【数学】2020届一轮复习人教B版求参数的取值范围学案

【数学】2020届一轮复习人教B版求参数的取值范围学案

微专题73 求参数的取值范围 一、基础知识：‎ ‎ 求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围 ‎1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不等关系如下：‎ ‎（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围 ‎① 椭圆（以为例），则，‎ ‎② 双曲线：（以为例），则（左支）（右支）‎ ‎ ‎ ‎③ 抛物线：（以为例，则 ‎（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程 ‎ ‎（3）点与椭圆（以为例）位置关系：若点在椭圆内，则 ‎ ‎（4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件 ‎2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围 ‎（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”；③ 反比例函数；④ 分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。‎ ‎（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。‎ ‎3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：‎ ‎（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域 ‎（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题：‎ 例1：已知椭圆，、是其左右焦点，离心率为，且经过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程； ‎ ‎（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，为椭圆上动点，设直线斜率为，且，求直线斜率的取值范围；‎ 解：（1） ‎ 椭圆方程为：代入可得： ‎ ‎ 椭圆方程为： ‎ ‎（2）由（1）可得： 设，‎ 则 ‎ ‎ ‎ 在椭圆上 ‎ ‎ ‎ 即 例2：已知椭圆的离心率为，其左，右焦点分别是，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为 ‎ ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围 解：（1） ‎ 的周长 ‎ ‎ ‎ 椭圆方程为： ‎ ‎（2）设直线的方程为，， ‎ ‎ ‎ 联立直线与椭圆方程： ‎ ‎，解得： ‎ ‎ ‎ ‎，代入可得： ‎ ‎ ‎ 由条件可得：‎ ‎ ‎ ‎，代入可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且在所有过焦点的弦中，弦长的最小值为 ‎（1）求椭圆方程 ‎（2）若过点的直线 与椭圆交于不同的两点（在之间），求三角形与三角形面积比值的范围 解：（1） ‎ 由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为 ‎ ‎ ‎ 椭圆方程为 ‎ ‎（2）设， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 联立直线与椭圆方程：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 同号 ‎ ‎ ‎ ‎ 设，所解不等式为： ‎ ‎，即 例4：已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程 ‎（3）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足，求的取值范围 解：（1） 与圆相切 ‎ ‎ ‎ 即，解得 ‎（2）由（1）可得 线段的垂直平分线交于点 即 的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，设为 ‎ ‎ ‎（3）思路：由已知可得，设，则所求为关于的函数，只需确定的范围即可，因为，所以有可能对的取值有影响，可利用此条件得到关于的函数，从而求得范围。‎ 解：与椭圆的交点为，设 ‎，因为，化简可得：‎ ‎ ①‎ 考虑 由①可得 时，可得 例5：已知椭圆的离心率，左焦点为，椭圆上的点到距离的最大值为 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）在（1）的条件下，过点的直线与圆交于两点，与点的轨迹交于两点，且，求椭圆的弦长的取值范围 解：（1）由离心率可得： ‎ 依题意可得： 可得：‎ 椭圆方程为：‎ ‎（2）由（1）可得椭圆方程为 不妨设 ‎① 当直线斜率不存在时，，符合题意，可得：‎ ‎② 当直线斜率存在时，‎ 设直线 ‎ 在圆中 ‎ ‎ 可得：‎ 解得：‎ 设，联立直线与椭圆方程：‎ 消去可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由可得：‎ 综上所述：的取值范围是 例6：已知椭圆的两个焦点，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点，作圆的两条切线，设切点分别为，若直线与椭圆交于不同的两点，求的取值范围 解：（1）使得的点恰有两个 的最大值为 为短轴顶点时，　‎ ‎　　　‎ 到焦点的距离的最大值为 椭圆的方程：‎ ‎（2）由椭圆方程可得圆 设，由圆的性质可得：‎ 代入可得：　　满足方程 则到的距离 下面计算：联立方程 设 不妨设 设，所以 设 在单调递增 所以，即 例7：已知椭圆过点，且离心率 ‎（1）求椭圆方程 ‎（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围 解：（1）可得：‎ 椭圆方程为，代入可得：‎ 椭圆方程为：‎ 设，联立方程可得：‎ ‎ ‎ 设中点，则 则的中垂线为：，代入可得：‎ ‎，代入可得：‎ 或 即的取值范围是 例8：在平面直角坐标系中，原点为,抛物线的方程为,线段是抛物线的一条动弦．