2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§6-2　等差数列（试题部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§6-2　等差数列（试题部分）

‎§6.2　等差数列 基础篇固本夯基 ‎【基础集训】‎ 考点一　等差数列的有关概念及运算 ‎1.已知等差数列{an}中,a2=1,前5项和S5=-15,则数列{an}的公差为(　　)‎ A.-3　　　B.-‎5‎‎2‎　　　C.-2　　　D.-4‎ 答案　D ‎2.已知在等差数列{an}中,a1=1,a3=2a+1,a5=3a+2,若Sn=a1+a2+…+an,且Sk=66,则k的值为　(　　)‎ A.9　　　B.11　　　C.10　　　D.12‎ 答案　B ‎3.设等差数列{an}满足3a8=5a15,且a1>0,Sn为其前n项和,则数列{Sn}的最大项为(　　)‎ A.S23　　　B.S24　　　C.S25　　　D.S26‎ 答案　C ‎4.已知数列{an}满足a1=‎1‎‎2‎,且an+1=‎2‎an‎2+‎an.‎ ‎(1)求证:数列‎1‎an是等差数列;‎ ‎(2)若bn=anan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解析　(1)证明:易知an≠0,∵an+1=‎2‎an‎2+‎an,‎ ‎∴‎1‎an+1‎=‎2+‎an‎2‎an,∴‎1‎an+1‎-‎1‎an=‎1‎‎2‎,‎ 又∵a1=‎1‎‎2‎,∴‎1‎a‎1‎=2,‎ ‎∴数列‎1‎an是以2为首项,‎1‎‎2‎为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知,‎1‎an=2+‎1‎‎2‎(n-1)=n+3‎‎2‎,即an=‎2‎n+3‎,‎ ‎∴bn=‎4‎‎(n+3)(n+4)‎=4‎1‎n+3‎‎-‎‎1‎n+4‎,‎ ‎∴Sn=4‎‎1‎‎4‎‎-‎‎1‎‎5‎‎+‎1‎‎5‎‎-‎‎1‎‎6‎+…+‎‎1‎n+3‎‎-‎‎1‎n+4‎ ‎=4‎1‎‎4‎‎-‎‎1‎n+4‎=nn+4‎.‎ 考点二　等差数列的性质 ‎5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a‎6‎a‎5‎=‎9‎‎11‎,则S‎11‎S‎9‎=(　　)‎ A.1　　　B.-1　　　C.2　　　D.‎‎1‎‎2‎ 答案　A ‎6.(2018河北唐山第二次模拟,7)设{an}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是(　　)‎ A.2X+Z=3Y　　　　　B.4X+Z=4Y C.2X+3Z=7Y　　　　　D.8X+Z=6Y 答案　D ‎7.已知数列{an}是公差为d的等差数列,Sn为其前n项和,若S‎2 017‎‎2 017‎- S‎17‎‎17‎=100,则d的值为(　　)‎ A.‎1‎‎20‎　　　B.‎1‎‎10‎　　　C.10　　　D.20‎ 答案　B ‎8.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=　　　　. ‎ 答案　74‎ ‎9.已知An及Bn是等差数列{an}、{bn}的前n项和,且AnBn=‎3n+1‎‎4n+1‎,则a‎11‎b‎11‎=　　　　. ‎ 答案　‎‎64‎‎85‎ ‎10.已知数列{an}是等差数列.‎ ‎(1)前四项和为21,末四项和为67,且各项和为286,求项数;‎ ‎(2)项数为奇数,奇数项和为44,偶数项和为33.求数列的中间项和项数.‎ 解析　(1)由已知得a1+a2+a3+a4=21,an-3+an-2+an-1+an=67,∴a1+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-1+an=88,∴a1+an=‎88‎‎4‎=22.‎ ‎∵Sn=286,∴n(a‎1‎+an)‎‎2‎=286,∴11n=286,∴n=26.‎ ‎(2)解法一:设项数为2k+1,则a1+a3+…+a2k+1=44=k+1‎‎2‎(a1+a2k+1),a2+a4+…+a2k=33=k‎2‎(a2+a2k),‎ 又∵a1+a2k+1=a2+a2k,∴k+1‎k=‎44‎‎33‎,∴k=3,项数为7,‎ ‎∴中间项为a‎1‎‎+‎a‎2k+1‎‎2‎=11.‎ 解法二:记等差数列{an}的中间项为a中,奇数项和为S奇,偶数项和为S偶,前n项和为Sn.‎ 根据题意得S偶‎+S奇=Sn,‎S奇‎-S偶=a中,‎∴Sn=77,a中=11,‎ 又na中=Sn,∴n=7.‎ 综合篇知能转换 ‎【综合集训】‎ 考法一　等差数列的判定与证明 ‎1.(2018山东济宁一模,11)设数列{an}满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),则a18=(　　)‎ A.‎25‎‎9‎　　　B.‎26‎‎9‎　　　C.3　　　D.‎‎28‎‎9‎ 答案　B ‎2.(2019河北冀州模拟,9)已知{an},{bn}均为等差数列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由{an},{bn}的公共项组成新数列{cn},则c10=(　　)‎ A.18　　　B.24　　　C.30　　　D.36‎ 答案　C ‎3.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列{bn}满足b1=2,bn+1-2bn=8an.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明数列bn‎2‎n为等差数列,并求{bn}的通项公式.‎ 解析　(1)当n=1时,a1=S1=21-1=1;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1.‎ 因为a1=1适合上式,所以an=2n-1(n∈N*).‎ ‎(2)因为bn+1-2bn=8an,所以bn+1-2bn=2n+2,即bn+1‎‎2‎n+1‎-bn‎2‎n=2.又b‎1‎‎2‎‎1‎=1,所以bn‎2‎n是首项为1,公差为2的等差数列,所以bn‎2‎n=1+2(n-1)=2n-1.所以bn=(2n-1)×2n.