【数学】2021届一轮复习人教A版导数的隐极值点代换学案

【数学】2021届一轮复习人教A版导数的隐极值点代换学案

导数的隐极值点代换 导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的判断，而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系，可以说是导函数零点的判断、数值上的精确求解或者估计是导数综合应用中最核心的问题。导函数的零点，根据其数值计算上的差异，可以分为两类：‎ 1、 数值上能够精确求解的，称为显零点 2、 能够判断其存在但是无法直接表示的，称为隐零点 对于隐零点问题，由于涉及灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧妙的不等式应用，对学生的综合能力要求比较高，往往称为考察的难点 题型一：隐极值点代换 ‎[例题]设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值．‎ ‎【解答】解：函数的定义域是，，‎ 若，则，所以函数在上单调递增．‎ 若，则当时，；‎ 当时，；‎ 所以，在单调递减，在上单调递增．‎ 由于，所以， ‎ 故当时， 等价于①‎ 令，则 由知，当时，函数在上单调递增，‎ 而（1），（2），‎ 所以在上存在唯一的零点，‎ 故在上存在唯一的零点，设此零点为，则有 当时，；当时，；‎ 所以在上的最小值为．‎ 又由，可得所以，‎ 由于①式等价于，故整数的最大值为2．‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）的定义域为，‎ ‎．‎ 当时，恒成立，故没有零点，‎ 当时，为单调递增，单调递增，‎ 在单调递增，‎ 又（a），‎ 假设存在满足时，且，（b），‎ 故当时，导函数存在唯一的零点，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数在上的唯一零点为，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 故在单调递减，在单调递增，‎ 所欲当时，取得最小值，最小值为，‎ 由于，‎ 所以．‎ 故当时，．‎ 题型二、恒成立求参之隐极值点代换 ‎[例题1]已知函数f（x）=a•ex+-2(a+1)(a＞0)． （Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求a的取值范围．‎ ‎[例题2]设函数f(x)=(x-a)2lnx,aR (1) 若x=e为函数的极值点，求实数a的值 (2) 若对任意的x(0,3e],恒有f(x)≤4e2,求实数a的取值范围 ‎ ‎ 题型三：隐极值的值域问题 ‎[例题](I)讨论函数的单调性，并证明当时， ‎ ‎(II)证明：当 时，函数 有最小值.设的最小值为，求函数的值域.‎ ‎【解析】⑴证明：‎ ‎ ‎ ‎ ∵当时，‎ ‎ ∴在上单调递增 ‎ ∴时，‎ ‎ ∴‎ ‎⑵ ‎ ‎ ‎ ‎ 由(1)知，当时，的值域为，只有一解．‎ ‎ 使得，‎ 当时，单调减；当时，单调增 记，在时，，∴单调递增 ‎∴．‎