甘肃省兰州市第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

甘肃省兰州市第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

兰州二中 2019—2020 学年度第一学期期中考试 高一年级数学试题　 命题教师：王雯倩 第Ⅰ卷 一、选择题：本大道共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的 4 个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1.设全集 ，集合 ，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出 后可求 . 【详解】 ，故 . 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算（交集和补集），此类属于基础题. 2.下列四个图形中，不是以 x 为自变量的函数的图象是( )． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：图形 C 中有“一对多”情形，故选 C. 考点：本题考查函数定义． U = R { } { }0 , 1A x x B x x= > = > UA C B∩ { }0 1x x≤ < { }0 1x x< ≤ { }0x x < { }1x x > UC B UA C B∩ { }| 1UC B x x= ≤ { }| 0 1UA C B x x∩ = < ≤ 3.已知集合 A={a-2，2a2+5a，12}，-3∈A，则 a 的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】 根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果 【详解】∵-3∈A ∴-3=a-2 或-3=2a2+5a ∴a=-1 或 a=- ， ∴当 a=-1 时，a-2=-3，2a2+5a=-3，不符合集合中元素的互异性，故 a=-1 应舍去 当 a=- 时，a-2=- ，2a2+5a=-3，满足． ∴a=- ． 故选 B． 【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础 题. 4.已知函数 ，那么 的值为( )． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将 代入 即可得结果. 【详解】解：因为 ， 所以 ， 故选 C 【点睛】本题考查已知解析式，求函数值，是基础题. 1− 3 2 − 1 3 2 − 1− 3 2 − 3 2 3 2 7 2 3 2 2( ) 1f x x= + ( 1)f a + 2 2a a+ + 2 1a + 2 2 2a a+ + 2 2 1a a+ + 1a + 2( ) 1f x x= + 2( ) 1f x x= + 2 2( 1) ( 1) 1 2 2f a a a a+ = + + = + + 5.下列等式成立的是( )． A. log2(8－4)＝log2 8－log2 4 B. ＝ C. log2 23＝3log2 2 D. log2(8＋4)＝log2 8＋log2 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对数的运算性质进行分析、判断即可得到答案． 【详解】根据对数的运算性质逐个进行判断可得，选项 A,B,D 都不符合对数的运算性质，选 项 C 符合．所以 C 正确． 故选 C． 【点睛】解答本题时容易出现错误，解题的关键是记清对数的三个运算性质及换底公式，属 于基础题． 6.已知函数 y=f（x）定义域是[-2，3]，则 y=f（2x-1）的定义域是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ∵函数 y=f(x)定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x−1⩽3， 解得− ⩽x⩽2， 即函数的定义域为 ， 本题选择 C 选项. 7.下列四个函数中，在 上为增函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 2 2 log 8 log 4 2 8log 4 50, 2      [ ]1,4− 1 ,22  −   [ ]5,5− 1 2 1 ,22  −   ( )0, ∞+ ( ) 3f x x= − ( ) 2 3f x x x= − ( ) 1 1f x x = − + ( )f x x= − 【解析】 【分析】 A，B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C 利用 以及平移 的思路去判断；D 根据 的图象的对称性判断. 【详解】A． 在 上是减函数，不符合； B． 在 上是减函数，在 上是增函数，不符合； C． 可认为是 向左平移一个单位所得，所以在 上是增函数， 符合； D． 图象关于 轴对称，且在 上是增函数，在 上是减函数，不符 合； 故选 C. 【点睛】（1）一次函数 、反比例函数 的单调性直接通过 的 正负判断； （2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断； （3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断. 8.已知函数 在定义域 上是减函数，且 ，则实数 的取值 范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数的单调性和定义域得出不等关系组，即得解. 【详解】已知函数 在定义域 上是减函数，且 ， 1y x = − y x= − ( ) 3f x x= − R ( ) 2 3f x x x= − 3, 2  −∞   3 ,2  +∞   ( ) 1 1f x x = − + 1y x = − ( )1,− +∞ ( )f x x= − y ( ),0−∞ ( )0, ∞+ ( )0y kx b k= + ≠ ( )0ky kx = ≠ k ( )y f x= ( )1,1− ( ) ( )2 1 1f a f a− < − a 2 ,3  +∞   2 ,13      ( )0,2 ( )0, ∞+ ( )y f x= ( )1,1− ( ) ( )2 1 1f a f a− < − 故选：B 【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式，考查了学生转化划归，数学运算能力，属 于基础题. 9.