数学理卷·2018届河北省遵化一中高三下学期第四次综合训练（2018

数学理卷·2018届河北省遵化一中高三下学期第四次综合训练（2018

‎2018届河北省遵化一中高三下学期第四次综合训练 数学（理）试卷 ‎1.已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(A)∩B=(　A　)‎ A.{-2,-1} B.{-2}‎ C.{-2,0,1} D.{0,1}‎ ‎2 .若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是（C　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的离心率为　(　B　)‎ A. B. C. D.‎ ‎4.在正态分布N中,数值落在(-∞,-1)∪(1,+∞)内的概率为　(　D　)‎ A.0.097 B.0.046 C.0.03 D.0.003‎ ‎5.在等比数列{an}中,Sn是它的前n项和,a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,则S6=　(　A　)‎ A. B.16 C.15 D.‎ ‎6．函数的图象大致为( D)‎ ‎7 ．如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（ D ）‎ ‎ ‎ ‎ A B． C. D．‎ ‎8．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为(　C　)‎ A．30°　　　　B．45°　　　　C．60°　　　　 D．90°‎ ‎9．设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为(　B　)‎ A．10 B．8 C．3 D．2‎ ‎10．将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　B　)‎ A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增 ‎11．设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过,则的方程为（　C　）‎ ‎ A．或 B．或 ‎ C．或 D．或 ‎ ‎12.已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是( D )‎ ‎（A） （B） （C）（D）‎ ‎13.已知a=(3,-2),b=(1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为　- ‎ ‎14.若二项式的展开式中的系数是84,则实数a=1　‎ ‎15．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____． ‎ ‎16．等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.‎ ‎ 17.在中,角的对边分别为,且.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.‎ ‎【答案】解:由,得 , 即,则,即 由,得,由正弦定理,有,所以,.由题知,则,故. 根据余弦定理,有,解得或(舍去). 故向量在方向上的投影为 ‎ 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ ‎（I）求回归直线方程=bx+a，其中b=-20，a=-b；‎ ‎（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）‎ ‎19、菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值．‎ ‎【解析】⑴证明：∵，∴，∴．∵四边形为菱形，∴，‎ ‎∴，∴，∴．∵，∴；‎ 又，，∴，∴，∴，‎ ‎∴，∴．又∵，∴面．‎ ‎⑵建立如图坐标系．‎ ‎，，，， ，，，‎ 设面法向量，由得，取，‎ ‎∴．同理可得面的法向量，‎ ‎∴，∴．‎ ‎20.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程.‎ ‎(2)设不与坐标轴平行的直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.‎ ‎【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,依题意所以b=1,所以所求椭圆方程为+y2=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).因为坐标原点O到直线l的距离为,所以=,‎ 得m2=(k2+1).把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,‎ 所以x1+x2=,x1x2=.所以|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)‎ ‎===3+=3+‎ ‎≤3+=4(k≠0).当且仅当9k2=,即k=±时等号成立.‎ ‎21、已知函数，‎ ‎(1)若曲线在点处的切线垂直于y轴，求实数的值 ‎（2）当时，求函数的最小值 ‎（3）在（1）的条件下，若与的图像存在三个交点，求k实数的取值范围 ‎【试题解析】解：由题意得：‎ ‎； (2分)‎ ‎(1) 由曲线在点处的切线垂直于轴，结合导数的几何意义得，即，解得； (4分)‎ ‎(2) 设，则只需求当时，函数的最小值.‎ 令，解得或，而，即. ‎ 从而函数在和上单调递增，在上单调递减. ‎ 当时，即时，函数在上为减函数，；‎ 当，即 时，函数的极小值即为其在区间上的最小值， . ‎ 综上可知，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为. (8分)‎ ‎(3) 令，显然，则. ‎ 构造函数，. ‎ 令得，，，可知：在上单调递减，且，当无限减小时，保持恒负并无限接近于0，其图像在下方无限靠近轴负半轴；在上单调递增，当无限接近于0时，无限增大，其图像在左侧向上无限接近轴正半轴，由于极小值，所以在内存在一个零点；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因此在处取得极大值，在处取得极小值. 当并无限靠近0时，无限减小，其图像无限靠近轴负半轴，当无限增大时，也由负值变为正值无限增大，在区间内也存在一个零点. 函数的大致图像如图所示：‎ 根据条件与的图像存在三个交点，即方程有三个解，直线与函数的图像有三个公共点. 因此或，即或，从而的取值范围是. (12分)‎ ‎22.在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为.‎ ‎ ⑴求圆C的极坐标方程；‎ ‎⑵是圆上一动点，点满足，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴 建立直角坐标系，求点Q的轨迹方程.‎ 解：（1）设是圆上任一点，过作于点，则在△中，，而，，，‎ 所以，即 为所求的圆的极坐标方程.　 ( 5分) 　　　　　　 ‎ ‎（2）设，由于，‎ 所以代入⑴中方程得，即，‎ ‎∴，,‎ ‎∴点的轨迹的直角坐标方程为. 　 ‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 设函数（Ⅰ）求函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式恒成立，求a的取值范围.‎ 由于所以函数的最小值为.‎ ‎（Ⅱ）若不等式的恒成立，则，‎ 又解不等式得.所以a的取值范围为.……………10分