- 2021-06-10 发布 |
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文档介绍
【数学】2020届一轮复习人教B版解三角形中的不等问题学案
微专题32 解三角形中的不等问题 一、基础知识: 1、正弦定理:,其中为外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边,或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边,否则不可行 例如:(1) (2)(恒等式) (3) 2、余弦定理: 变式: 此公式在已知的情况下,配合均值不等式可得到和的最值 3、三角形面积公式: (1) (为三角形的底,为对应的高) (2) (3)(其中为外接圆半径) 4、三角形内角和:,从而可得到: (1)正余弦关系式: (2)在已知一角的情况下,可用另一个角表示第三个角,达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式: 6、辅助角公式:,其中 7、三角形中的不等关系 (1)任意两边之和大于第三边:在判定是否构成三角形时,只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件,在求最值时使用较少 (2)在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系: 其中由利用的是余弦函数单调性,而 仅在一个三角形内有效。 8、解三角形中处理不等关系的几种方法 (1)转变为一个变量的函数:通过边角互化和代入消元,将多变量表达式转变为函数,从而将问题转化为求函数的值域 (2)利用均值不等式求得最值 二、例题精析: 例1:△各角的对应边分别为,满足,则角的范围是 A. B. C. D. 思路:从所给条件入手,进行不等式化简: ,观察到余弦定理公式特征,进而利用余弦定理表示:,可解得: 答案:A 例2:在中,角所对的边分别为,已知 (1)求的大小 (2)若,求的取值范围 解:(1)由条件可考虑使用正弦定理,将分子进行“边化角” (2)思路:考虑在中,已经已知 ,从而可求出外接圆半径,进而与也可进行边角互化。若从边的角度考虑,则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”,但不易利用 这个条件,考虑利用角来解决 解: 例3:在锐角中,角所对的边分别为,且 (1)求角 (2)求的取值范围 解:(1)方法一:使用余弦定理 由余弦定理得: 方法二:观察等式齐次,考虑使用正弦定理 (2) 为锐角三角形 小炼有话说:要注意对锐角三角形条件的运用:三个角均为锐角,而用代换,所以 满足锐角的条件也由来承担,这也是在利用等式消元时所要注意的一点:若被消去的元带有范围,则这个范围由主元承担。 例4:在中,角所对的边分别为,已知,且 (1)当时,求的值 (2)若角为锐角,求的取值范围 解:(1) 或 (2)思路:以“角为锐角”为突破口,联想到余弦定理,而也刚好得到与的关系式,再由可解得的范围 解:考虑余弦定理 为锐角, 例5:若的内角满足,则的最小值是 思路:所求的最值可想到余弦定理用边进行表示,,考虑角化边得到:,进而消去计算表达式的最值即可 解: 由可得: 答案: 例6:在锐角中、的对边长分别是、,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 思路:本题所给条件为角的关系,不易从边入手,所以将所求进行边化角:,只需求出的范围即可。条件所给的是关系,从而,利用减少角的个数:,代入可得:,根据锐角三角形求出的范围即可。 解: 由 因为为锐角三角形 解得: 答案:B 小炼有话说:本题的关键点有两个,一个是解题系统的确定,由于题目中没有涉及到边的关系,只是给了角的条件,所以优先选择角的系统,从而进行角化边的处理,并进行了一个分式的常见变形,将变量集中在分母上。另一个就是主元的确定:本题的主元是,所以在求表达式范围时将均用来进行表示,以便于求得值域。 例7:已知的角所对的边分别是,且,若的外接圆半径为,则面积的最大值为__________ 思路:由可联想到余弦定理求,所以,从而,所求面积可表示为,则只需解出的最大值即可。