数学卷·2018届山东省菏泽市曹县一中高二上学期第一次月考数学试卷(解析版)

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数学卷·2018届山东省菏泽市曹县一中高二上学期第一次月考数学试卷(解析版)

‎2016-2017学年山东省菏泽市曹县一中高二(上)第一次月考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在△ABC中,若B=120°,则a2+ac+c2﹣b2的值(  )‎ A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不确定 ‎3.△ABC中,a=,b=,sinB=,则符合条件的三角形有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 ‎4.在等比数列{an}中,若a3,a9是方程3x2﹣11x+9=0的两根,则a6的值是(  )‎ A.3 B.±3‎ C. D.以上答案都不对 ‎5.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若直线bx+(a﹣c)y+1=0与直线(a﹣b)x﹣(a+c)y+1=0垂直,则角C的大小为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且,则(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.在首项为81,公差为﹣7的等差数列{an}中,最接近零的是第(  )项.‎ A.11 B.12 C.13 D.14‎ ‎8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18﹣a5,则S8=(  )‎ A.18 B.36 C.54 D.72‎ ‎9.在△ABC中,角A,B,C,所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB,则sinAcosA+cos2B=(  )‎ A.﹣ B. C.﹣1 D.1‎ ‎10.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA,则sinA:sinB:sinC为(  )‎ A.4:3:2 B.5:6:7 C.5:4:3 D.6:5:4‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,请把正确的答案填在题中的横线上)‎ ‎11.在等腰三角形 ABC中,已知sinA:sinB=1:2,底边BC=10,则△ABC的周长是  .‎ ‎12.数列{an}的通项公式为an=,已知它的前n项和Sn=6,则项数n等于:  .‎ ‎13.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N+都有an+2+an+1﹣2an=0,则S5=  .‎ ‎14.等差数列{an}中,若a1+a4+a7=15,a3+a6+a9=3,则S9=  .‎ ‎15.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正在向北行驶,若甲船的速度是乙船的倍,则甲船应取北偏东θ方向前进,才能尽快追上乙船,此时θ=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16.在△ABC中,如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg,且B为锐角,则三角形的形状是  .‎ ‎17.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC.‎ ‎(1)求cosA;‎ ‎(2)若a=3,△ABC的面积为,求b,c.‎ ‎18.已知数列{an},a1=1.以后各项由an=an﹣1+(n≥2)给出.‎ ‎(1)写出数列{an}的前5项;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎19.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3‎ 成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求d,an;‎ ‎(Ⅱ)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.‎ ‎20.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.‎ ‎(1)求an,bn;‎ ‎(2)求数列{an•bn}的前n项和Tn.‎ ‎21.祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务.某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元.设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额)‎ ‎(Ⅰ)从第几年开始获取纯利润?‎ ‎(Ⅱ)若干年后,该台商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以48万元美元出售该厂;②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂,问哪种方案最合算?‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年山东省菏泽市曹县一中高二(上)第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】结合已知,根据正弦定理,可求AC ‎【解答】解:根据正弦定理,,‎ 则 故选B ‎ ‎ ‎2.在△ABC中,若B=120°,则a2+ac+c2﹣b2的值(  )‎ A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不确定 ‎【考点】余弦定理.‎ ‎【分析】直接利用余弦定理,化简求解即可.