【数学】2019届一轮复习人教B版二项式定理学案

【数学】2019届一轮复习人教B版二项式定理学案

第 3 讲　二项式定理 板块一　知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点 1　二项式定理的内容 1．(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)． 2．第 r＋1 项，Tr＋1＝Crnan－rbr. 3．第 r＋1 项的二项式系数为 Crn(r＝0,1，…，n)． 考点 2　二项式系数的性质 1．0≤k≤n 时，C kn与 C n－kn 的关系是相等． 3．各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，C0n＋C2n＋C4n＋… ＝2n－1，C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. [必会结论] 1．二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到 零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项增 1 直到 n. (4)二项式的系数从 C0n，C1n，…一直到 Cn－1n ，Cnn. 2．二项式系数与项的系数 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指 C0n，C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而 项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关， 而且也与 a，b 的值有关．如(a＋bx)n 的展开式中，第 k＋1 项的二项 式系数是 Ckn，而该项的系数是 Cknan－kbk.当然，在某些二项展开式中， 各项的系数与二项式系数是相等的． [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Cknan－kbk 是二项展开式的第 k 项．(　　) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　) (3)(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关．(　　) (4)在(1－x)9 的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(　　) (5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值 为 128.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．[课本改编]若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋ a4 的值为(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 答案　B 解析　令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令 x＝－1，则 a0－a1 ＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得 a0＋a2＋a4＝8. 3．[课本改编]二项式 (x－ 1 x)6 的展开式中常数项为(　　) A．－15 B．15 C．－20 D．20 答案　B 解析　依题意，二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Cr6x6－r·(－x － )r＝ (－1)rCr6x6－r－ ，令 6－r－ r 2 ＝0，得 r＝4，所以常数项为(－1) 4C46＝ 15. 4．[2018·抚州模拟]若 (x2－1 x)n 展开式的二项式系数之和为 128， 则展开式中 x2 的系数为(　　) A．－21 B．－35 C．35 D．21 答案　C 解析　由已知得 2n＝128，n＝7，所以 Tr＋1＝Cr7x2(7－r)·(－1 x )r＝C r7(－1)rx14－3r，令 14－3r＝2，得 r＝4，所以展开式中 x2 的系数为 C47(－ 1)4＝35.故选 C. 5．[2017·山东高考]已知(1＋3x)n的展开式中含有x 2项的系数是54， 则 n＝________. 答案　4 解析　(1＋3x)n 的展开式的通项为 Tr＋1＝Crn(3x)r.令 r＝2，得 T3＝ 9C2nx2.由题意得 9C2n＝54，解得 n＝4. 6．[2018·吉林模拟](x＋2) 10(x2 －1)的展开式中 x 10 的系数为 ________． 答案　179 解析　(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10，本题求 x10 的系数， 只要求(x＋2)10 展开式中 x8 及 x10 的系数 Tr＋1＝C r10x10－r·2r 取 r＝2，r＝0 得 x8 的系数为 C 210×22＝180， x10 的系数为 C 010＝1， ∴所求系数为 180－1＝179. 板块二　典例探究·考向突破 考向 　二项展开式中特定项或系数问题 例　1　(1)(x y－y x)4 的展开式中，x3y3 项的系数为________． 