‎ ‎（1）求抛物线的准线方程和焦点坐标;‎ ‎（2）当时，设圆,若存在且仅存在两条动弦,满足直线与圆相切，求半径的取值范围？‎ 解：（1）由抛物线可得：，准线方程： ‎ ‎（2）设直线， ，联立方程：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 与圆相切 ‎ ‎ ，不妨令 ‎ 则，令 ‎ 在单调递减，在单调递增 ‎ ‎ 则若关于的方程有两解，只需关于的方程有一解 时，与有一个交点 ‎ ‎ 例9：已知椭圆的离心率为，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且的周长是 ‎ ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）设圆，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于两点，当圆心在轴上移动且时，求的斜率和取值范围 解：（1） ‎ 的周长 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 椭圆方程为： ‎ ‎（2）由椭圆方程可得： ，设过且与圆相切的直线方程为 ‎ ‎ ‎ ‎，整理可得：‎ ‎ ‎ 两条切线斜率是方程的两根 联立直线与椭圆方程可得：‎ 消去可得： ‎ ‎，同理可得：‎ ‎ ‎ 由可得：‎ ‎ ‎ 设，可知为增函数， ‎ 例10：已知椭圆，其中为左右焦点，且离心率为，直线与椭圆交于两不同点，当直线过椭圆右焦点且倾斜角为时，原点到直线的距离为 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）若，当的面积为时，求的最大值 解：（1）设直线 ‎ ‎ 椭圆方程为 ‎（2）若直线斜率存在，设，‎ ‎ ‎ 联立方程：消去可得：，整理可得：‎ 考虑 即 等号成立条件：‎ 时的最大值是 当斜率不存在时，关于轴对称，设 ‎，再由可得：‎ 可计算出 所以综上所述的最大值是 三、历年好题精选 ‎1、已知点是双曲线上的动点，分别是双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、（2015，新课标I）已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、（四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是______‎ ‎4、（2018，广东省四校第二次联考）抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5、（2018，贵州模拟）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且是线段的中点，若果三点的圆恰好与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过定点的直线与椭圆交于两点，且.若实数满足，求的取值范围.‎ ‎6、（2015，山东理）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆 的方程；‎ ‎（2）设椭圆，为椭圆上的任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点 ‎①求的值；②求面积最大值.‎ ‎7、（四川）已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 ‎（1）求椭圆的标准方程 ‎（2）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点 ‎ ‎① 证明：平分线段（其中为坐标原点）‎ ‎② 当最小时，求点的坐标 ‎8、（湖南）如图，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且 ‎ ‎（1）求的方程 ‎（2）过作的不垂直于轴的弦为的中点，当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值 ‎9、（山东）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当的横坐标为3时，为正三角形 ‎（1）求的方程 ‎（2）若直线，且和有且只有一个公共点 ‎ ‎① 证明直线过定点，并求出定点坐标 ‎② 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 ‎ ‎ ‎10、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2018届高三上期末）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.‎ ‎（1）求椭圆的方程;‎ ‎（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由;‎ ‎（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.‎ ‎11、（南通市海安县2018届高三上期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的焦距为2‎ ‎（1）若椭圆经过点，求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设，为椭圆的左焦点，若椭圆存在点，满足，求椭圆的离心率的取值范围；‎ ‎12、已知定点，曲线C是使为定值的点的轨迹，曲线过点.