‎ ‎【解答】解:由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB=a2+ac+c2,‎ 所以a2+ac+c2﹣b2=0.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.△ABC中,a=,b=,sinB=,则符合条件的三角形有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 ‎【考点】正弦定理;余弦定理.‎ ‎【分析】根据sinB的值,求得cosB的值,进而利用余弦定理建立等式求得c的值,根据c的解得个数来判断符合条件的三角形的个数.‎ ‎【解答】解:∴sinB=,‎ ‎∴cosB=±=±‎ ‎①当cosB=时,cosB===,‎ ‎∴整理可得c2﹣c+2=0,求得c=有两个解,‎ ‎②当cosB=﹣时,cosB===﹣,‎ 整理得c2+c+2=0,求得c=<0,与c>0矛盾.‎ 综合可知,c=,‎ 即这样的三角形有2个.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎4.在等比数列{an}中,若a3,a9是方程3x2﹣11x+9=0的两根,则a6的值是(  )‎ A.3 B.±3‎ C. D.以上答案都不对 ‎【考点】等比数列的性质.‎ ‎【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a3•a9=3,再由等比数列的定义和性质可得 a3•a9==3,由此解得 a6 的值.‎ ‎【解答】解:等比数列{an}中,若a3,a9是方程3x2﹣11x+9=0的两根,则由一元二次方程根与系数的关系可得a3•a9=3,a6‎ 再由等比数列的定义和性质可得 a3•a9==3,解得 a6=,‎ 故选 C.‎ ‎ ‎ ‎5.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若直线bx+(a﹣c)y+1=0与直线(a﹣b)x﹣(a+c)y+1=0垂直,则角C的大小为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.‎ ‎【分析】由直线bx+(a﹣c)y+1=0与直线(a﹣b)x﹣(a+c)y+1=0垂直,推导出a2+b2﹣c2=ab,由此利用余弦定理能求出cosC,能求出∠C.‎ ‎【解答】解:∵△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,‎ 直线bx+(a﹣c)y+1=0与直线(a﹣b)x﹣(a+c)y+1=0垂直,‎ ‎∴b(a﹣b)+(a﹣c)[﹣(a+c)]=0,‎ 整理,得a2+b2﹣c2=ab,‎ ‎∴cosC==,‎ ‎∴∠C=.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且,则(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】根据等差数列的性质知,求两个数列的第五项之比,可以先写出两个数列的前9项之和之比,代入数据做出比值.‎ ‎【解答】解:∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,‎ ‎,‎ ‎====‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎7.在首项为81,公差为﹣7的等差数列{an}中,最接近零的是第(  )项.‎ A.11 B.12 C.13 D.14‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】由a1=81,d=﹣7,得到an=81+(n﹣1)×(﹣7)=88﹣7n,由an=88﹣7n≥0,能求出最接近零的项.‎ ‎【解答】解:∵a1=81,d=﹣7,‎ ‎∴an=81+(n﹣1)×(﹣7)=88﹣7n,‎ 由an=88﹣7n≥0,‎ 解得n,‎ ‎∴最接近零的是第13项,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18﹣a5,则S8=(  )‎ A.18 B.36 C.54 D.72‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18,代入求和公式可得.‎ ‎【解答】解:由题意可得a4+a5=18,‎ 由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18,‎ ‎∴S8===72‎ 故选:D ‎ ‎ ‎9.在△ABC中,角A,B,C,所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB,则sinAcosA+cos2B=(  )‎ A.﹣ B. C.﹣1 D.1‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】利用三角形中的正弦定理,将已知等式中的边用三角形的角的正弦表示,代入要求的式子,利用三角函数的平方关系求出值.‎ ‎【解答】解:∵acosA=bsinB 由正弦定理得sinAcosA=sinBsinB ‎∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1‎ 故选D ‎ ‎ ‎10.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA,则sinA:sinB:sinC为(  )‎ A.4:3:2 B.5:6:7 C.5:4:3 D.6:5:4‎ ‎【考点】正弦定理的应用.‎ ‎【分析】由题意可得三边即 a、a﹣1、a﹣2,由余弦定理可得 cosA=,再由3b=20acosA,可得 cosA=,从而可得 =,由此解得a=6,可得三边长,根据sinA:sinB:sinC=a:b:c,求得结果.‎ ‎【解答】解:由于a,b,c 三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,可设三边长分别为 a、a﹣1、a﹣2.‎ 由余弦定理可得 cosA===,‎ 又3b=20acosA,可得 cosA==.