2018届二轮复习（理）计数原理学案（全国通用）

2018届二轮复习（理）计数原理学案（全国通用）

专题11.1 计数原理 ‎【最新考纲解读】‎ 内 容 要 求 备注 A　　‎ B　　‎ C　　‎ 计数原理 加法原理与乘法原理 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.‎ 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.‎ 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.‎ 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.‎ 排列与组合　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 二项式定理　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 本章知识点均是以解答题的形式进行考查，涉及到分类讨论的思想，着重考查学生运算能力和逻辑思维能力，本章知识点常与概率等知识一起考查，难度中等偏上.‎ ‎【课前检测训练】‎ ‎【判一判】‎ 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(　　)‎ ‎(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(　　)‎ ‎(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成.(　　)‎ ‎(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m‎1m‎2‎m3‎…mn种方法.(　　)‎ ‎(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(　　)‎ ‎(6)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　　)‎ ‎(7)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(　　)‎ ‎(8)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(　　)‎ ‎(9)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　　)‎ ‎(10)A＝nA.(　　)‎ ‎(11)kC＝nC.(　　)‎ ‎1. ×2. √3. √4. √5. √6. ×7. ×8. √9. √10. √11. √‎ ‎【练一练】‎ ‎1.三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回给甲.则不同的传递方式共有(　　)‎ A.5种 B.2种 C.3种 D.4种 ‎【答案】B ‎【解析】传递方式有甲→乙→丙→甲；甲→丙→乙→甲.‎ ‎2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为(　　)‎ A.6 B‎.5 C.3 D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.‎ ‎3.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　)‎ A.24种 B.30种 C.36种 D.48种 ‎【答案】D ‎【解析】按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48种.‎ ‎4.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个.(用数字作答)‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：‎ ‎5. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种).‎ ‎6.用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　)‎ A.8 B‎.24 ‎ C.48 D.120‎ ‎【答案】C ‎【解析】末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，‎ 共有AA＝48种.‎ ‎7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)‎ A.4种 B.10种 C.18种 D.20种 ‎【答案】B ‎【解析】方法一　不同的赠送方法有＝10种.‎ 方法二　从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本.由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C＝4种赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C＝6种赠送方法.因此共有4＋6＝10种赠送方法.‎ ‎8. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A.144 B‎.120 ‎ C.72 D.24‎ ‎【答案】D ‎【解析】“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.‎ ‎9.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，其中男女生都有的选法种数为________.‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】分两类：男1女2或男2女1，各有CC和CC种方法，所以选法种数为CC＋CC＝12＋18＝30.也可用间接法C－C－C＝30.‎ ‎10.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是________.‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，所有的选法种数是C×C＝90.‎ 重点项目A和一般项目B都没有被选中的选法种数是C×C＝30，故重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是90－30＝60.‎ ‎【题根精选精析】‎ 考点1:分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ‎【1-1】【徐州2015质量检测】用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_________‎ ‎【答案】252‎ ‎【1-2】【2015届高考模拟考试（二）】我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼一15飞机准备着舰，如果甲.乙两机必须相邻着舰，而丙.丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法种数为_________‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】对甲,乙两机进行排列为,把甲乙两机捆绑在一起与除丙丁外的一辆进行排列为,则有三个空给丙丁去插有种,根据分步计数原理可得满足要求的一共有种 ‎【1-3】【2015扬州调研考试】我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有_________个 ‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：3＋6＋3＋3＝15(个)．‎ ‎【1-4】【苏州2015联考】春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．‎ ‎【答案】28‎ ‎【解析】每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班的方法数为种，其中包含甲乙甲乙甲，甲丙甲丙甲，乙丙乙丙乙，丙乙丙乙丙四种情况不符合，故有种．‎ ‎【1-5】某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车.每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有 种；‎ ‎【答案】24‎ 综合点评：这些题都是分类计数原理与分步计数原理的应用, 解决这一类问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么,分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和得到总数；分步要做到“步骤完整”．‎ ‎【基础知识】‎ ‎1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念 一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法.‎ ‎2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念 一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.