答案　6 解析　由二项展开式的通项可得 Tr＋1＝Cr4(x· y)4－r·(－y x)r＝(－ 1)rCr4x4－ ·y2＋ . 令Error!解得 r＝2，所以展开式中 x3y3 的系数为(－1)2C24＝6. (2)[2016·山东高考]若 (ax2＋ 1 x)5 的展开式中 x5 的系数是－80，则 实数 a＝________. 答案　－2 解析　Tr＋1＝a5－rCr5x10－r ，令 10－5 2 r＝5，解之得 r＝2，所以 a3C 25＝－80，a＝－2. 触类旁通 求二项展开式中的项或项的系数的方法 (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数分 别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数， 再根据上述特征进行分析． (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一 般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取 值范围． 【变式训练 1】　(1)[2018·广东测试](x2－ 1 2x)6 的展开式中，常数 项是(　　) A．－5 4 B.5 4 C．－15 16 D.15 16 答案　D 解析　Tr＋1＝Cr6(x2)6－r (－ 1 2x)r＝ (－1 2 )rCr6x12－3r，令 12－3r＝0，解 得 r＝4.∴常数项为 (－1 2 )4C46＝15 16 .故选 D. (2) ( x－ 1 24 x)8 的展开式中的有理项共有________项． 答案　3 解析　∵Tr＋1＝Cr8( x)8－r (－ 1 24 x)r ＝ (－1 2 )rCr8x ， ∴r 为 4 的倍数，故 r＝0,4,8 共 3 项． 考向 　二项式系数的和或各项系数的和 例　2　二项式(2x－3y)9 的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值之和． 解　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和为 C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29. (2)各项系数之和为 a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令 x＝1，y＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，① 令 x＝1，y＝－1，得 a0－a1＋a2－…－a9＝59，② ①＋②得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－1 2 ，此即为所有奇数项系数之 和． (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9， 令 x＝1，y＝－1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝ 59，此即为各项系数绝对值之和． 触类旁通 二项式定理中赋值法的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式 的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和， 只需令 x＝y＝1 即可． (3)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之 和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f(1)＋f(－1) 2 ， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f(1)－f(－1) 2 . 【变式训练 2】　(1)[2018·温州调研]已知(2x－1) 10＝a0＋a1x＋ a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则 a2＋a3＋…＋a9＋a10 的值为(　　) A．－20 B．0 C．1 D．20 答案　D 解析　令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令 x＝0，得 a0＝1，所以 a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知 a1＝C 910×21×(－1)9＝－ 20，所以 a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20. (2)在二项式 ( x＋3 x)n 的展开式中，各项系数之和为 A，各项二项 式 系 数 之 和 为 B ， 且 A ＋ B ＝ 72 ， 则 展 开 式 中 常 数 项 的 值 为 ________． 答案　9 解析　令 x＝1，得各项系数的和为 4n，而各项的二项式系数的 和等于 2n，根据已知，得方程 4n＋2n＝72，解得 n＝3.所以二项展开 式的通项 Tr＋1＝Cr3( x)3－r ( 3 x )r＝3rCr3x －r ，显然当 r＝1 时，Tr＋1 是 常数项，值为 3C13＝9. 考向 　项的系数的最值问题 例　3　[2018·宜昌高三测试]已知(x ＋3x2)n 的展开式中，各项系 数和与它的二项式系数和的比为 32. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 解　令 x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n. 又展开式中二项式系数和为 2n.∴22n 2n ＝2n＝32，n＝5. (1)∵n＝5，展开式共 6 项，∴二项式系数最大的项为第三、四 两项，∴T3＝C25(x )3(3x2)2＝90x6， T4＝C35(x )2(3x2)3＝270x22 3 . (2)设展开式中第 k＋1 项的系数最大， 则由 Tk＋1＝Ck5(x )5－k(3x2)k＝3kCk5x ， 得Error!∴7 2 ≤k≤9 2 ，∴k＝4， 即展开式中系数最大的项为 T5＝C45(x )(3x2)4＝405x . 触类旁通 1．求二项式系数最大项 (1)如果 n 是偶数，那么中间一项(第 ( n 2 ＋1)项)的二项式系数最大； (2)如果 n 是奇数，那么中间两项(第n＋1 2 项与第 ( n＋1 2 ＋1)项)的二 项式系数相等并最大． 2．求展开式系数最大项 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定 系数法，设展开式各项系数分别为 A1，A2，…，An＋1，且第 k 项系数 最大，应用Error! 从而解出 k 来，即得． 【变式训练 3】　(1)若 ( x＋2 x2)n的展开式中只有第 6 项的二项式 系数最大，则展开式中的常数项是(　　) A．180 B．120 C．90 D．45 答案　A 解析　只有第 6 项的二项式系数最大，可知 n＝10，于是展开式 通项为 Tr＋1＝C r10( x)10－r ( 2 x2 )r＝2rC r10·x5－ ，令 5－5r 2 ＝0，得 r＝2， 所以常数项为 22C 210＝180.故选 A. (2)若 x∈(0，＋∞)，则(1＋2x)15 的二项展开式中系数最大的项为 第________项． 答案　11 解析　Tr＋1＝C r152rxr，由Error! 解得29 3 ≤r≤32 3 ，故 r＝10，所以第 11 项的系数最大． 考向 　二项式定理的应用 命题角度 1　n 个多项式积的展开式问题 例　4　[2017·全国卷Ⅰ](1＋1 x2)(1＋x)6展开式中x 2的系数为(　　) A．15　 B．20　 C．30　 D．35 答案　C 解析　因为(1＋x)6 的通项为 Cr6xr，所以 (1＋1 x2)(1＋x)6 展开式中含 x2 的项为 1·C26x2 和1 x2·C46x4. 因为 C26＋C46＝2C26＝2×6 × 5 2 × 1 ＝30， 所以 (1＋1 x2)(1＋x)6 展开式中 x2 的系数为 30. 故选 C. 【变式训练 4】　[2017·全国卷Ⅲ](x＋y)(2x－y)5 的展开式中 x3y3 的系数为(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 答案　C 解析　因为 x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C35·22＝－40， x3y3＝y·(x3y2)，其系数为 C25·23＝80. 所以 x3y3 的系数为 80－40＝40.故选 C. 命题角度 2　与整除有关的问题 例　5　[2018·潍坊模拟]设 a∈Z，且 0≤a<13，若 512018＋a 能被 13 整除，则 a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 答案　D 解析　由于 51＝52－1，(52－1)2018＝C 02018522018－C 12018522017＋… － C20172018521 ＋ 1 ， 又 由 于 13 整 除 52 ， 所 以 只 需 13 整 除 1 ＋ a ， 0≤a<13，a∈Z，所以 a＝12. 命题角度 3　求近似值的问题 例　6　求 0.9986 的近似值，使误差小于 0.001. 解　0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15×(－0.002) 2＋… ＋(－0.002)6， ∵T3＝15×(－0.002)2＝0.00006<0.001， 即第 3 项以后的项的绝对值都小于 0.001， ∴从第 3 项起，以后的项可以忽略不计， 即 0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988. 触类旁通 二项式定理应用的题型及解法 (1)对于多项式积的特定项问题，可通过“搭配”解决，但要注 意不重不漏． (2)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除 式(数)展开后的每一项都含有除式的因式． (3)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当 n 不很大，|x|比 较小时，(1＋x)n≈1＋nx. 【变式训练 5】　99100＋1 除以 1000 的余数是________． 答案　2 解析　99100＋1＝(100－1)100＋1 ＝C 0100×100100＋(－C 1100×10099)＋…＋(－C 99100×100)＋C100100×1＋ 1 ＝100100－100×10099＋…－10000＋2， 从第一项到倒数第二项都能被 1000 整除， ∴余数是 2. 核心规律 1.