由外接圆半径及可得:,所以,而,所以有,所以 答案: 小炼有话说:本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示,从而解出,在计算面积时有三组边角可供选择:,通常是“依角而选”,从而把目标转向求的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项,再配上均值不等式往往可以找到最值。 例8:设的内角所对的边为,若成等比数列,则的取值范围是______________ 思路:由成等比数列可得:,也可视为 ,所求表达式也可视为。如果从角入手,则无法与 联系。所以考虑从边入手。由可得:,在中,若 ,则,所以,即,同理,若,则,解得:。综上 答案: 例9:已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为,且BC边上的高为,则的取值范围为______. 思路:一方面由所求出发,可用均值不等式得到,验证时存在这样的三角形,得到最小值;再从另一个角度入手可联想到余弦定理,而由题目中的底和高可得,所以有: ,只需求得的范围即可,考虑,,所以,综上: 答案: 小炼有话说: (1)在解三角形中,能够从所给式子中发现定理的影子,可帮助你迅速确定解题方向,本题没有选择边化角,而是抓住余弦定理的影子为突破口,然后再去寻找条件能否把多余的元消去(比如本题中的),从而整理出一个可操作的表达式 (2)最后运用辅角公式时,辅助角并不是特殊角。这种情况下可用代替俯角,并用的一个三角函数值刻画其大小。本题可通过作图大致观察到的范围,从而确定的范围能经过,所以能够取到 例10:(重庆)已知的内角满足,面积满足,记分别是所对的边,则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 思路:本题需判断的式子比较多,先从条件出发向所求靠拢。化简已知条件可得,即,联想到面积公式及可得:,从而可用进行表示求出范围,另一方面可由,利用不等式的传递性即可求出的范围 解: 即 由正弦定理可得: 所以由可得: ,所以均不正确 正确 同理 ,不正确 三、近年好题精选 1、(2018,上海十校联考)设锐角的三内角所对边的边长分别为,且,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 2、(2018江苏高三第一次联考)在中,是的中点,边(含端点)上存在点,使得,则的取值范围是_______ 3、(2015,新课标I)在平行四边形中,,,则的取值范围是_______ 4、(2018,哈尔滨六中上学期期末考试)在中,内角的对边分别为,且,则的面积最大值为_________ 5、(新课标全国卷I)已知分别为三个内角的对边,且,则面积的最大值为_______ 6、(2018,洛阳12月月考)在的内角所对的边分别为,则下列命题正确的是________ ① 若,则 ② 若,则 ③ 若,则为锐角三角形 ④ 若,则 7、(陕西)的内角的对边分别为 (1)若成等差数列,证明: (2)若成等比数列,求的最小值 8、设的内角所对的边分别为且. (1)求角的大小; (2)若,求的周长的取值范围. 9、已知和满足: (1)求证:是钝角三角形,并求最大角的度数 (2)求的最小值 10、(2018,安徽六校联考)已知函数. (1)求的对称中心 (2)若锐角中角所对的边分别为,且,求的取值范围 习题答案: 1、答案:A 解析: 由锐角可知:,解得,所以,从而 2、答案: 解析: 方法一:若存在点,使得,则为锐角或直角 在中 代入,可得: 方法二(向量法) 以为原点,直线为轴建系,则,设, 由和可得 3、答案: 解析:延长交于点,则在中, 设,则由正弦定理可得设,则由正弦定理:可得:,整理后可得:,所以 ,由可知,所以 4、答案: 解析:由余弦定理可得:,代入可得: ,即,所以有: 所以当时,有最大值为 5、答案: 解析:由正弦定理可得: 且 即 6、答案:①②③ 解析:① 由正弦定理可知:,由余弦定理可得,整理可得:,所以 ② 从而,从而 ③ ,所以 ,即,则,所以最大角为锐角。即是锐角三角形 ④ 取满足,则,不符题意 7、解析:(1)成等差数列 ,由正弦定理可得: (2)成等比数列 由余弦定理可得: 等号成立当且仅当 的最小值为 8、解析:(1) (2) 解得: 9、解析:(1)不妨设,由可得: 若,则 ,三式相加可得:, 等式显然不成立 若,则,显然不成立 ,此时,三式相加可得: ,解得: (2)由(1)可得:且 (在处取得) 10、解析:(1) 对称中心为: 对称中心为: (2)由已知可得: (舍)或 因为为锐角三角形 查看更多