设 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分别将三个幂值进行化简，转化为以 2 为底的指数幂的形式，然后利用指数函数的单调性进 行判断． 【详解】解： ， 因为函数 在定义域上为单调递增函数，所以 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了指数幂的大小比较，将不同底的指数幂转化为同底的指数幂．然后 利用指数函数的单调性进行判断大小是解决本题的关键． 10.国内快递重量在 1000 克以内的包裹邮资标准如下表： 运送距离 … 邮资 (元) 5.00 6.00 7.00 8.00 … 如果某人从北京快递 900 克的包裹到距北京 的某地，他应付的邮资是（　　） A. 5.00 元 B. 6.00 元 C. 7.00 元 D. 8.00 元 2 1 1 21 2 1 1 131 1 1 a a a a a − > − ∴ − < − < ∴ < < − < − < 0.9 1 4y = 0.48 2 8y = 1.5 3 1 2y − =    3 1 2y y y> > 2 1 3y y y> > 1 2 3y y y> > 1 3 2y y y> > 1.5 0.9 2 0.9 1.8 0.48 3 0.48 1.44 1. 3 5 1 2 14 2 2 , 2 2 28 2,y y y − × ×  = = = = = =  ==   2xy = 1 3 2y y y> > ( )x km 0 500x< ≤ 500 1000x< ≤ 1000 1500x< ≤ 1500 2000x< ≤ y 1300km 【答案】C 【解析】 【分析】 根据表格，写出邮资 与运送距离 的函数关系式，判断出 ，即得解. 【详解】邮资 与运送距离 的函数关系式为： 故选：C 【点睛】本题考查了分段函数的应用，考查了学生数学应用，转化划归，数学运算的能力， 属于基础题. 11. 是偶函数，则 ， ， 的大小关系为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据偶函数的定义，确定 的值和函数解析式，再根据函数的单调性和奇偶性的性质，比较 大小即可. 【详解】 是偶函数， ， ，则 ， ； 在 上单调递减 ，即 故选 B. y x 1300 (1000,1500]∈ y x 5,0 500 6,500 1000 7,1000 1500 8,1500 2000 x xy x x < ≤  < <=  < ≤  < ≤ 1300 (1000,1500]∈ 7y∴ = ( ) ( ) 21 2 3f x m x mx= − + + ( )1f − ( )2f − ( )3f ( ) ( ) ( )3 2 1f f f> − > − ( ) ( ) ( )3 2 1f f f< − < − ( ) ( ) ( )2 3 1f f f− < < − ( ) ( ) ( )1 3 2f f f− < < − m 2( ) ( 1) 2 3f x m x mx= − + + 0m∴ = 2( ) 3f x x= − + ( 1) (1)f f− = ( 2) ( 2)f f− =  2( ) 3f x x= − + (0, )+∞ ∴ (1) ( 2) ( 3)f f f> > ( 1) ( 2) ( 3)f f f− > − > 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断和性质，考查二次函数单调性的应用，考查推理能力与 计算能力，解题的关键是根据函数的奇偶性，将自变量变换到同一单调区间后再比较函数值 的大小. 12.若奇函数 在 内是减函数，且 ， 则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ，选 D. 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后 根据函数的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应 在外层函数的定义域内 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.函数 的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据偶次根式的被开方非负和分母不为 0 列式可解得. 【详解】要使函数有意义,只需 ,解得 且 . 故函数 的定义域为 . 故答案为: 【点睛】 本题考查了含偶次根式和分母的函数定义域的求法,属于基础题. 14.已知函数 ，若 ，则 x=___________ ( )f x ( ,0)−∞ ( 2) 0f − = ( ) 0x f x⋅ > ( 2,0) (2, )− +∞ ( , 2) (0,2)−∞ − ∪ ( , 2) (2, )−∞ − +∞ ( 2,0) (0,2)−  ( ) 0x f x⋅ > 0 0 0 2 2 0( ) 0 (2) ( ) 0 ( 2) x x x xf x f f x f > < ⇒ ⇒ < < − < < > = < = −  或 或 ( ( )) ( ( ))f g x f h x> f ( )g x ( )h x 1( ) 1 2f x x x = + + − [ 1,2) (2, )− +∞ 1 0 2 0 x x + ≥  − ≠ 1x ≥ − 2x ≠ ( )f x [ 1,2) (2, )− +∞ [ 1,2) (2, )− +∞ 2 1, 0 2 , 0 x xy x x  + ≤=  − > ( ) 10f x = 【答案】 【解析】 【分析】 当 时， ,当 时，由 可得结果. 【详解】因为函数 ， 当 时， , 当 时， , 可得 （舍去），或 ，故答案为 . 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，以及分类 讨论思想的应用，属于简单题. 15.