2018-2019学年福建省厦门市高二下学期期末考试数学（理)试题 解析版

2018-2019学年福建省厦门市高二下学期期末考试数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 福建省厦门市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知复数 (是虚数单位)，则的虚部为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的除法将复数表示为一般形式，于是可得出复数的虚部。‎ ‎【详解】‎ ‎，因此，复数的虚部为，故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的概念，解决复数问题，一般利用复数的四则运算律将复数表示为一把形式，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎2．一物体做直线运动，其位移 (单位: )与时间 (单位: )的关系是，则该物体在时的瞬时速度是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在时的瞬时速度。‎ ‎【详解】‎ 对求导，得，，‎ 因此，该物体在时的瞬时速度为，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎3．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的周长为，则的值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义知的周长为，可求出的值，再结合、、的关系求出的值，即的值。‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的长轴长为，焦距为，则，，‎ 由椭圆定义可知，的周长为，，‎ ‎，解得，故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义的应用，考查利用椭圆定义求椭圆的焦点三角形问题，在处理椭圆的焦点与椭圆上一点线段（焦半径）问题，一般要充分利用椭圆定义来求解，属于基础题。‎ ‎4．独立性检验中,假设:运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下,计算得的观测值.下列结论正确的是（ ）‎ 附：‎ ‎0．10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关 B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关 C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关 D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据临界值表找到犯错误的概率，即可对各选项结论的正误进行判断。‎ ‎【详解】‎ ‎，因此，在犯错误的概率不超过的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验的基本思想，解题的关键就是利用临界值表找出犯错误的概率，考查分析能力，属于基础题。‎ ‎5．数列中，则，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算、、归纳出的表达式，然后令可得出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 猜想，对任意的，，因此，，故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理，解归纳推理的问题的思路就由特殊到一般，寻找出规律，根据规律进行归纳，考查逻辑推理能力，属于中等题。‎ ‎6．已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸取3次，设为取得红球的次数，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意得出随机变量，然后利用二项分布概率公式计算出。‎ ‎【详解】‎ 由题意知，，由二项分布的概率计算公式得，‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项分布概率的计算，关键是要弄清楚随机变量所服从的分布，同时也要理解独立重复试验概率的计算公式，着重考查了推理与运算能力，属于中等题。‎ ‎7．“”是“函数是增函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数为增函数，转化为恒成立，求出实数的取值范围，再利用实数的取值范围的包含关系得出两条件的充分必要关系。‎ ‎【详解】‎ 当函数为增函数，则在上恒成立，‎ 则，‎ 因此，“”是“函数为增函数”的充分不必要条件，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判断，涉及参数的取值范围，一般要由两取值范围的包含关系来判断，具体如下：‎ ‎（1），则“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎（2），则“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎（3），则“”是“”的充要条件；‎ ‎（4），则则“”是“”的既不充分也不必要条件。‎ ‎8．将4名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作，要求每一个地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不安排在同一个地方工作，则不同的安排方法共有 A．24种 B．30种 C．32种 D．36种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用间接法，即首先安排人到三个地方工作的安排方法数，再求出当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时的安排方法数，于是得出答案。‎ ‎【详解】‎ 先考虑安排人到三个地方工作，先将人分为三组，分组有种，再将这三组安排到三个地方工作，则安排人到三个地方工作的安排方法数为种，‎ 当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时，则只有一个分组情况，此时，甲、乙两名志愿者安排在同一个地方工作的安排方法数为，‎ 因此，所求的不同安排方法数为种，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合综合问题的求解，当问题分类情况较多或问题中带有“至少”时，宜用间接法来考查，即在总体中减去不符合条件的方法数，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题。‎ ‎9．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星至地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为李明根据所学的椭圆知识，得到下列结论：‎ ‎①卫星向径的最小值为，最大值为；‎ ‎②卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁；‎ ‎③卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 其中正确结论的个数是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的焦半径的最值来判断命题①，根据椭圆的离心率大小与椭圆的扁平程度来判断命题②，根据题中“速度的变化服从面积守恒规律”来判断命题③。