【数学】2019届一轮复习人教A版线性规划中的参数问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版线性规划中的参数问题学案

‎ 专题六 不等式 问题二 线性规划中的参数问题 一、考情分析 线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型 （1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．‎ 二、经验分享 ‎(1)求平面区域的面积 ‎ ‎①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；‎ ‎②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．‎ ‎(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解．‎ ‎(3)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义 解题.‎ ‎(4)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答,目标函数含参的线性规划问题,要根据 的几何意义确定最优解,切忌搞错符号．‎ 三、知识拓展 常见代数式的几何意义 ‎ ‎①表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,表示点(x,y)与点(a,b)的距离；‎ ‎②表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率．‎ 四、题型分析 ‎(一) 目标函数中含参数 若目标函数中含有参数,则一般会知道最值,此时要结合可行域,确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解）,将点的坐标代入目标函数求得参数的值．‎ ‎1．目标函数中的系数为参数 ‎【例1】【广东湛江市2017届高三上 期期中调研考试,11】已知满足约束条件 ‎,若取得最大值的最优解不唯一,则实数的值为（ ）‎ A．或-1 B．或2 C.1或2 D．-1或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】在直角坐标系内作出不等式组所表示的平面区域,如下图所示的三角形,目标函数可变形为,的几何意义为直线在轴上的截距,因为取得最大值的最优解不唯一,所以直线与区域三角形的某一边平行,当直线与边线平行时,符合题意,当直线与边线平行时,不符合题意,直线与边线平行时,符合题意,综上所述,实数的值为或,故选D.‎ ‎【点评】线性规划问题的最优解一般在平面区域的边界顶点处或边界线上,当最优解为边界顶点时,最优解唯一,当最优解不唯一时,说明目标函数所表示的直线与区域的某一边平行,其最优解为边界线段上的所有的点.‎ ‎【小试牛刀】【凉山州2018届高中毕业班第二次诊断】若实数, 满足,且使取到最小值的最优解有无穷多个,则实数的取值是（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】作出可行域,如图,‎ 当直线平行直线AB,或平行直线BC时,满足题意,∴,或 ‎∴ 或,故选C.‎ ‎2．目标函数中的系数为参数 ‎【例2】已知变量满足约束条件 若目标函数的最大值为1,则 ．‎ ‎【答案】3．‎ ‎【解析】约束条件所满足的区域如图所示,目标函数过B（4,1）点是取得最大值,∴‎ ‎,∴．‎ ‎【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解,进而用代入法求参数的值．‎ ‎3．目标函数中的系数均含参数 ‎【例3】设,满足约束条件,若目标函数的最小值为2,则的最大值为 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分,易求得,要目标函数的最小值为2,∴,即,∴,当且仅当等号成立．故的最大值为．‎ ‎【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形,最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”,缺一不可．‎ ‎【小试牛刀】【广东省汕头市2017届高三上 期期末】设变量满足约束条件,且的最小值是,则实数 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图所示,由图知,当经过点时取得最小值,即,解得．‎ ‎4．目标函数为非线性函数且含有参数 ‎【例4】设不等式组表示的平面区域为．若圆 不经过区域上的点,则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】不等式对应的区域为．圆心为,区域中A到圆心的距离最小,B到圆心的距离最大,∴要使圆不经过区域D,则有或．由得,即．由,得,即．∴,,∴或,即的取值范围是,选D．‎ ‎【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义,即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型 ,可看成可行域内的点与定点两点连线的距离的平方,即；也可看成是以为圆心,‎ 为半径的圆,转换为圆与可行域有无公共点的问题．