函数 的图象必经过__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由 ，由此变形得到： ，分析函数结构即得解 【详解】指数函数图像过点 ，即 ， 由此变形得到： 故所求图像必过点： 故答案为： 【点睛】本题考查了指数函数过定点问题，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力， 属于基础题. 16.若 , 是 这两个函数中 较小者,则 的最大值是____. 【答案】1 【解析】 【分析】 的 3− 0x > ( ) 2 0 10f x x= − < ≠ 0x ≤ ( ) 2 1 10f x x= + = ( ) 2 1, 0 2 , 0 x xf x x x  + ≤=  − > 0x > ( ) 2 0 10f x x= − < ≠ 0x ≤ ( ) 2 1 10f x x= + = 3x = 3x = − 3− ( )5 1 0xy a a−= + ≠ (5,2) 0 1a = 0 1 2a + = (0,1) 0 1a = 0 1 2a + = (5,2) (5,2) x∈R ( )f x 22 ,y x y x= − = ( )f x 通过比较两个函数的大小,分类讨论求出函数的解析式,然后求出 的最大值. 【详解】由已知可得： . 当 时, ； 当 时, ,所以函数 的最大值为 1. 故答案 ：1 【点睛】本题考查了求函数的最大值问题,考查了数学阅读能力和数学运算能力. 三、解答题（17 题共 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分） 17.（1） （2） 【答案】（1）110；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用指数幂的运算法则即得解； （2）利用对数的运算法则即得解. 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查了指数与对数运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 18.已知集合 A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}， 为 ( )f x 2 , 2 1( ) 2 , 1 2 x xf x x x x − ≤ ≤=  − > < − 或 2 1x− ≤ ≤ 2 ( ) 1f x− ≤ ≤ 1 2x x> < −或 ( ) 1f x < ( )f x ( ) 201 6 30.25 343 7 21.5 8 2 2 36 3 − × − + × + × −          1 32 4lg lg8 lg 2452 49 3 − + 1 3lg5 lg 22 2 − 1 11 13 2 33 34 42 2( ) 1 2 2 2 3 ( )3 3 ×= × + × + × − 2 108 110= + = 15 3 2 2 2 1 2 4lg lg 2 lg(5 7 )2 7 3 = − + × 1 1(5lg 2 2lg7) 4lg 2 (lg5+2lg7)2 2 = − − + 1 1(5lg 2 2lg7) 4lg 2 (lg5+2lg7)2 2 = − − + 3 1lg 2 lg52 2 = − + （1）若 A 只有一个元素，试求 a 的值，并求出这个元素； （2）若 A 是空集，求 a 的取值范围； （3）若 A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2） ；（3） 或 【解析】 【分析】 （1）根据方程为一次方程与二次方程分类讨论，对应求解得结果，（2）根据方程无解条件列 不等式，解得结果，（3）A 中至多只有一个元素就是 A 为空集，或有且只有一个元素，所以求 （1）（2）结果的并集即可. 【详解】（1）若 A 中只有一个元素，则方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个实根， 当 a=0 时，方程为一元一次方程，满足条件，此时 x=- ， 当 a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时 x=-1， （2）若 A 是空集， 则方程 ax2+2x+1=0 无解， 此时△=4-4a＜0，解得：a＞1. （3）若 A 中至多只有一个元素， 则 A 为空集，或有且只有一个元素， 由（1），（2）得满足条件的 a 的取值范围是：a=0 或 a≥1. 【点睛】本题考查方程的解与对应集合元素关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 19.已知 ，求函数 的最大值和最小值． 【答案】 ， 【解析】 【分析】 由 ， 求 解 x 的 范 围 ， 令 ， 转 化 为 ，利用二次函数性质即得解. 【详解】 1a > 0a = 1a ≥ 1 2 2 2 0x x− ≤ 11 14 24 2 x x y − = −       ⋅   +  max 2y = min 1y = 2 2 0x x− ≤ 1 2 x t  =    11 14 24 2 x x y − = −       ⋅   +  ( ) 24 4 2y f t t t= = − + 2 2 0 ( 2) 0x x x x− ≤ ∴ − ≤ 故 而 令 则 当 即 时， 当 即 时， 【点睛】本题考查了指数与二次函数复合函数的值域问题，考查了学生综合分析，转化划归， 数学运算能力，属于中档题. 20.二次函数 满足 ，且 ， （1）求 的解析式； （2）在区间 上 的图象恒在 图象的上方，试确定实数 的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）设 ，代入 ， 待定系数即得解； （2）转换 的图象恒在 图象上方为 ，令 ，转化为二次函数在定区间的最小值即得解. 