‎ 故有 =,解得a=6,故三边分别为6,5,4.‎ 由正弦定理可得 sinA:sinB:sinC=a:b:c=a:(a﹣1):( a﹣2)=6:5:4,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,请把正确的答案填在题中的横线上)‎ ‎11.在等腰三角形 ABC中,已知sinA:sinB=1:2,底边BC=10,则△ABC的周长是 50 .‎ ‎【考点】三角形中的几何计算.‎ ‎【分析】先利用正弦定理,将角的正弦之比转化为边长之比,求得AC长,从而由等腰三角形性质得AB长,最后三边相加即可得△ABC的周长 ‎【解答】解:设BC=a,AB=c,AC=b ‎∵sinA:sinB=1:2,由正弦定理可得:‎ a:b=1:2,‎ ‎∵底边BC=10,即a=10,∴b=2a=20‎ ‎∵三角形ABC为等腰三角形,且BC为底边,‎ ‎∴b=c=20‎ ‎∴△ABC的周长是20+20+10=50‎ 故答案为 50‎ ‎ ‎ ‎12.数列{an}的通项公式为an=,已知它的前n项和Sn=6,则项数n等于: 48 .‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】先对数列的通项化简,分母有理化,an=,累加求和,即可求解.‎ ‎【解答】解:由题意,∵an=,‎ ‎∴an=,‎ ‎∴Sn=﹣1,‎ ‎∵Sn=6,‎ ‎∴﹣1=6,解得n=48,‎ 故答案为:48.‎ ‎ ‎ ‎13.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N+都有an+2+an+1﹣2an=0,则S5= 11 .‎ ‎【考点】等比数列的性质;数列的求和.‎ ‎【分析】由题意可得anq2+an q=2an ,即 q2+q=2,解得 q=﹣2,或 q=1(舍去),由此求得 S5= 的值.‎ ‎【解答】解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且对任意的n∈N+都有an+2+an+1﹣2an=0,∴anq2+anq=2an ,‎ 即 q2+q=2,解得 q=﹣2,或 q=1(舍去).‎ ‎∴S5==11,‎ 故答案为 11.‎ ‎ ‎ ‎14.等差数列{an}中,若a1+a4+a7=15,a3+a6+a9=3,则S9= 27 .‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】由题意可得a4=5,a6=1,进而可得a5=3,而S9=9a5,计算可得.‎ ‎【解答】解:由等差数列的性质可得a1+a4+a7=3a4=15,‎ a3+a6+a9=3a6=3,解之可得a4=5,a6=1,‎ 故a4+a6=6,即2a5=6,a5=3,‎ 故S9===27‎ 故答案为:27‎ ‎ ‎ ‎15.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正在向北行驶,若甲船的速度是乙船的倍,则甲船应取北偏东θ方向前进,才能尽快追上乙船,此时θ= 30° .‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】根据题意画出图形,求出∠CAB与∠B的度数,设出追上乙船的时间,表示出BC与AC,在三角形ABC中,利用正弦定理列出关系式,即可求出θ的度数.‎ ‎【解答】解:根据题意得:∠CAB=60°﹣θ,∠B=120°,设追上乙船的时间为x,则有BC=x,AC=x,‎ 在△ABC中,利用正弦定理=,即=,‎ ‎∴=sin(60°﹣θ),即sin(60°﹣θ)=,‎ ‎∴60°﹣θ=30°,即θ=30°.‎ 故答案为:30°‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16.在△ABC中,如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg,且B为锐角,则三角形的形状是 等腰直角三角形 .‎ ‎【考点】正弦定理;对数的运算性质.‎ ‎【分析】由已知得sinB=, =,由此能推导出△ABC为等腰直角三角形,‎ ‎【解答】解:∵lgsinB=﹣lg sinB=,‎ ‎∵B为锐角,‎ ‎∴B=45°.‎ 又∵lga﹣lgc═﹣lg,∴=.‎ 由正弦定理,得=,‎ ‎∴sinC=2sinA=2sin,‎ 即sinC=sinC+cosC,‎ ‎∴cosC=0,∴C=90°,‎ 故△ABC为等腰直角三角形,‎ 故答案为:等腰直角三角形.‎ ‎ ‎ ‎17.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC.‎ ‎(1)求cosA;‎ ‎(2)若a=3,△ABC的面积为,求b,c.‎ ‎【考点】余弦定理;诱导公式的作用;两角和与差的余弦函数;正弦定理.‎ ‎【分析】(1)利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项,移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos(B+C)的值,将cosA用三角形的内角和定理及诱导公式变形后,将cos(B+C)的值代入即可求出cosA的值;‎ ‎(2)由cosA的值及A为三角形的内角,利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,将已知的面积及sinA的值代入,得出bc=6,记作①,再由a及cosA的值,利用余弦定理列出关于b与c的关系式,记作②,联立①②即可求出b与c的值.‎ ‎【解答】解:(1)3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC,‎ 化简得:3(cosBcosC+sinBsinC)﹣1=6cosBcosC,‎ 变形得:3(cosBcosC﹣sinBsinC)=﹣1,‎ 即cos(B+C)=﹣,‎ 则cosA=﹣cos(B+C)=;‎ ‎(2)∵A为三角形的内角,cosA=,‎ ‎∴sinA==,‎ 又S△ABC=2,即bcsinA=2,解得:bc=6①,‎ 又a=3,cosA=,‎ ‎∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得:b2+c2=13②,‎ 联立①②解得:或.