二项展开式的通项 Tk＋1＝Cknan－kbk 是展开式的第 k＋1 项，这是 解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项 的系数时，要根据通项公式讨论对 k 的限制． 2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以，在解题时， 根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方 法． 满分策略 1.注意(a＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项 时是不同的，一定要注意顺序问题． 2.解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项 的不同． 3.切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大 的项”等概念. 板块三　启智培优·破译高考 题型技法系列 17——拆分法破解三项展开式中特定项(系数)问题 [2015·全国卷Ⅰ](x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 解题视点　利用拆分法，(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，将(x2＋x)看 作一项，应用二项式定理求解． 解析　由二项展开式通项易知 Tr＋1＝Cr5(x2＋x)5－ryr，令 r＝2， 则 T3＝C25(x2＋x)3y2，对于二项式(x2＋x)3，由 Tt＋1＝Ct3(x2)3－t·xt＝Ct3x6－ t，令 t＝1，所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30.故选 C. 答案　C 答题启示　二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题， 一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去 求解. 跟踪训练 (1)(x2－x＋1)10 展开式中 x3 项的系数为(　　) A．－210 B．210 C．30 D．－30 答案　A 解析　(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C 010(x2)10－C 110(x2)9(x－1)＋… －C 910x2(x－1)9＋C1010(x－1)10，所以含 x3 项的系数为：－C 910C89＋C1010(－ C 710)＝－210.故选 A. (2)[2018· 安 徽 安 庆 模 拟 ] 将 (x＋4 x －4)3 展 开 后 ， 常 数 项 是 ________． 答案　－160 解析　 (x＋4 x －4)3＝ ( x－ 2 x)6 展开后的通项是 Ck6( x)6－k· (－ 2 x)k＝(－2)k·C k6( x)6－2k. 令 6－2k＝0，得 k＝3. 所以常数项是 C36(－2)3＝－160. 板块四　模拟演练·提能增分 [A 级　基础达标] 1．已知 ( a＋1 a)n(n∈N*)的展开式中含 a3 的项为第 3 项，则 n 的 值为(　　) A．2 B．6 C．12 D．24 答案　C 解析　∵T3＝C2na ( 1 a )2＝C2na－3 ，∴n 2 －3＝3，得 n＝12.故选 C. 2．[2018·湖北模拟]若二项式 (2x＋a x)7 的展开式中1 x3 的系数是 84， 则实数 a＝(　　) A．2 B.5 4 C．1 D. 2 4 答案　C 解析　Tr＋1＝Cr7·(2x)7－r·( a x )r＝27－rCr7ar· 1 x2r－7.令 2r－7＝3，则 r ＝5.由 22·C57a5＝84 得 a＝1.故选 C. 3．(1＋x)8(1＋y)4 的展开式中 x2y2 的系数是(　　) A．56 B．84 C．112 D．168 答案　D 解析　因为(1＋x)8 的展开式中 x2 的系数为 C28，(1＋y)4 的展开式 中 y2 的系数为 C24，所以 x2y2 的系数为 C28C24＝168.故选 D. 4．已知(1－2x)n 展开式中，奇数项的二项式系数之和为 64，则(1 －2x)n(1＋x)的展开式中含 x2 项的系数为(　　) A．71 B．70 C．21 D．49 答案　B 解析　因为奇数项的二项式系数之和为 2n－1，所以 2n－1＝64，n＝ 7，因此(1－2x)n(1＋x)的展开式中含 x2项的系数为 C27(－2)2＋C17(－2)＝ 70.故选 B. 5．若 (x＋a x)(2x－1 x)5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式 的常数项为(　　) A．－40 B．－20 C．20 D．40 答案　D 解析　令 x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1. ∴ (2x－1 x)5的通项为T r＋1＝Cr5·(2x)5－r·(－1 x )r＝(－1)r·25－r·C r5·x5－2r. 令 5－2r＝1，得 r＝2.令 5－2r＝－1，得 r＝3. ∴展开式的常数项为(－1)2×23·C25＋(－1)3· 22·C35＝80－40＝40. 6．