)时z最大，此时z＝4.‎ ‎15．E5[2013·浙江卷] 设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________．‎ ‎15．2　[解析] 不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC及其内部，A(2，0)，B(4，4)，C(2，3)，要使z的最大值为12，只能经过B点，此时12＝4k＋4，k＝2.‎ E6　基本不等式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎7．E6[2013·福建卷] 若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)‎ A．[0，2] B．[－2，0]‎ C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]‎ ‎7．D　[解析] 1＝2x＋2y≥2 2x＋y≤2－2x＋y≤－2，当且仅当x＝y＝－1时，等号成立，故选D.‎ ‎14．E6[2013·陕西卷] 在如图1－3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为______(m)．‎ 图1－3‎ ‎14．20　[解析] 利用所给的图形关系，由图形关系可知三角形相似，设矩形的另一边长为y，则＝，所以y＝40－x，又有xy ≤＝400，当且仅当x＝y时等号成立，则x＝40－x，即x＝20，故矩形面积最大时x的值为20.‎ ‎13．E6[2013·四川卷] 已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.‎ ‎3．36　[解析] 由基本不等式性质，f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在4x＝，即x2＝时取得最小值，由于x＞0，a＞0，再根据已知可得＝32，故a＝36.‎ E7　不等式的证明方法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ E8　不等式的综合应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎12．E8[2013·山东卷] 设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　)‎ A．0 B. ‎ C．2 D. ‎12．C　[解析] 由题意得z＝x2－3xy＋4y2，‎ ‎∴＝＝＋－3≥2 －3＝1，‎ 当且仅当＝，即x＝2y时，等号成立，‎ ‎∴x＋2y－z＝2y＋2y－＝－2(y－1)2＋2≤2.‎ ‎20．H4，E8，B1[2013·四川卷] 已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且＝＋.请将n表示为m的函数．‎ ‎20．解：(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4，得 ‎(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*)‎ 由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12>0，得k2>3.‎ 所以，k的取值范围是(－∞，－)∪(＋∞)．‎ ‎(2)因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则 ‎|OM|2＝(1＋k2)x，|ON|2＝(1＋k2)x.‎ 又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2，‎ 由＝＋，得 ＝＋，‎ 即＝＋＝.‎ 由(*)式可知，x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以m2＝.‎ 因为点Q在直线y＝kx上，所以k＝，代入m2＝中并化简，得5n2－‎3m2‎＝36.‎ 由m2＝及k2>3，可知00，‎ 所以n＝＝.‎ 于是，n与m的函数关系为n＝(m∈(－，0)∪(0，))．‎ ‎15．H1，C8，E8[2013·四川卷] 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．‎ ‎15．(2，4)　[解析] 在以A，B，C，D为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC，BD交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC所在直线方程为y＝2x，BD所在直线方程为y＝－x＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．‎ E9　单元综合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎19．D5，E9[2013·广东卷] 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．‎ ‎(1)证明：a2＝；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.‎ ‎19．解：‎