‎ ‎【小试牛刀】【江苏省泰州中 2017届高三摸底考试】已知实数、满足若不等式恒成立,则实数的最小值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部,其中,因此,因为在上单调递增,所以,不等式恒成立等价于 ‎【点评】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ ‎(二)约束条件中含参数 由于约束条件中存在参数,∴可行域无法确定,此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值, 确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域,从而确定参数的值．‎ ‎【例5】【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知实数满足不等式组,若目标函数的最大值不超过4,则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得,作出不等式组所表示的平面区域,分析知当,时,取得最大值,且,又因为 ‎,解得,故选D. ‎ ‎【点评】约束条件中含有参数时 （1）要对可行域的各种可能情况作出判断,特别注意特殊的线与点；（2）依据可行域的面积或目标函数的最值准确确定可行域；（3）求出参数．‎ ‎【小试牛刀】【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】已知实数满足,若目标函数的最小值的7倍与的最大值相等,则实数的值为（ ）‎ A．2 B．1 C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】过点取最小值5,联立方程,解得,代入,得.选A.‎ ‎【点评】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是 一,准确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错；三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎(三)目标函数及约束条件中均含参数 ‎【例6】设在约束条件下,目标函数的最大值大于2,则的取值范围为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】把目标函数转化为,表示是斜率为,截距为的平行直线系,当截距最大时,最大,当过点时,截距最大,解之得．‎ ‎【小试牛刀】设,满足约束条件且的最小值为7,则 ‎（A）-5 （B）3 （C）-5或3 （D）5或-3‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示,两直线交点坐标为 ,又由题中可知,当时, 有最小值 ,则,解得 ；当时, 无最小值．故选B 五、迁移运用 ‎1．【河南省三门峡市2018届高三上 期期末】若实数, 满足且的最小值为4,则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出不等式组对于的平面区域如图 ‎ ‎∵ =2x+y的最小值为4,即2x+y=4,且y=﹣2x+ ,则直线y=﹣2x+ 的截距最小时, 也取得最小值,‎ 则不等式组对应的平面区域在直线y=﹣2x+ 的上方,由；,解得,‎ 即A（1,2）,此时A也在直线y=﹣x+b上,即2=﹣1+b,解得b=3,故选D.‎ ‎2.【广东郴州市2017届高三第二次教 质量监测】设关于的不等式组表示的平面区域 内存在点,满足.则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域,要使区域内存在点使成立,只要点在直线下方即可,即解得,故选C.‎ ‎3.【广西柳州市2017届高三10月模拟】不等式组（）所表示平面区域的面积为,则的最小值等于（ ）‎ A．30 B．32 C．34 D．36‎ ‎【答案】B ‎【解析】,所以,当且仅当时取等号,所以选B.‎ ‎4.【2016届河南省信阳高中高三上第八次大考】设满足不等式组,若的最大值为,最小值为,则实数的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出约束条件表示的可行域,如图所示的内部（含边界）,其中,,,‎ 的最大值为,最小值为,说明在点处取得最大值,在点 处取得最小值,则有,,,所以,即,选B．‎ ‎5.【2016届河北省衡水二中高三上 期期中考试】已知,满足约束条件若的最小值为,则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据约束条件画出可行域,‎ 设,将最大值转化为轴上的截距,‎ 当直线经过点时,最小,‎ 由得 ,代入直线,解得 故答案选 ‎6.【山西省长治二中、临汾一中、康杰中 、晋城一中2017届高三第一次联考】已知满足约束条件,若恒成立,则实数的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部,其中,直线过点B时取最大值6,而恒成立等价于 ‎7．【2016届广西河池高中高三上第五次月考】已知,满足约束条件,若的最大值为,则（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意作出满足约束条件下的平面区域,如图所示,由图知,当目标函数经过点时取得最大值,所以,解得,故选C．‎ ‎8.若实数满足其中,若使得取得最小值的解有无穷多个,则等于 ( )‎ A．1 B．2 C．1．5 D．3‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】表达式可看成是定点与动点连线斜率（点在所给不等式组表示的平面区域内）,如图,动直线 过定点,为使满足题意的点有无穷多个,此时直线应过,从而故选B．‎ ‎9．