【详解】（1）由题设 ∵ 　 ∴ 　又 ∴ ∴ 0 2x≤ ≤ 1 2 4 2 41 1 1 1 2 2 24 2 4 x x x x y − = − + =       ⋅  ⋅             − ⋅ + 1 1 12 4 x t x   ≤ ≤       = ( ) 2 24 4 2 4 1 2 1y f t t t t    = = −  = − + + 1 2t = 1x = min 1y = 1t = 0x = max 2y = ( )f x ( ) ( )1 2f x f x x+ − = ( )0 1f = ( )f x [ 11]− ， ( )y f x= 2y x m= + m 2( ) 1f x x x= − + 1m < − 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ ( ) ( )1 2f x f x x+ − = ( )0 1f = 2( ) 1y f x x x= = − + 2y x m= + 2 1 2x x x m− + > + 2( ) 3 1g x x x m= − + − 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ (0) 1f = 1c = ( 1) ( ) 2f x f x x+ − = 2 2( 1) ( 1) ( ) 2a x b x c ax bx c x+ + + + − + + = 2 2ax a b x+ + = ∴ 　∴ ∴ （2）当 时， 的图象恒在 图象上方 ∴ 时 恒成立，即 恒成立 令 ， 时， 故只要 即可， 实数 的范围 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能 力，属于中档题. 21.设 是定义在 上的奇函数，且对于任意 ，当 时，都有 ． （1）若 ，试比较 与 的大小； （2）解不等式 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）利用函数奇偶性及 ，转化 为 即得解； （2）利用函数单调性和定义域，列出不等式组，即得解. 【详解】（1）因为 ，所以 ， 由题意得： ， 所以 又 是定义在 上的奇函数， 2 2 0 a a b =  + = 1 1 a b =  = − 2( ) 1f x x x= − + [ 1,1]x∈ − 2( ) 1y f x x x= = − + 2y x m= + [ 1,1]x∈ − 2 1 2x x x m− + > + 2 3 1 0x x m− + − > 2( ) 3 1g x x x m= − + − [ 1,1]x∈ − 2 min( ) (1) 1 3 1 1 1g x g m m= = − × + − = − − 1m < − m 1m < − ( )f x [ 11]− ， , 11[ ]a b∈ − ， 0a b+ ≠ ( ) ( ) 0f a f b a b + − >− a b> ( )f a ( )f b 1 1 2 4f x f xæ ö æ öç ÷ ç ÷- < -ç ÷ ç ÷è ø è ø ( ) ( )f a f b> 1 5 2 4x x  − ≤ ≤    a b> ( ) ( ) 0f a f b a b + − >− ( ) ( ) 0f a f b− > a b> 0a b− > ( ) ( ) 0f a f b a b + − >− ( ) ( ) 0f a f b+ − > ( )f x R ∴ ， ∴ ，即 （2）∵ 是 上的增函数， ∴不等式 等价于 ∴原不等式的解集是 ． 【点睛】本题考查了函数性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于 中档题. 22.近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为 当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生 产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器 （百台），其总成 本为 （万元），其中固定成本为 12 万元，并且每生产 1 百台的生产成本为 10 万元（总 成本=固定成本+生产成本），销售收入 （万元）满足 ， 假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （1）求利润函数 的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？ 【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）12 . 【解析】 试题分析：（1）先求得 ，再由 ，由分段函数式可得所求；（2） 分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最 值即可得到结果. ( ) ( )f b f b− = − ( ) ( ) 0f a f b− > ( ) ( )f a f b> ( )f x [ 1,1]− 1 1 2 4f x f xæ ö æ öç ÷ ç ÷- < -ç ÷ ç ÷è ø è ø 11 12 11 14 x x − ≤ − ≤ − ≤ − ≤ 1 5 2 4x x  − ≤ ≤    x ( )P x ( )Q x 20.5 22 ,0 16( ) { 224, 16 x x xQ x x − + ≤ ≤= > ( )y f x= 20.5 12 12,0 16( ) { 212 10 , 16 x x xf x x x − + − ≤ ≤= − > ( )P x ( ) ( ) ( )f x Q x P x= − 试题解析：（1）由题意得 ∴ . （2）当 时， 函数 递减，∴ 万元 当 时，函数 当 时， 有最大值 60 万元 所以当工厂生产 12 百台时，可使利润最大为 60 万元 . 【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应 用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识， 解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学 模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重 不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者). ( ) 12 10P x x= + ( ) ( ) ( ) 20.5 12 12,0 16{ 212 10 , 16 x x xf x Q x P x x x − + − ≤ ≤= − = − > 16x > ( )f x ( ) ( )16 52f x f< = 0 16x≤ ≤ ( ) ( )20.5 12 60f x x= − − + 12x = ( )f x