2017-2018学年湖南省邵阳市第二中学高二上学期第一次月考数学（理）试题

2017-2018学年湖南省邵阳市第二中学高二上学期第一次月考数学（理）试题

‎2017-2018学年湖南省邵阳市第二中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 ‎ 时间：120分钟 总分：150 命题人：袁雄辉 审题人：‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 ‎1．若集合，，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.命题“恒成立”的否定是（ ）‎ ‎（A），使得 （B），使得 ‎ ‎（C），使得 （D），使得 ‎ ‎3. 若，则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4．执行如下图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是 是 否 开始 结束 输出 A． B． C． D．‎ ‎5. ”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要 ‎6.在等差数列中，若，则的值为（ ）‎ A．20 B．22 C. 24 D．28‎ ‎7.抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，其4个面分别标有数字1，2，3，4，记每次抛掷朝下一面的数字中较大者为（若两数相等，则取该数），平均数为，则事件“”发生的概率为（ ） （A） （B） （C） （D） ‎ ‎8.已知双曲线C的中心在原点O，焦点，点A为左支上一点，满足|OA|＝|OF|且|AF|＝4，则双曲线C的方程为（ ）A． B． C． D．‎ ‎9．如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为1，则该几何体外接球的直径为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）4 ‎ ‎10已知实数满足，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11、设、分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上异于、的任一点，设直线的斜率分别为，则取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. ‎ ‎12.已知定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（f′（x）是函数f（x）的导函数），若a=0.76f（0.76），b=log6f（log6），c=60.6f（60.6），则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c   B．b＞a＞c  C．c＞a＞b  D．a＞c＞b 二．填空题：每小题5分，共20分 ‎13.已知，，，则在方向上的投影为 ．‎ ‎14.已知，命题：对任意实数，不等式恒成立，若为真命题，则的取值范围是 ．‎ ‎15.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b= .‎ ‎16函数图像上不同两点处的切线的斜率分别是，规定叫做曲线在点之间的“平方弯曲度”，设曲线上不同两点，且，则的最大值为 ‎ 三．解答题：17题10分，其余各题12分，共70分 ‎17．(10分）在中，内角的对边分别为.已知.‎ ‎（1）求的值； （2）若，求的面积.‎ ‎18．（12分）如图,四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.‎ ‎(I)证明：平面AEC⊥平面AFC； (II)求二面角B-CE-F的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎19（本小题满分12分）下图为某市2017年2月28天的日空气质量指数折线图．‎ 日期 ‎02-01‎ ‎02-03‎ ‎02-05‎ ‎02-07‎ ‎02-09‎ ‎02-11‎ ‎02-13‎ ‎02-15‎ ‎02-17‎ ‎02-19‎ ‎02-21‎ ‎02-23‎ ‎02-25‎ ‎02-27‎ ‎250‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎50‎ 空气质量指数（AQI）‎ 由中国空气质量在线监测分析平台提供的空气质量指数标准如下：‎ 空气质量指数 ‎300以上 空气质量等级 级优 级良 级轻度污染 级中度污染 级重度污染 级严重污染 ‎（Ⅰ）请根据所给的折线图补全下方的频率分布直方图（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算该市2月份空气质量指数监测数据的平均数（保留小数点后一位）；‎ 空气质量指数 ‎（Ⅱ）研究人员发现，空气质量指数测评中与燃烧排放的两个项目存在线性相关关系，以为单位，下表给出与的相关数据：‎ ‎（）‎ ‎1‎ ‎（）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ 求关于的回归方程，并估计当排放量是时，的值．‎ ‎（用最小二乘法求回归方程的系数是）‎ ‎20.（本小题满分12分）已知数列与满足.‎ （1） 若，，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，且对一切恒成立，求的取值范围.‎ ‎21.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆离心率为，过作轴的垂线与椭圆交于两点，且，动点在椭圆上．‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）记椭圆的左、右顶点分别为，且直线的斜率分别与直线 ‎（为坐标原点）的斜率相同，动点不与重合，试判断的面积是否为定值，并说明理由.‎ ‎22.（12分）已知函数，其中．‎ ‎（1）当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，恒成立，求a的取值范围．‎ 答案 一． 选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C D D B B C B C C C C D 二填空题：‎ ‎13 : 14: 或 15 : 1-ln2 16 : ‎ ‎10.构建函数，转化求曲线y=f(x)上一点P（a,b)到直线y=-x的距离即可。‎ ‎11题提示：（ 由已知 设 构造函数 ‎ 故时，取最小值 ‎ ‎12题提示：构建函数g(x)=xf(x),易知g(x)在（﹣∞，0）是减函数，又f(x)是偶函数，所以g(x)是奇函数，在（0，+）是减函数，利用单调性即可比较大小 ‎15.设切点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),易知，分别消去x1,x2，即可求出b=1-ln2 ‎ ‎16题的提示：（ ‎ 设 构造函数 于是 ）‎ ‎17‎ ‎19.(I)连接BD，设BDAC=G，连接EG， FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=. 由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，‎ 又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.‎ 在Rt△FDG中，可得FG=.‎ 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，‎ ‎∴，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，‎ ‎∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ‎ ‎(II)如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由(Ⅰ)可得B(1，0，0)，E(1,0, )，F(－1,0，)，C(0，，0)，分别求出面BCE与面CEF的法向量 易知，即面BCE面CEF，所以二面角的余弦值为0‎ ‎20.(1)∵，，∴，∴数列是等差数列，首项为，公差为，即；‎ ‎(2)∵，∴，‎ 当时，，‎ 当时，，符合上式，∴，由得：，令，∴当，时，取最大值，故的取值范围为.‎ ‎21.（I）联立方程得解得，‎ 故，即，又，，所以，‎ 故椭圆C的标准方程为.‎ ‎（II）由（I）知，，设，‎ 则，‎ 又，即，‎ 所以，所以.‎ 当直线的斜率不存在时，直线的斜率分别为或，‎ 不妨设直线的方程是，由得或．‎ 取，则，所以的面积为.‎ 当直线的斜率存在时，设方程为．‎ 由得．‎ 因为在椭圆上，所以，解得．‎ 设,,则，.‎ 所以 ‎．‎ 设点到直线的距离为，则．‎ 所以的面积为，①．‎ 因为，‎ 所以 由，得，②．‎ 由①②，得．‎ 综上所述，的面积为定值，该定值为．‎ ‎22题 当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数，‎ 当时，，为增函数，‎ 综上，当时，在上为增函数，‎ 当时，在，上为增函数，‎ 在上为减函数．‎ ‎（2）显然，由可知：‎ 当时，，故成立；‎ 当时，．‎ 令，得．‎ 显然，‎