‎ ‎ ‎ ‎18.已知数列{an},a1=1.以后各项由an=an﹣1+(n≥2)给出.‎ ‎(1)写出数列{an}的前5项;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎【考点】数列递推式.‎ ‎【分析】(1)由a1=1及递推公式an=an﹣1+写出前5项即可;‎ ‎(2)由an=an﹣1+可得an﹣an﹣1==﹣,从而解得.‎ ‎【解答】解:(1)a1=1,‎ a2=a1+=,‎ a3=a2+=,‎ a4=a3+=,‎ a5=a4+=;‎ ‎(2)∵an=an﹣1+,‎ ‎∴a2﹣a1=1﹣,‎ a3﹣a2=﹣,‎ a4﹣a3=﹣,‎ ‎…,‎ an﹣an﹣1==﹣,‎ 故an﹣a1=1﹣+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)‎ ‎=1﹣,‎ 故an=2﹣=.‎ ‎ ‎ ‎19.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求d,an;‎ ‎(Ⅱ)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.‎ ‎【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的性质.‎ ‎【分析】(Ⅰ)直接由已知条件a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列列式求出公差,则通项公式an可求;‎ ‎(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论,得到等差数列{an}‎ 的前11项大于等于0,后面的项小于0,所以分类讨论求d<0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的和.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意得,即,整理得d2﹣3d﹣4=0.解得d=﹣1或d=4.‎ 当d=﹣1时,an=a1+(n﹣1)d=10﹣(n﹣1)=﹣n+11.‎ 当d=4时,an=a1+(n﹣1)d=10+4(n﹣1)=4n+6.‎ 所以an=﹣n+11或an=4n+6;‎ ‎(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,因为d<0,由(Ⅰ)得d=﹣1,an=﹣n+11.‎ 则当n≤11时,.‎ 当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=﹣Sn+2S11=.‎ 综上所述,‎ ‎|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=.‎ ‎ ‎ ‎20.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.‎ ‎(1)求an,bn;‎ ‎(2)求数列{an•bn}的前n项和Tn.‎ ‎【考点】数列的求和;等差关系的确定;等比关系的确定.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由Sn=2n2+n可得,当n=1时,可求a1=3,当n≥2时,由an=sn﹣sn﹣1可求通项,进而可求bn ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,利用错位相减可求数列的和 ‎【解答】解:(Ⅰ)由Sn=2n2+n可得,当n=1时,a1=s1=3‎ 当n≥2时,an=sn﹣sn﹣1=2n2+n﹣2(n﹣1)2﹣(n﹣1)=4n﹣1‎ 而n=1,a1=4﹣1=3适合上式,‎ 故an=4n﹣1,‎ 又∵an=4log2bn+3=4n﹣1‎ ‎∴‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,‎ ‎2Tn=3×2+7×22+…+(4n﹣5)•2n﹣1+(4n﹣1)•2n ‎∴‎ ‎=(4n﹣1)•2n ‎=(4n﹣1)•2n﹣[3+4(2n﹣2)]=(4n﹣5)•2n+5‎ ‎ ‎ ‎21.祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务.某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元.设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额)‎ ‎(Ⅰ)从第几年开始获取纯利润?‎ ‎(Ⅱ)若干年后,该台商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以48万元美元出售该厂;②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂,问哪种方案最合算?‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用.‎ ‎【分析】(I)弄清纯利润就是纯收入大于零的关系,将纯收入表示为年份n的表达式,注意等差数列知识的运用,通过求解不等式得出开始获得纯利润的年份;‎ ‎(II)通过比较法得出哪种方案最合算,关键要得出每种方案获得的利润和年份的关系,用到求函数最值的思想和方法.‎ ‎【解答】解:由题意知,每年的经费是以12为首项,4为公差的等差数列,‎ 设纯利润与年数的关系为f(n),‎ 则 ‎(I)纯利润就是要求f(n)>0,∴﹣2n2+40n﹣72>0,‎ 解得2<n<18.由n∈N知从第三年开始获利.‎ ‎(II)①年平均利润=.当且仅当n=6时取等号.‎ 故此方案先获利6×16+48=144(万美元),此时n=6,‎ ‎②f(n)=﹣2(n﹣10)2+128.当n=10时,f(n)max=128.‎ 故第②种方案共获利128+16=144(万美元),‎ 故比较两种方案,获利都是144万美元.‎ 但第①种方案只需6年,而第②种方案需10年,故选择第①方案.‎
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