‎ ‎【详解】‎ 对于命题①，由椭圆的几何性质得知，椭圆上一点到焦点距离的最小值为，最大值为，所以，卫星向径的最小值为，最大值为，结论①正确；‎ 对于命题②，由椭圆的几何性质知，当椭圆的离心率越大，椭圆越扁，卫星向径的最小值与最大值的比值，当这个比值越小，则越大，此时，椭圆轨道越扁，结论②正确；‎ 对于命题③，由于速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，当卫星越靠近远地点时，向径越大，当卫星越靠近近地点时，向径越小，由于在相同时间扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，结论③错误。故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆几何量对椭圆形状的影响，在判断时要充分理解这些几何量对椭圆形状之间的关系，考查分析问题的能力，属于中等题。‎ ‎10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作的渐近线的垂线，垂足为点，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出 ‎，由诱导公式得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值。‎ ‎【详解】‎ 如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为，‎ 由点到直线的距离公式可得，‎ 由勾股定理得，‎ 在中，，，‎ 在中，，，，‎ ‎，‎ 由余弦定理得，化简得，，‎ 即，因此，双曲线的离心率为，故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线离心率的求解，属于中等题。求离心率是圆锥曲线一类常考题，也是一个重点、难点问题，求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：‎ ‎①直接求出、，可计算出离心率；‎ ‎②构造、的齐次方程，求出离心率；‎ ‎③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解。‎ ‎11．已知不等式对任意恒成立，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数求出函数的最小值，由得出，得出，并构造，利用导数求出的最大值，即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 构造函数，由题意知，。‎ ‎①当时，，，此时，函数在上单调递增，‎ 当时，，此时，不恒成立；‎ ‎②当时，令，得。‎ 当时，；当时，。‎ 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即，‎ ‎，，‎ 构造函数，其中，则。‎ 令，得。当时，；当时，。‎ 此时，函数在处取得极大值，亦即最大值，即。‎ 因此，的最大值为，故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数恒成立问题，考查了函数的单调性，训练了导数在求最值中的应用，渗透了分类讨论的思想，构造函数利用导数研究函数的最值是解决函数不等式恒成立的常用方法，考查分析问题的能力，属于难题。‎ ‎12．如图，在正四棱柱中， 是侧面内的动点，且记与平面所成的角为，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，设点，利用，转化为，得出，利用空间向量法求出的表达式，并将代入的表达式，利用二次函数的性质求出的最大值，再由同角三角函数的基本关系求出的最大值。‎ ‎【详解】‎ 如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、，‎ 设点，则，，，，‎ ‎，则，得，‎ 平面的一个法向量为，‎ 所以，‎ ‎ ，‎ 当时，取最大值，此时，也取最大值，‎ 且，此时，，‎ 因此，，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查立体几何的动点问题，考查直线与平面所成角的最大值的求法，对于这类问题，一般是建立空间坐标系，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的问题求解，考查运算求解能力，属于难题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知随机变量，则___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正态密度曲线的对称性得出，可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 由于随机变量，正态密度曲线的对称轴为直线，‎ 所以，，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布概率的计算，解这类问题的关键就是要充分利用正态密度曲线的对称轴，利用对称性解题，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎14．展开式中的常数项是____________(用数字作答)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将二项式变形为，得出其展开式通项为 ‎，再利用，求出，不存在，再将代入可得出所求常数项。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 所以，展开式的通项为 ‎ ，‎ 令，可得，不存在，‎ 因此，展开式中的常数项是，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式定理，考查指定项系数的求解，解这类问题一般是利用二项式定理将展开式表示为通项，利用指数求出参数，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎15．已知函数恰有两个零点，则实数的值为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，得，转化为直线与函数的图象有两个交点，于此可得出实数的值。‎ ‎【详解】‎ 令，得，构造函数，其中，‎ 问题转化为：当直线与函数的图象有两个交点，求实数的值。‎ ‎，令，得，列表如下：‎ 极小值 作出图象如下图所示：‎ 结合图象可知，，因此，，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点个数问题，由函数零点个数求参数的取值范围，求解方法有如下两种：‎ ‎（1）分类讨论法：利用导数研究函数的单调性与极值，借助图象列出有关参数的不等式组求解即可；‎ ‎（2）参变量分离法：令原函数为零，得，将问题转化为直线与函数的图象，一般要利用导数研究函数的单调性与极值，利用图象求解。‎ ‎16．已知抛物线的焦点为，平行轴的直线与圆交于两点（点在点的上方）， 与交于点，则周长的取值范围是____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点作垂直与抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义得，从而得出的周长为，考查直线与圆相切和过圆心，得出、‎ ‎、不共线时的范围，进而得出周长的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 如下图所示：‎ 抛物线的焦点，准线为，过点作，垂足为点，‎ 由抛物线的定义得，圆的圆心为点，半径长为，‎ 则的周长，‎ 当直线与圆相切时，则点、重合，此时，；‎ 当直线过点时，则点、、三点共线，则。