- 2021-06-10 发布 |
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文档介绍
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习:热点探究训练5 平面解析几何中的高考热点问题
热点探究训练(五) 平面解析几何中的高考热点问题 1.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为,求C的离心率; (2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b. [解] (1)根据c=及题设知M,=,2b2=3ac.2分 将b2=a2-c2代入2b2=3ac, 解得=,=-2(舍去). 故C的离心率为.5分 (2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴, 所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点, 故=4,即b2=4a.① 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.8分 设N(x1,y1),由题意知y1<0,则 即10分 代入C的方程,得+=1.② 将①及c=代入②得+=1. 解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.12分 2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),右顶点为A,且|AF|=1. 图5 (1)求椭圆C的标准方程; (2)若动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P,且与直线x=4交于点Q,问:是否存在一个定点M(t,0),使得·=0.若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. 【导学号:01772351】 [解] (1)由c=1,a-c=1,得a=2,∴b=, 故椭圆C的标准方程为+=1.5分 (2)由 消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, ∴Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0, 即m2=3+4k2.8分 设P(xP,yP),则xP=-=-, yP=kxP+m=-+m=,即P. ∵M(t,0),Q(4,4k+m), ∴=,=(4-t,4k+m),10分 ∴·=·(4-t)+·(4k+m)=t2-4t+3+(t-1)=0恒成立,故即t=1. ∴存在点M(1,0)符合题意.12分 3.如图6,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点). 图6 (1)证明:动点D在定直线上; (2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值. 【导学号:01772352】 [解] (1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8. 直线AO的方程为y=x;BD的方程为x=x2.2分 解得交点D的坐标为 注意到x1x2=-8及x=4y1, 则有y===-2. 因此D点在定直线y=-2上(x≠0).5分 (2)依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),代入x2=4y得x2=4(ax+b), 即x2-4ax-4b=0.8分 由Δ=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2. 故切线l的方程可写为y=ax-a2. 分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为N1,N2,10分 则|MN2|2-|MN1|2=2+42-2=8, 即|MN2|2-|MN1|2为定值8.12分 4.(2016·重庆模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点相同,且椭圆C上一点与椭圆C的左、右焦点F1,F2构成的三角形的周长为2+2. (1)求椭圆C的方程; (2)若直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,△AOB的重心G满足:·=-,求实数m的取值范围. 【导学号:01772353】 [解] (1)依题意得即 ∴椭圆C的方程为+y2=1.4分 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2). 联立得方程组消去y并整理,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,则 ①6分 设△AOB的重心为G(x,y), 由·=-,可得x2+y2=. ② 由重心公式可得G,代入②式, 整理可得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4⇒(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4, ③8分 将①式代入③式并整理,得m2=,代入(*)得k≠0, 则m2==1+=1+.10分 ∵k≠0,∴t=>0, ∴t2+4t>0, ∴m2>1, ∴m∈(-∞,-1)∪(1,+∞).12分 5.(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M. (1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值; (2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由. [解] (1)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将y=kx+b代入9x2+y2=m2,得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故xM==,yM=kxM+b=. 于是直线OM的斜率kOM==-,即kOM·k=-9. 所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB能为平行四边形. 因为直线l过点,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3. 由(1)得OM的方程为y=-x.7分 设点P的横坐标为xP. 由得x=, 即xP=. 将点的坐标代入直线l的方程得b=, 因此xM=.9分 四边形OAPB为平行四边形,当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM. 于是=2×,解得k1=4-,k2=4+. 因为ki>0,ki≠3,i=1,2,所以当直线l的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形.12分 6.(2016·全国卷Ⅱ)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA. (1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,证明:查看更多