‎ ‎3. 两个原理的区别：‎ ‎（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.‎ ‎（2）“每类”与“每步”‎ 完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.‎ ‎4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.‎ ‎【思想方法】.‎ ‎1. 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．‎ ‎2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．‎ ‎ 3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：‎ ‎(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．‎ ‎(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．‎ ‎(3)对完成各步的方法数要准确确定．‎ ‎4. 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．‎ ‎(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．‎ ‎(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．‎ ‎(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．‎ ‎ (4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．‎ ‎5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．‎ ‎5. (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．‎ ‎(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．‎ ‎6. 分类加法计数原理的两个条件：‎ ‎(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；‎ ‎(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．‎ 分步乘法计数原理的两个条件：‎ ‎(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．‎ ‎(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．‎ ‎7. 应用两种原理解题 ‎(1)分清要完成的事情是什么？‎ ‎(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；‎ ‎(3)有无特殊条件的限制；‎ ‎(4)检验是否有重漏．‎ ‎8. 涂色问题：涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.‎ 涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.‎ 涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．‎ ‎【温馨提醒】这些题都是分类计数原理与分步计数原理的应用, 利用分步乘法计数原理解决问题时,首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法多少种，求其积．注意:各步之间相互联系，依次完成后，才能做完这件事，即步与步之间的方法相互独立，逐步完成． ‎ 分类加法计数原理体现了分类讨论思想在计数原理中的应用．解决此类问题的关键是确定分类标准，做到不重复、不遗漏.‎ 考点2：排列与组合 ‎【2-1】【2015安徽模拟】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有_________种 ‎【答案】75‎ ‎【解析】由已知可得不同的选法共有．‎ ‎【2-2】(如皋2015模拟)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为_________‎ ‎【答案】112‎ ‎【解析】根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：.‎ ‎【2-3】【2015无锡模拟】数列共有5项，其中，且，则满足条件的不同数列的个数为_________‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设，，则等于1或-1，由，知共有3个1，1个-1.这种组合共有个.‎ ‎【2-4】将三个1、三个2、三个3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法共有 种.‎ ‎【答案】12 ‎ ‎【解析】先排第一行有种，再排第二行、第一列，有两种可能，该位置确定后，其余位置的元素就唯一确定了，故有种.‎ ‎【2-5】如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．‎ ‎【答案】12‎ 综合点评：这些都是排列与组合的应用问题，解决排列组合应用问题的关键是要分析问题中有无限制条件．对于有限制条件的排列组合问题要注意考虑限制条件的元素或位置．对较复杂的排列组合问题，要采用先选后排的原则．‎ ‎【基础知识】‎ ‎1. 排列的相关概念及排列数公式 ‎(1)排列的定义：从个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．‎ ‎(2)排列数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．‎ ‎(3)排列数公式：这里并且 ‎(4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定.‎ ‎2．组合的相关概念及组合数公式 ‎(1)组合的定义：从个不同元素中取出 ()个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．‎ ‎(2)组合数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．‎ ‎(3)组合数的计算公式：，由于，所以.‎ ‎(4)组合数的性质：①；②；③.‎ ‎3. 区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．‎ ‎4.解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．‎ ‎5.要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．‎ ‎【思想方法】‎ ‎1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．‎ 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：‎ ‎(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．‎ ‎(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．‎ ‎(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．‎ ‎2. 解答排列、组合问题的角度：‎ 解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．‎ ‎(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；‎ ‎(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；‎ ‎(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；‎ ‎(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．‎ ‎3. 有条件的排列问题大致分四种类型．‎ ‎(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．‎ ‎(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．‎ ‎(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空 (即插空法)．‎ ‎(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．‎ ‎4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．‎ ‎5.排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．‎ ‎6. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有种不同的分法；而平均分为两组则有种不同的分法．‎ ‎7.