[2018·遵义四中月考](2－ x)8 展开式中不含 x4 项的系数的和 为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　B 解析　二项式的通项 Tk＋1＝Ck828－k(－1)k( x)k＝Ck828－k·(－1) kx ， 令 k＝8，则 T9＝C88(－1)8x4＝x4，∴x4 的系数为 1，令 x＝1，得展开 式的所有项系数和为(2－1)8＝1，∴不含 x4 项的系数的和为 0.选 B. 7．[2018·衡水模拟]已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋ a10(1－x)10，则 a8 等于(　　) A．180 B．90 C．－5 D．5 答案　A 解析　(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，其通项公式为 Tr＋1＝C r10210－r·(－ 1)r(1－x)r，a8 是 r＝8 时，第 9 项的系数．∴a8＝C 81022(－1)8＝180.故 选 A. 8．设 a＝ ∫π 0 sinxdx，则二项式 (a x－ 1 x)6 展开式中的常数项是 ________． 答案　－160 解析　a＝∫π 0 sinxdx＝(－cosx)|π0＝2， Tr＋1＝Cr6(2 x)6－r (－ 1 x)r＝Cr626－r(－1)rx3－r， 令 3－r＝0，则 r＝3. 所以二项展开式中常数项为－C36·23＝－160. 9．[2018·唐山模拟]S＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以 9 的余数为 ________． 答案　7 解析　依题意 S＝C 127＋C 227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－ 1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9×(C09×98－C19×97＋…＋ C89)－2.∵C09×98－C19×97＋…＋C 89是正整数，∴S 被 9 除的余数为 7. 10．[2015·全国卷Ⅱ](a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的 系数之和为 32，则 a＝________. 答案　3 解析　设 f(x)＝(a＋x)(1＋x)4，则其展开式的所有项的系数和为 f(1)＝(a＋1)·(1＋1)4＝(a＋1)×16，∵展开式中 x 的奇数次幂项的系数 和为1 2 [f(1)－f(－1)]，又 f(－1)＝0，∴1 2 ×(a＋1)×16＝32，∴a＝3. [B 级　知能提升] 1．[2018·山西四校联考]若 (x6＋ 1 x x)n 的展开式中含有常数项，则 正整数 n 的最小值等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　Tr＋1＝Crn(x6)n－r ( 1 x x )r＝Crnx6n－ ，当 Tr＋1 是常数项时，6n－ 15r 2 ＝0，即 n＝5r 4 ，又 n∈N*，故 n 的最小值为 5.故选 C. 2．[2018·福建厦门联考]在 (1＋x＋ 1 x2018)10 的展开式中，x2 的系数 为(　　) A．10 B．30 C．45 D．120 答案　C 解析　因为 (1＋x＋ 1 x2018)10＝ [(1＋x)＋ 1 x2018]10＝(1＋x) 10＋C 110(1＋ x)9 1 x2018 ＋…＋C1010 ( 1 x2018)10，所以 x2 只出现在(1＋x)10 的展开式中，所以 含 x2 的项为 C 210x2，系数为 C 210＝45.故选 C. 3．[2017·浙江高考]已知多项式(x＋1) 3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋ a3x2＋a4x＋a5，则 a4＝________，a5＝________. 答案　16　4 解析　a4 是 x 项的系数，由二项式的展开式得 a4＝C33·C12·2＋C23·C22·22＝16；a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝ C33·C22·22＝4. 4．已知 (x＋ 1 2 x)n 的展开式中前三项的系数成等差数列． (1)求 n 的值； (2)求展开式中系数最大的项． 解　(1)由题设，得 C0n＋1 4 ·C2n＝2×1 2 ·C1n， 即 n2－9n＋8＝0，解得 n＝8，n＝1(舍去)． (2)设第 r＋1 的系数最大，则Error! 即Error!解得 2≤r≤3. 所以系数最大的项为 T3＝7x5，T4＝7x . 5．[2018·焦作模拟]已知 ( x－2 x2)n(n∈N*)的展开式中第五项的系 数与第三项的系数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含 x 的项； (3)求展开式中二项式系数最大的项． 解　由题意知，第五项系数为 C4n·(－2)4， 第三项的系数为 C2n·(－2)2，则有C4n·(－2)4 C2n·(－2)2 ＝10 1 ， 化简得 n2－5n－24＝0， 解得 n＝8 或 n＝－3(舍去)． (1)令 x＝1 得各项系数的和为(1－2)8＝1. (2)通项公式 Tk＋1＝Ck8·( x)8－k·(－ 2 x2)k＝Ck8·(－2) k·x－2k ，令8－k 2 － 2k＝3 2 ，则 k＝1. 故展开式中含 x 的项为 T2＝－16x . (3)由 n＝8 知第五项二项式系数最大， 此时 T5＝1120x－6.