‎ 考法二　等差数列前n项和的最值问题 ‎4.(2018江西赣中南五校联考,4)在等差数列{an}中,已知a3+a8>0,且S9<0,则S1、S2、…、S9中最小的是(　　)‎ A.S5　　　B.S6　　　C.S7　　　D.S8‎ 答案　A ‎5.(2018广东汕头模拟,8)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,S‎9‎‎9‎-S‎5‎‎5‎=-4,则Sn取最大值时的n为(　　)‎ A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.4或5‎ 答案　B ‎6.(2018湖南永州三模,11)已知数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,给出下列结论:‎ ‎①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S20=0.‎ 其中一定正确的结论是(　　)‎ A.①②　　　B.①③④　　　C.①③　　　D.①②④‎ 答案　C ‎7.(2018广东深圳期末,14)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n=　　　　. ‎ 答案　6‎ ‎【五年高考】‎ 考点一　等差数列的有关概念及运算 ‎1.(2016课标Ⅰ,3,5分)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(　　)‎ A.100　　　B.99　　　C.98　　　D.97‎ 答案　C ‎2.(2018课标Ⅰ,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(　　)‎ A.-12　　　B.-10　　　C.10　　　D.12‎ 答案　B ‎3.(2017课标Ⅰ,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(　　)‎ A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.8‎ 答案　C ‎4.(2017课标Ⅲ,9,5分)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(　　)‎ A.-24　　　B.-3　　　C.3　　　D.8‎ 答案　A ‎5.(2019课标Ⅰ,9,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(　　)‎ A.an=2n-5　　　　　B.an=3n-10‎ C.Sn=2n2-8n　　　　　D.Sn=‎1‎‎2‎n2-2n 答案　A ‎6.(2019课标Ⅲ,14,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则S‎10‎S‎5‎=　　　　. ‎ 答案　4‎ ‎7.(2018北京,9,5分)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为　　　　　　. ‎ 答案　an=6n-3‎ ‎8.(2019江苏,8,5分)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是　　　　. ‎ 答案　16‎ ‎9.(2019北京,10,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=　　　　,Sn的最小值为　　　　. ‎ 答案　0;-10‎ ‎10.(2018课标Ⅱ,17,12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ 解析　(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.‎ 由a1=-7得d=2.‎ 所以{an}的通项公式为an=2n-9.‎ ‎(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.‎ 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.‎ ‎11.(2016天津,18,13分)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中项.‎ ‎(1)设cn=bn+1‎‎2‎-bn‎2‎,n∈N*,求证:数列{cn}是等差数列;‎ ‎(2)设a1=d,Tn=‎∑‎k=1‎‎2n(-1)kbk‎2‎,n∈N*,求证:‎∑‎k=1‎n‎1‎Tk<‎1‎‎2‎d‎2‎.‎ 证明　(1)由题意得bn‎2‎=anan+1,有cn=bn+1‎‎2‎-bn‎2‎=an+1·an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,‎ 所以{cn}是等差数列.‎ ‎(2)Tn=(-b‎1‎‎2‎+b‎2‎‎2‎)+(-b‎3‎‎2‎+b‎4‎‎2‎)+…+(-b‎2n-1‎‎2‎+b‎2n‎2‎)‎ ‎=2d(a2+a4+…+a2n)‎ ‎=2d·n(a‎2‎+a‎2n)‎‎2‎=2d2n(n+1).‎ 所以‎∑‎k=1‎n‎1‎Tk=‎1‎‎2‎d‎2‎‎∑‎k=1‎n‎1‎k(k+1)‎=‎1‎‎2‎d‎2‎‎∑‎k=1‎n‎1‎k‎-‎‎1‎k+1‎=‎1‎‎2‎d‎2‎·‎1-‎‎1‎n+1‎<‎1‎‎2‎d‎2‎.‎ 考点二　等差数列的性质 ‎12.(2015广东,10,5分)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=　　　　. ‎ 答案　10‎ 教师专用题组 考点一　等差数列的有关概念及运算 ‎1.(2016浙江,6,5分)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(　　)‎ A.{Sn}是等差数列　　　　　B.{Sn‎2‎}是等差数列 C.{dn}是等差数列　　　　　D.{dn‎2‎}是等差数列 答案　A ‎2.(2015浙江,3,5分)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则(　　)‎ A.a1d>0,dS4>0　　　　　B.a1d<0,dS4<0‎ C.a1d>0,dS4<0　　　　　D.a1d<0,dS4>0‎ 答案　B ‎3.