排列组合应用题的解题策略：‎ ‎（1）相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.‎ ‎（2）相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.‎ ‎（3）定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.‎ ‎（4）标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.‎ ‎（5）有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.‎ ‎（6）全员分配问题分组法:‎ ‎（7）名额分配问题隔板法:‎ ‎（8）限制条件的分配问题分类法:‎ ‎（9）多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.‎ ‎（10）交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.‎ ‎（11）定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素.‎ ‎（12）多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.‎ ‎（13）“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:‎ ‎（14）选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.‎ ‎（15）部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.‎ ‎（16）圆排问题单排法:把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：‎ 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.‎ ‎（17）可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.‎ ‎（18）复杂排列组合问题构造模型法:一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.‎ ‎（19）元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:‎ ‎（20）复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:‎ ‎（21）利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.‎ ‎8.排列、组合问题及对策 ‎（1）特殊优先法：对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊入手.先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.‎ ‎（2）总体淘汰法：对于含否定词的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去.‎ ‎（3）相邻问题用“捆绑法”：对于某些元素要求相邻的问题，可先将相邻的元素捆绑并看作一个元素并与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行排列.‎ ‎（4）不相邻问题用“插空法”：对于几个元素不相邻的排列问题，先将没有限制条件的元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙插入即可.‎ ‎（5）顺序问题用“除法”：对于几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素同其余元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.‎ ‎（6）分排问题用“直排法”：把n个元素排成几排的问题，若没有其它特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.‎ ‎（7）穷举法：当题目中的附加条件增多，结果数目不大，解决它的方法又不一般，采用穷举法有时能取得意想不到的效果.‎ ‎（8）特征分析：研究有约束条件的排数问题，需紧扣题中所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解.‎ ‎（9）对应：有些时候，一个事件与一个结果之间存在一一对应的关系.‎ ‎（10）消序：某些条件，使得元素位置确定.‎ ‎（11）进住法：解决允许重复排列问题要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复.把不能重复的元素看成“一封信”，能重复的元素看成“信箱”.在利用乘法原理直接求解的方法称为进住法.‎ ‎（12）探索：对情况复杂，不易发现规律的问题，要仔细分析，探索其中规律，再予以解决.‎ ‎（13）“树图”表示法：对某些分步进行的问题，可依次对每步可能出现的情况用“树”状图形表示出来.‎ ‎（14）用比例法：有些排列应用题，可以根据每个元素出现机会占整个问题的比例，从而求得问题的结果.‎ 以上介绍了排列应用题的几种常见求解策略.这些策略不是彼此孤立的，而是相互依存.有时解决某一问题是要综合运用几种求解策略.在处理具体问题时，应能合理分类与准确分步.首先要弄清楚：要完成的是一件什么事，完成这件事有几类方法，每类方法中，又有几个步骤.这样才会不重复、不遗漏地解决问题.‎ ‎【温馨提醒】这些都是排列与组合的应用问题，解决排列组合问题最基本的方法是位置分析法和元素分析法，若以位置为主，需首先满足特殊位置的要求，再处理其他位置；若以元素为主，需先满足特殊元素的要求，再处理其他元素.对于限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决．‎ ‎【易错问题大揭秘】 ‎ ‎1.对两个基本原理认识不清致误 典例　(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有(　　)‎ A.24种 B.4种 C.43种 D.34种 ‎(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种.‎ 易错分析　解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算.解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种，没有注意到一封信只能投在一个信箱中；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算.‎ ‎【答案】(1)C　(2)7‎ ‎【解析】(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法.‎ ‎(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7种.‎ 温馨提醒　(1)每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装1封信，也可以装2封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有4种选择.‎ ‎(2)在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.‎ ‎2排列、组合问题计算重、漏致误 典例　有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种.‎ 易错分析　易犯错误如下：先从一等品中取1个，有C种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C种不同取法，共有C×C＝2 736种不同取法.上述做法使两次取的一等品有了先后顺序，导致取法重复.‎ ‎【答案】1 136‎ 方法二　考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C－C＝1 136种.‎ 温馨提醒　(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素(位置)优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.‎ ‎(2)“至少、至多”‎ 型问题不能直接利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.‎ ‎ [失误与防范]‎ ‎1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.‎ ‎2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.‎ ‎3.确定题目中是否有特殊条件限制.‎ ‎4.求解排列与组合问题的三个注意点：‎ ‎(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理.‎ ‎(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏.‎ ‎(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题.‎