‎ 由于、、不能共线，则，所以，，即，‎ 因此，的周长的取值范围是，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义，考查三角形周长的取值范围，在处理直线与抛物线的综合问题时，若问题中出现焦点，一般要将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离利用定义转化，利用共线求最值，有时也要注意利用临界位置得出取值范围，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题。‎ ‎(1)求甲选手能晋级的概率；‎ ‎(2)若乙选手每题能答对的概率都是 ‎，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平。‎ ‎【答案】（1）；（2）乙选手比甲选手的答题水平高 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解法一：分类讨论，事件“甲选手能晋级”包含“甲选手答对道题”和“甲选手答对道题”，然后利用概率加法公式求出所求事件的概率；‎ 解法二：计算出事件“甲选手能晋级”的对立事件“甲选手答对道题”的概率，然后利用对立事件的概率公式可计算出答案；‎ ‎（2）乙选手答对的题目数量为，甲选手答对的数量为，根据题意知，随机变量服从超几何分布，利用二项分布期望公式求出，再利用超几何分布概率公式列出随机变量的分布列，并计算出，比较和的大小，然后可以下结论。‎ ‎【详解】‎ 解法一：（1）记“甲选手答对道题”为事件，，“甲选手能晋级”为事件，则。‎ ‎；‎ ‎（2）设乙选手答对的题目数量为，则，故，‎ 设甲选手答对的数量为，则的可能取值为，‎ ‎，，，‎ 故随机变量的分布列为 所以，，则，‎ 所以，乙选手比甲选手的答题水平高；‎ 解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件，则；‎ ‎（2）同解法二。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的加法公式、对立事件的概率、古典概型的概率计算以及随机变量及其分布列，在求随机分布列的问题，关键要弄清楚随机变量所服从的分布类型，然后根据相关公式进行计算，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎18．已知函数 ‎(1)求的图象在点处的切线方程；‎ ‎(2)求在上的最大值与最小值。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求出的值，作为切线的斜率，并计算出，再利用点斜式写出切线的方程；‎ ‎（2）利用导数分析函数在区间上的单调性，并求出极值，再与端点值比较大小，即可得出函数在区间上的最大值和最小值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ 所以，函数的图象在点处的切线的斜率为，‎ ‎，所以，函数的图象在点处的切线方程为，‎ 即；‎ ‎（2），。‎ 当时，；当时，。‎ 所以，，‎ 因为，，‎ 所以，，则，‎ 所以，函数在上的最大值为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，考查函数的最值与导数，在处理函数的最值时，要充分利用导数分析函数的单调性，并将极值与端点函数值作大小比较得出结论，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。‎ ‎19．某学习小组在研究性学习中,对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究.该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度(如图1),以及浸泡的100颗绿豆种子当天内的出芽数(如图2).‎ 根据上述数据作出散点图,可知绿豆种子出芽数 (颗)和温差 ()具有线性相关关系.‎ ‎(1)求绿豆种子出芽数 (颗)关于温差 ()的回归方程；‎ ‎(2)假如4月1日至7日的日温差的平均值为11,估计4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数.‎ 附：，‎ ‎【答案】(1) (2) 5125颗.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中信息，作出温差与出芽数（颗）之间数据表，计算出、，并将表格中的数据代入最小二乘法公式计算出和，即可得出回归直线方程；‎ ‎（2）将月日至日的日平均温差代入回归直线方程，可得出颗绿豆种子的发芽数，于是可计算出颗绿豆种子在一天内的发芽数。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依照最高(低)温度折线图和出芽数条形图可得如下数据表：‎ 日期 ‎1日 ‎2日 ‎3日 ‎4日 ‎5日 ‎6日 温差 ‎7‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎13‎ ‎11‎ 出芽数 ‎23‎ ‎26‎ ‎37‎ ‎31‎ ‎40‎ ‎35‎ 故，，‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎-9‎ ‎-6‎ ‎5‎ ‎-1‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以绿豆种子出芽数 (颗)关于温差 ()的回归方程为；‎ ‎（2）因为4月1日至7日的日温差的平均值为，‎ 所以4月7日的温差，‎ 所以，‎ 所以4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数约为5125颗.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查回归分析及其应用等基础知识，解题的关键就是理解和应用最小二乘法公式，‎ 考査数据处理能力和运算求解能力，考查学生数学建模和应用意识，属于中等题。‎ ‎20．在直角坐标系中，，不在轴上的动点满足于点为的中点。‎ ‎(1)求点的轨迹的方程；‎ ‎(2)设曲线与轴正半轴的交点为，斜率为的直线交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由。‎ ‎【答案】（1）；（2）定值0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解法一：设点的坐标为，可得出点，由，转化为，利用斜率公式计算并化简得出曲线的方程，并标出的范围；‎ 解法二：设点，得出，由知点在圆上，再将点的坐标代入圆的方程并化简，可得出曲线的方程，并标出的范围；‎ ‎（2）先求出点的坐标，并设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理， 利用斜率公式并代入韦达定理计算出来证明结论成立。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解法一：设点，因为轴，为的中点，则，‎ ‎，所以，，即，化简得，‎ 所以，的方程为；‎ 解法二：依题意可知点的轨迹方程为，‎ 设点，因为轴，为的中点，所以，，‎ 所以，即，‎ 所以，的方程为；‎ ‎（2）依题意可知，设直线的方程为，‎ ‎、，‎ 由，得，‎ 所以，，，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ，‎ 所以，为定值。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查动点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合问题，考查将韦达定理法在直线与圆锥曲线综合问题中的应用，这类问题的求解方法就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理求解，运算量大是基本特点，化简是关键，考查计算能力，属于难题。‎