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）直线过点，且与曲线交于，当的面积取得最大值时，求直线的方程；‎ ‎（3）设点是曲线上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线交曲线的长轴于点，求的取值范围. ‎ ‎13、已知圆,若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围．‎ ‎14、已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ ‎(2) 若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共 线，且，求的取值范围. ‎ 习题答案：‎ ‎1、答案：B 解析：设，其中，由焦半径公式可得： ‎ ‎ ‎ 代入可得：‎ 因为 所以解得 由对称性可知：当时，‎ ‎2、答案：A 解析：由可得，所以 ‎，则，由得：‎ 代入到不等式：，解得 ‎ ‎3、答案：5‎ 解析：由两条动直线 可得两条信息：①两个定点坐标，且两条直线垂直，垂足即为，所以为直角三角形，可知 ‎，由均值不等式可得，等号成立当且仅当 ‎ ‎4、答案：A 解析：过分别作准线的垂线，垂足设为 设，由抛物线定义可得：‎ 在梯形中，可得为中位线 由余弦定理可知在中，‎ ‎ ‎ ‎5、解析：设椭圆的半焦距为 由为线段中点，‎ 所以三点圆的圆心为，半径为 又因为该圆与直线相切，所以 所以，故所求椭圆方程为；‎ （2） 若与轴不垂直，可设其方程为，代入椭圆方程 可得，由，得 设，根据已知，有 于是 消去，可得 因为，所以 即有，有 ‎6、解析：（1） 椭圆离心率为 ‎，‎ ‎ 左、右焦点分别是,‎ 圆：‎ 圆：由两圆相交可得，即，交点，‎ ‎，‎ 整理得，解得（舍去）‎ 故椭圆C的方程为.‎ ‎（2）① 椭圆E的方程为，‎ 设点，满足，射线，‎ 代入可得点，于是.‎ ‎② 点到直线距离等于原点O到直线距离的3倍：‎ ‎，得，整理得 ‎ ，‎ 当且仅当等号成立.‎ 而直线与椭圆C：有交点P，则 有解，即有解，‎ 其判别式，即，则上述不成立，等号不成立，‎ 设，则在为增函数，‎ 于是当时，故面积最大值为12.‎ ‎7、解析：（1）由已知可得：解得： ‎ 椭圆方程为： ‎ ‎（2）① 由（1）可得：，设 ‎ ‎ ‎ 所以设，，联立椭圆方程可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设为的中点，则点的坐标为 ‎ ‎ 的斜率 ‎ 在上，即平分 ‎ ‎② 由①可得： ‎ 由弦长公式可得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 等号成立当且仅当 最小时，点的坐标为 ‎ ‎8、解析：（1）由可得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）可得：，设直线，联立方程可得：‎ ‎ ‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 中点 ‎ 即 ‎ 与双曲线联立方程可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为 ‎，因为点在直线的异侧 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由 时， ‎ 综上所述：四边形面积的最小值为2‎ ‎9、解析：（1）依题意可知，设，则的中点为 ‎ ‎ ‎ 由抛物线定义可知：，解得：或（舍）‎ ‎ 抛物线方程为： ‎ ‎（2）① 由（1）可得，设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的斜率为 直线 设直线，代入抛物线方程：‎ ‎ 和有且只有一个公共点 ‎ ‎ 设，则可得： ‎ 当时， ‎ ‎ ，整理可得：‎ ‎ 恒过点 ‎ 当时，可得：，过点 过点 ‎② 由①可得：过点 ‎ ‎ 设 ‎ 在直线上， ‎ 设 直线的方程为 ‎ 代入抛物线方程可得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，等号成立当且仅当 ‎ ‎10、解析：（1）由左顶点为可得，又，所以 又因为，‎ 所以椭圆C的标准方程为.‎ ‎（2）直线的方程为，由消元得，.‎ 化简得，，‎ 所以，.‎ 当时，，‎ 所以.因为点为的中点，所以的坐标为，则 直线的方程为，令，得点坐标为，‎ 假设存在定点，使得，‎ 则，即恒成立，‎ 所以恒成立，所以即 因此定点的坐标为. ‎ ‎（3）因为，所以的方程可设为，‎ 由得点的横坐标为 由，得 ‎，‎ 当且仅当即时取等号，‎ 所以当时，的最小值为．‎ ‎11、解析：（1）依题意可得：‎ 将代入椭圆方程可得：‎ 解得：‎ 椭圆方程为 ‎（2）可知，设，可知：‎ 由可得：‎ ‎，整理可得：‎ 联立方程：，可解得：‎ ‎ ，即 ‎12、解析：（1） 2分 曲线C为以原点为中心，为焦点的椭圆 设其长半轴为,短半轴为,半焦距为，则，‎ 曲线C的方程为 4分 ‎（2）设直线的为代入椭圆方程，得 ‎，计算并判断得，‎ 设,得 到直线的距离，设，则 当时，面积最大 的面积取得最大值时，直线l的方程为：‎ 和 9分 ‎（3）由题意可知：=,= ‎ 设其中，将向量坐标代入并化简得：‎ m（， ‎ 因为，所以， ‎ 而，所以 ‎ ‎13、解析：(1)设椭圆的焦距为2C，因为a=,,‎ ‎,所以椭圆C的方程为.‎ ‎(2)设,‎ 联立直线与椭圆方程得：‎ ‎,则 ‎,‎ M()到直线的距离。‎ ‎,显然若点H也在直线AB上,则由对称性可知,直线就是y轴与已知矛盾,‎ 要使得|AG|=|BH|,‎ 只要|AB|=|GH|,‎ ‎,‎ 当时,，‎ 当k时, ,‎ 综上.‎ ‎14、解析：(1)由几何性质可知：当内切圆面积取最大值时，‎ 即取最大值，且.‎ 由得 又为定值，，‎ 综上得；‎ 又由，可得，即，‎ 经计算得，，，‎ 故椭圆方程为. ‎ ‎(2) ①当直线与中有一条直线垂直于轴时，.‎ ‎②当直线斜率存在但不为0时，‎ 设的方程为：，由 消去可得：‎ ‎，‎ 代入弦长公式得： ，‎ 同理由消去可得，‎ 代入弦长公式得：，‎ 所以 令，则，所以，‎ 由①②可知，的取值范围是. ‎