变量满足约束条件,若使取得最大值的最优解有无数个,则实数的取值集合是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出不等式组表示的区域如下图所示．由得 ．当时,平行直线的倾斜角为锐角,从第一个图可看出,时,线段AC上的所有点都是最优解；当时,平行直线的倾斜角为钝角,从第二个图可看出,当时,线段BC上的所有点都是最优解．故选B．‎ ‎ ‎ ‎10．设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0)满足x0－2y0=2,求得m的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x0,y0)满足x0－2y0‎ ‎=2,即该平面区域和直线有交点,而直线的交点在直线上移动,由得交点坐标为,当即时,才会交点．‎ ‎11．当实数满足不等式时,恒有成立,则实数的取值集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出可行域,直线恒过定点（0,2）,则可行域恒在直线的下方,显然当时成立,当时,直线即为 ,其在轴的截距,综上,可得．‎ ‎12.三个正数a,b,c满足,,则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵, 设,则有,其可行域如图,其中A(),B(),∴［,］．‎ ‎13.已知,满足不等式组当时,目标函数的最大值的变化范围是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】当时,对应的平面区域为阴影部分,由得,平移直线由图象可知当直线经过点C时,直线的截距最大,此时解得,即,代入得．当时,对应的平面区域为阴影部分ODE,由得,平移直线由图象可知当直线经过点E时,直线的截距最大,此时解得,即,代入得．∴目标函数的最大值的变化范围是,即,选D．‎ ‎14.【湖北省荆州市2017届高三上 期第一次质量检】若满足约束条件,且的最大值为4,则实数的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知,可行域如图所示,‎ 可知目标函数,经过点时,取到最大值,所以 ‎15．【北京市朝阳区2018年高三一模】已知实数满足若取得最小值的最优解有无数多个,则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 可化为,, 取得最小值,则直线的截距最小,最优解有无数个,即与边界重合,故,故答案为.‎ ‎16. 【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试】设,变量在约束条件下,目标函数的最大值为,‎ 则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出可行域如图所示,当直线经过点时,有最大值,此时点的坐标为,,解之得或（舍去）,所以.‎ ‎17．若关于,的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则 ．‎ ‎【答案】或．‎ ‎【解析】作出不等式组表示的区域如下图所示,由图可知,要使平面区域的边界是一个直角三角形,则0或1．‎ ‎ ‎ ‎18．【湖北七市（州）教研协作体2018年3月高三联考】已知, 满足约束条件,若取得最大值的最优解不唯一,则实数的值为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由题可知若取得最大值的最优解不唯一则必平行于可行域的某一边界,如图 要 最大则直线与y轴的截距最大即可,当a<0时,则平行AC直线即可故a=-2,当a>0时,则直线平行AB即可,故a=1‎ ‎19．【安徽省宿州市2018届高三上 期第一次教 质量检测】在平面直角坐标系中,‎ 若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于1,则的值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 题意得直线过定点．‎ ‎①当a<0时,不等式组所表示的平面区域为上图中的M,一个无限的角形区域,面积不可能为2,故a<0不合题意；‎ ‎②当a⩾0时,不等式组所表示的平面区域为上图中的N,为三角形区域．‎ 若这个三角形的面积为1,则有AB=2,‎ 所以点B的坐标为(1,2),代入,得a=1．‎ ‎20．【福建省漳州市2018届高三上 期期末】已知实数, 满足若的最大值为,则的最小值为__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】作出可行域,如图所示,经计算,得.由图可知,当直线 过点时, 取最大值,即,解得,当直线过点时, 取最小值,即.‎ ‎21．若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形,则实数的取值范是 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】不等式组所表示的区域是由直线和过定点的直线所围成的平面区域,如下图 ‎ 由图可知,要使阴影部分成锐角三角形,动直线与直线的交点必须位于 点和点之间,此时．‎ ‎22．若不等式组表示的平面区域是一个四边形,则实数的取值范围是_______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图中的阴影部分所表示,直线交轴于点,交直线于点,当直线与直线在线段（不包括线段端点）时,此时不等式组所表示的区域是一个四边形,将点的坐标代入直线的方程得,即,将点的坐标代入直线 的方程得,因此实数的取值范围是．‎