(2013课标Ⅰ,7,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(　　)‎ A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6‎ 答案　C ‎4.(2016江苏,8,5分)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a‎2‎‎2‎=-3,S5=10,则a9的值是　　　　. ‎ 答案　20‎ ‎5.(2014课标Ⅰ,17,12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数,‎ ‎(1)证明:an+2-an=λ;‎ ‎(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.‎ 解析　(1)证明:由题设anan+1=λSn-1,知an+1an+2=λSn+1-1.两式相减得,an+1(an+2-an)=λan+1.‎ 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.‎ ‎(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.‎ 故an+2-an=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3;‎ ‎{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.‎ 因此存在λ=4,使得{an}为等差数列.‎ 思路分析　(1)已知anan+1=λSn-1,用n+1代替n得an+1·an+2=λSn+1-1,两式相减得结论.‎ ‎(2)利用a1=1,a2=λ-1,a3=λ+1及2a2=a1+a3,得λ=4.进而得an+2-an=4.故数列{an}的奇数项和偶数项分别组成公差为4的等差数列,分别求通项公式,进而求出{an}的通项公式,从而证出等差数列.‎ 方法总结　对于含an、Sn的等式的处理,往往可转换为关于an的递推式或关于Sn的递推式;对于存在性问题,可先探求参数的值再证明.‎ 考点二　等差数列的性质 ‎6.(2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为　　　　. ‎ 答案　5‎ ‎7.(2013课标Ⅱ,16,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为　　　　. ‎ 答案　-49‎ ‎【三年模拟】‎ 一、单项选择题(每题5分,共40分)‎ ‎1.(2020届云南陆良第二次教学质量摸底考,3)已知{an}为等差数列,若a3+a4+a8=12,则S9=(　　)‎ A.24　　　B.27　　　C.36　　　D.54‎ 答案　C ‎2.(2020届四川宜宾四中开学考,4)已知等差数列{an}中,a2、a2 016是方程x2-2x-2=0的两根,则S2 017=(　　)‎ A.-2 017　　　B.-1 008　　　C.1 008　　　D.2 017‎ 答案　D ‎3.(2020届河北邯郸大名一中第六周周测,4)设{an}是等差数列,则下列结论一定正确的是(　　)‎ A.若a1+a2>0,则a2+a3>0‎ B.若a1+a3<0,则a2+a3<0‎ C.若0‎a‎1‎a‎3‎ D.(a2-a1)(a2-a3)<0‎ 答案　C ‎4.(2019 5·3原创冲刺卷一,4)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S2=3,S3=6,则S2n+1=(　　)‎ A.(2n+1)(n+1)　　　　　B.(2n+1)(n-1)‎ C.(2n-1)(n+1)　　　　　D.(2n+1)(n+2)‎ 答案　A ‎5.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,5)中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是(　　)‎ A.174斤　　　B.184斤　　　C.191斤　　　D.201斤 答案　B ‎6.(2019湖北宜昌一模,8)等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d>0,(S8-S5)(S9-S5)<0,则(　　)‎ A.a7=0　　　　　B.|a7|=|a8| C.|a7|>|a8|　　　　　D.|a7|<|a8|‎ 答案　D ‎7.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,5)已知等差数列{an}的各项都为整数,且a1=-5,a3a4=-1,则|a1|+|a2|+…+|a10|=(　　)‎ A.70　　　B.58　　　C.51　　　D.40‎ 答案　B ‎8.(2018安徽淮北一模,9)Sn是等差数列{an}的前n项和,S2 0180且2Sn=an‎2‎+an(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若an>0(n∈N*),令bn=‎1‎an‎(an+2)‎,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解析　(1)当n=1时,2S1=a‎1‎‎2‎+a1=2a1,又a1>0,则a1=1,‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an‎2‎‎+‎an‎2‎-an-1‎‎2‎‎+‎an-1‎‎2‎,‎ 即(an+an-1)(an-an-1-1)=0⇒an=-an-1或an=an-1+1,∴an=(-1)n-1或an=n.‎ ‎(2)∵an>0,∴an=n,∴bn=‎1‎n(n+2)‎=‎1‎‎2‎‎1‎n‎-‎‎1‎n+2‎,‎ ‎∴Tn=‎1‎‎2‎‎1-‎‎1‎‎3‎‎+‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎4‎+…+‎‎1‎n‎-‎‎1‎n+2‎=‎1‎‎2‎1+‎1‎‎2‎-‎1‎n+1‎-‎1‎n+2‎=‎3‎‎4‎-‎2n+3‎‎2(n+1)(n+2)‎.‎