湖南省浏阳一中、醴陵一中2018-2019学年高二12月联考数学（理）试题

湖南省浏阳一中、醴陵一中2018-2019学年高二12月联考数学（理）试题

浏阳一中、醴陵一中2018年下学期高二年级联考 理科数学试题 满分:150分 时量:120分钟 考试时间2018年12月16日 ‎ 命题人： 审题人： ‎ 姓名 考号 ‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.‎ ‎1.设数列的前项和，则的值为（ ）‎ A.15 B. 37 C. 27 D. 64‎ ‎2.设命题，则为( ) ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3.若非零向量满足，则与的夹角为（ ）‎ A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°‎ ‎4.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直,则( )‎ A.2 B. C. D. ‎ ‎5.等比数列{an}中，,则的值为( 　)‎ A．10 B．20 C．36 D．128‎ ‎6.设都是不等于1的正数，则“”是“”成立的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7.若，则等于（ ）‎ A. 2 B. 0 C. D.‎ ‎8.在等差数列中，，，则数列的前项和的最大值为（ ）‎ A. B. C.或 D. ‎ ‎9.双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则=（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，若，则的长为( )‎ ‎ A． B．7 C． D．9‎ ‎11.在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为( )．‎ A．4 B. C. D.1‎ ‎12.函数的图象关于直线x＝1对称，当时，成立，若，，c＝()·f()，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.设等差数列的前项和为，若，则 ________。‎ ‎14.已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为 。‎ ‎15.若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 。‎ ‎16.已知M是内的一点（不含边界），且，，‎ 若和的面积分别为则的最小值是 。‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（10分）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎18.(12分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售价格为万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．‎ ‎(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？‎ ‎(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)?‎ ‎19.(12分)已知等差数列的首项，公差，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．‎ ‎(1) 求数列的通项公式；‎ ‎(2) 设，，是否存在，使得对任意的均有总成立？若存在，求出最大的整数；若不存在，请说明理由．‎ ‎20.(12分)如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）线段上是否存在点使得⊥平面，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.‎ ‎21.(12分)已知椭圆：（）经过点，离心率为，点为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆的左焦点任作一直线交椭圆于，两点，求的取值范围.‎ ‎22.(12分)已知函数，其中.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设函数，当时，若，，总有成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1-5 BCCBB 6-10 DBADC 11-12 CB 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. 24 14. 2 15. 16. 9‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.解：由得 ‎∴，即 …………………………………3分 由得 ‎∴，即 ………………………………………5分 ‎∵是的必要不充分条件 ‎∴是的必要不充分条件 ‎∴ ………………………………………8分 ‎∴，解得. ………………………………………10分 ‎18.解：(1)设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元，‎ 则,‎ 即 由解得，而,‎ 故从第3年开始运输累计收入超过总支出．………………………6分 ‎(2)小王的年平均利润为:‎ ‎,‎ 而当且仅当时取得等号．‎ 即小王应当在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．………12分 ‎19.(1) 由题意得，‎ 整理得∵‎ ‎∵，∴. ……………………4分 ‎(2) ， …………………6分 ‎∴‎ ‎. …………………8分 假设存在整数满足总成立，‎ 又 ‎∴数列是单调递增的．‎ ‎∴为的最小值，故，即.‎ 又∵，∴适合条件的的最大值为8. …………………12分 ‎20.（Ⅰ）因为，且，，所以，所以.‎ 因为为正三角形，所以，‎ 又四边形为平面四边形，所以.‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面. …………………4分 ‎（Ⅱ）由点在平面上的射影为可得平面，所以，.‎ 建立空间直角坐标系，则由已知可知，，，.‎ 平面的法向量，‎ 设为平面的一个法向量，则 由可得令，则，‎ 所以平面的一个法向量，‎ 所以，‎ 由图可知二面角的平面角为钝角，所以其余弦值为.……………8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，，‎ 因为，所以与不垂直，‎ 所以在线段上不存在点使得⊥平面. …………………12分 ‎21．解：（1）因为，所以，从而，‎ 椭圆的方程为. ………………………4分 ‎（2），当直线的斜率不存在时，可得，，‎ 此时； ………………………5分 当直线的斜率存在时，设：,,,‎ 联立与，可得，‎ 所以，， ………………………7分 ‎，‎ ‎，（10分） ‎ 因为，，所以，从而，‎ 综上可得的取值范围是. ………………………12分 ‎22. (1), ‎ 当时，，此时在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增………………5分 ‎（2）当时，，‎ 由得或 当时，；当时，. ‎ 所以在上，‎ 而“，，总有成立”等价于 ‎“在上的最大值不小于在上的最大值” ‎ 而在上的最大值为 所以有 所以实数的取值范围是………………………12分